制御可能性

制御可能性は制御システムの重要な特性であり、フィードバックを用いた不安定システムの安定化、追跡問題、最適な制御戦略の取得、あるいは単に状態に望ましい効果をもたらす入力の指定など、多くの制御問題において重要な役割を果たします。

制御可能性と観測可能性は相反する概念である。制御可能性とは、適切な入力を選択することによって状態を制御することを指し、観測可能性とは、出力を観測することによって状態を知ることができることを指す（入力も観測されていることを前提とする）。

大まかに言えば、制御可能性の概念とは、特定の許容される操作のみを用いて、システムを構成空間内で自在に操る能力を指します。正確な定義は、扱うフレームワークやモデルの種類によって異なります。

システムおよび制御に関する文献で導入されてきた、制御可能性の概念の様々なバリエーションの例を以下に示します。

状態制御可能性：システムを状態間で制御する能力
高い制御性：任意の時間枠内で状態間を自在に切り替える能力
集団制御可能性：複数の動的システムを同時に制御する能力
軌道制御性：単に望ましい最終状態に到達するだけでなく、あらかじめ定義された軌道に沿って操縦できる能力。
出力制御性：出力を特定の値に制御できる能力
行動フレームワークにおける制御可能性：過去と未来の入力および出力軌跡間の互換性条件

状態制御可能性

決定論的システムの「状態」とは、システムのすべての状態変数（動的方程式によって特徴付けられる変数）の値の集合であり、任意の時点におけるシステムの状態を完全に記述します。特に、現在の状態が既知であり、制御変数（値を選択できる変数）の現在値と将来値がすべて既知であれば、システムの過去に関する情報は将来を予測するのに必要ありません。

完全状態制御可能性（または、他の文脈が与えられていない場合は単に制御可能性）とは、外部入力（制御変数のベクトル）によって、システムの内部状態を任意の初期状態から任意の最終状態まで有限時間内に遷移させる能力を指す。^{[ 1 ]}^{： 737}

つまり、制御可能性を非公式に次のように定義できます。任意の初期状態 $x 0$ と任意の最終状態 $x f$ に対して、システムの状態を有限時間内に $x 0から$ $x f$ に遷移させる入力シーケンスが存在する場合、状態空間表現でモデル化されたシステムは制御可能です。最も単純な連続線形時不変 (LTI) システムの場合、状態空間表現 $ẋ = A x (t) + B u (t)の行次元が時間間隔を決定します。各行は、システムの状態空間内のベクトルに寄与します$ $。x$ の状態空間を張るのに十分なベクトルがない場合、システムは制御可能性を達成できません。制御可能性を達成するために推定される基礎となる微分関係をより適切に近似するように $A$ と $B$ を修正する必要があるかもしれません。

制御可能性とは、到達した状態を維持できるという意味ではなく、単に任意の状態に到達できるという意味である。

制御可能性とは、状態空間において任意の経路を形成できることを意味するのではなく、有限の時間間隔内に経路が存在することを意味する。時間間隔も指定できる場合、その動的システムはしばしば強制御可能であると言われる。

連続線形システム

連続線形システム^[^注1^]を考えます。 ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}$

時刻 $t$ $0における状態$ $x$ $0$ から時刻 $t$ $1$ $>$ $t$ $0$ における状態 $x$ $1$ への制御 $uが存在するのは、$ $x$ $1$ $-$ $ϕ$ $($ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $)$ $x$ $0$ が列空間に含まれる場合に限る。 $W(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\phi (t_{0},t)B(t)B(t)^{\mathsf {T}}\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}\mathrm {d} t$ ここで、 $ϕ (t 0, t)$ は状態遷移行列であり、 $W (t 0, t 1)は$ 可制御性グラミアンである。

実際、 $η 0が$ $W (t 0, t 1) η = x 1 - ϕ (t 0, t 1) x 0$ の解である場合、 $u (t) = - B (t) T ϕ (t 0, t) T η 0$ で与えられる制御によって、目的の転送が実現されます。

上記のように定義された行列 $W (t 0, t 1)$ は、以下の性質を持つことに注意してください。

$Wは$ 対称です
$Wは$ $t$ $1$ $\geq$ $t$ $0$ に対して正半定値である。
$Wは$ 線形行列微分方程式を満たす $\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}W(t,t_{1})=A(t)W(t,t_{1})+W(t,t_{1})A(t)^{\mathsf {T}}-B(t)B(t)^{\mathsf {T}},\;W(t_{1},t_{1})=0}$
$W は$ 方程式^{[ 2 ]を満たす。} $W(t_{0},t_{1})=W(t_{0},t)+\phi (t_{0},t)W(t,t_{1})\phi (t_{0},t)^{\mathsf {T}}$

制御可能性のランク条件

可制御性グラミアンは、システムの遷移状態行列の積分を伴う。可制御性に関するより単純な条件は、時不変システムにおけるカルマンランク条件に類似したランク条件である。

区間 $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $]$ で滑らかに変化する連続時間線形システム $Σ$ を考えます。 ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t).\end{aligned}}$

状態遷移行列 $ϕ$ も滑らかです。n $\times$ $m$ 行列値関数 $M 0 (t) = ϕ (t 0, t) B (t)$ を導入し、定義します。 $M_{k}(t)={\frac {\mathrm {d^{k}} M_{0}}{\mathrm {d} t^{k}}}(t),k\geqslant 1.$

行列 $M$ のすべての列を列挙することによって得られる行列値関数の行列( $M i$ 、 $i = 0, 1, ... , k$ ) を考えます。 $M^{(k)}(t):=\left[M_{0}(t),\ldots ,M_{k}(t)\right].$

$t̅ \in [t 0, t]$ と非負整数 $k$ が存在し、 $ランク M (k) (t̅) = n$ となる場合、 $Σ は$ 制御可能である。^{[ 3 ]}

$Σ が$ 区間 $[t 0, t]$ で解析的に変動する場合、 $Σ は$ $[t 0, t]$ の任意の非自明な部分区間で制御可能であるのは、 $ランク$ $M$ $($ $k$ $)$ $($ $t$ $i$ $) =$ $n$ となるような $t̅$ $\in$ $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $]$ と非負整数 $k$ が存在する場合に限る。^[³^]

$上記の方法は、$ 状態遷移行列 $ϕ$ の計算を伴うため、検証が複雑になる可能性がある。別の同等条件は次のように定義される。B 0 ( t ) = B ( t ) とし $、各 i \geq 0 に対して、次$ の $ように$ 定義する。 $B_{i+1}(t)=A(t)B_{i}(t)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}B_{i}(t).$ この場合、各 $B i$ はデータ $(A (t), B (t))$ から直接取得されます。システムは、 $t̅ \in [t 0, t]$ と非負整数 $kが存在し、rank($ $[$ $B$ $0$ $($ $t̅$ $),$ $B$ $1$ $($ $t̅$ $), ... ,$ $B$ $k$ $($ $t̅$ $)$ $]$ $) =$ $n$ $となる場合に制御$ 可能です。^{[ 3 ]}

例

$(-\infty, \infty)$ で解析的に変化するシステムと行列を考えます。 ${\begin{aligned}A(t)&={\begin{bmatrix}t&1&0\\0&t^{3}&0\\0&0&t^{2}\end{bmatrix}},\\B(t)&={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$ それから $[B_{0}(0),B_{1}(0),B_{2}(0),B_{3}(0)]={\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\1&0&0&0\\1&0&0&2\end{bmatrix}},$ この行列のランクは 3 なので、システムはすべての非自明な区間で制御可能です。 $\mathbb {R}$ 。

連続線形時不変（LTI）システム

連続線形時不変システムを考える ${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)\\\mathbf {y} (t)&=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)\end{aligned}}$ どこ

$xは$ $n$ ×1の状態ベクトルである
$yは$ $m$ ×1の出力ベクトルである
$uは$ $r$ ×1の入力（または制御）ベクトルです
$Aは$ $n$ × $nの$ 状態行列である。
$Bは$ $n$ × $r$ の入力行列である。
$C$ は $m$ × $nの$ 出力行列であり、
$Dは$ $m$ × $rの$ フィードスルー（またはフィードフォワード）行列である。

n × $nr$ 可制御性行列は次のように与えられる $。$ $R={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}$ 制御可能性行列がフル行ランク（つまり $rank(R) = n ）$ を持つ場合、システムは制御可能である。

離散線形時不変（LTI）システム

離散時間線形状態空間システム（すなわち時間変数）の場合 $k\in \mathbb {Z}$ 状態方程式は ${\textbf {x}}(k+1)=A{\textbf {x}}(k)+B{\textbf {u}}(k)$ ここで、 $A$ は $n$ × $n$ 行列、 $Bは$ $n$ × $r$ 行列（つまり、 $u$ は $r$ ×1ベクトルにまとめられた $r$ 個の入力）である。可制御性のテストは、 $n$ × $nr$ 行列が ${\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}$ 行ランクが完全である（つまり、 $rank(C) = n$ ）。つまり、システムが制御可能であれば、Cには線形独立な $n$ 個の列が存在する。Cの $n個の列が$ 線形独立であれば、変数 $u$ $($ $k$ $)$ を介してシステムに適切な入力を与えることで、 $n$ 個の各状態に到達できる。

導出

初期時刻 $k$ $= 0$ における状態 $x (0)$ が与えられたとき、状態方程式は $x$ $(1) =$ $A$ $x$ $(0) +$ $B$ $u$ $(0)$ となり、次に $x$ $(2) =$ $A$ $x$ $(1) +$ $B$ $u$ $(1) =$ $A$ $2$ $x$ $(0) +$ $AB$ $u$ $(0) +$ $B$ $u$ $(1)となり、$ 状態変数を繰り返し逆代入することで、最終的に次の式が得られます。 ${\textbf {x}}(n)=B{\textbf {u}}(n-1)+AB{\textbf {u}}(n-2)+\cdots +A^{n-1}B{\textbf {u}}(0)+A^{n}{\textbf {x}}(0)$ または同等に ${\textbf {x}}(n)-A^{n}{\textbf {x}}(0)=[B\,\,AB\,\,\cdots \,\,A^{n-1}B][{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-1)\,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(n-2)\,\,\cdots \,\,{\textbf {u}}^{\mathsf {T}}(0)]^{\mathsf {T}}.$

左側に状態ベクトル $x (n)の任意の望ましい値を課すと、右側の先頭にある行列の行列が行フルランクである場合に限り、制御ベクトルのスタックされたベクトルについて常に解くことができます。$

例

例えば、 $n = 2$ 、 $r = 1$ (つまり制御入力が 1 つだけ) の場合を考えてみましょう。この場合、 $B$ と $ABは$ 2 × 1ベクトルです。 $[B AB] の$ ランクが 2 (フルランク) であれば、 $B$ と $AB は$ 線形独立で、平面全体を張ります。ランクが 1 であれば、 $B$ と $ABは$ 共線であり、平面を張りません。

初期状態はゼロであると仮定する。

時刻 $k = 0$ において： $x(1)=A{\textbf {x}}(0)+B{\textbf {u}}(0)=B{\textbf {u}}(0)$ 時刻 $k = 1$ において： $x(2)=A{\textbf {x}}(1)+B{\textbf {u}}(1)=AB{\textbf {u}}(0)+B{\textbf {u}}(1)$

時刻 $k = 0では、到達可能なすべての状態はベクトル$ $B$ によって形成される線上にあります。

時刻 $k = 1$ では、到達可能なすべての状態は $AB$ と $B$ の線形結合です。システムが制御可能であれば、これら 2 つのベクトルは平面全体を張ることができ、時刻 $k = 2$ でそれが可能になります。

初期状態をゼロと仮定したのは、単に便宜上の理由からです。すべての状態が原点から到達可能であれば、どの状態も別の状態から到達可能であることは明らかです（単に座標をずらすだけです）。

この例はすべての正の $nに当てはまりますが、$ $n = 2$ の場合の方が視覚的に理解しやすいでしょう。

$n$ = 2の例として類推する

前の例のシステムを例に考えてみましょう。あなたは無限に広がる平面上の車に乗り、北を向いています。目標は、直線で一定の距離を走行し、完全に停止し、方向転換し、再び直線で一定の距離を走行することで、平面上の任意の地点に到達することです。

車に操舵装置がない場合、直進しかできません。つまり、直線上しか走行できないということです（この場合、北を向いて出発したので南北方向の直線上になります）。操舵装置がない状況は、 $C$ のランクが1の場合（走行した2つの距離が同じ直線上にある場合）に相当します。

$さて、もしあなたの車にステアリング機能があれば、平面上のどの地点にも簡単に運転できるでしょう。これは、 C$ のランクが2の場合と類似したケースです。

$この例をn = 3$ に変更すると、その類推は、3D 空間内の任意の位置に到達するために宇宙を飛行すること（航空機の向きは無視する）になります。

あなたは以下のことができます：

直線飛行
左右に任意の角度で旋回する（ヨー）
飛行機を任意の角度で上下に傾ける（ピッチ）

3次元の場合、視覚化するのは難しいものの、制御可能性の概念は依然として類似している。

非線形システム

制御アフィン形式の非線形システム

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {f(x)} +\sum _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(\mathbf {x} )u_{i}

地元でアクセス可能 $x_{0}$ アクセシビリティ分布 $R$ スパン $n$ 空間、 $n$ 次元に等しい $x$ Rは次のように与えられる：^{[ 4 ]}

R={\begin{bmatrix}\mathbf {g} _{1}&\cdots &\mathbf {g} _{m}&[\mathrm {ad} _{\mathbf {g} _{i}}^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{j}} ]&\cdots &[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} _{i}} ]\end{bmatrix}}.

ここ、 $[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]$ 繰り返しリー括弧演算は次のように定義されます。

[\mathrm {ad} _{\mathbf {f} }^{k}\mathbf {\mathbf {g} } ]={\begin{bmatrix}\mathbf {f} &\cdots &j&\cdots &\mathbf {[\mathbf {f} ,\mathbf {g} ]} \end{bmatrix}}.

前節の線形システムの可制御性行列は、実際にはこの式から導出できる。

状態フィードバックによる制御可能性

線形動的システムに対する制御権限が、時間変動フィードバックゲイン行列の選択によって行使される場合 $K(t)$ 、システム

{\dot {\mathbf {x} }}=(A-BK(t))\mathbf {x}

制御パラメータと状態の積が存在するため、非線形である。アクセシビリティ分布 $R$ 以前と同様、

R={\begin{bmatrix}B&AB&\cdots &A^{n-1}B\end{bmatrix}}.

システムを制御可能にするためには、 $R$ 列ランクがフルである。この条件は十分条件でもあることが判明した。ただし、システムを指定された状態間で誘導するために最適な入力を適用したときの軌道が原点を通らないように、先に説明した（最適な）制御戦略を修正する必要がある。そうしないと、制御入力をフィードバック形式で記述できない。 $u=-K(t)\mathbf {x}$ この双線形システムの制御可能性、および強制御可能性は、^{[ 5 ]で証明されています。}

集団的制御可能性：状態遷移のフィードバック制御

集団的制御可能性は、方向転換する能力を表す。 $n$ 同一のダイナミクスに従う線形力学系

{\dot {\mathbf {x} }}^{(i)}(t)=A\mathbf {x} ^{(i)}(t)+B\mathbf {u} ^{(i)}(t)

どこ $n$ 次元に等しい $\mathbf {x}$ 共通の状態フィードバックゲイン行列を介して、指定された開始構成と終了構成の間 $K(t)$ それによって、それぞれが制御入力をインスタンス化する

\mathbf {u} ^{(i)}(t)=K(t){\mathbf {x} }^{(i)}(t)

のために $i\in \{1,\ldots ,n\}$ 、それぞれ。

アクセシビリティ分布 $R$ 列ランクがフルであることは、自明な必要条件である。それは十分条件でもあり、実際、集合体は初期構成から方向付けることができるという意味で、強力に制御可能である。

\Phi (0)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(0)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(0)\end{bmatrix}}

指定された端末構成へ

\Phi (T)={\begin{bmatrix}\mathbf {x} ^{(1)}(T)\ldots \mathbf {x} ^{(n)}(T)\end{bmatrix}},

提供された $\det(\Phi (0)\Phi (T))>0$ 任意の指定された時間間隔にわたって $[0,T]$ 共通の時間変動フィードバックゲイン行列の選択を通じて $K(t)$ 提供された $R$ フルカラムランクです。^{[ 5 ]}

ヌル制御可能性

離散制御システムがヌル制御可能であるということは、制御可能な $u(k)$ となることによって $x(k_{0})=0$ ある初期状態に対して $x(0)=x_{0}$ 言い換えれば、それは行列が存在するという条件と同等である。 $F$ そのため $A+BF$ 冪零である。

これは、制御可能部分と制御不可能部分の分解によって容易に示すことができる。

出力制御性

出力制御可能性は、システムの出力（前述の式では $y$ で表される）に関する関連概念です。出力制御可能性は、外部入力によって出力を任意の初期状態から任意の最終状態まで有限時間内に変化させる能力を表します。状態制御可能性と出力制御可能性の間には、必ずしも何らかの関係があるとは限りません。特に、次のようになります。

制御可能なシステムが、必ずしも出力制御可能であるとは限りません。例えば、行列 $D = 0$ で、行列 $C が$ 行フルランクでない場合、出力行列の制限構造によって出力の一部の位置が隠蔽され、到達不可能になります。さらに、システムが有限時間内に任意の状態に移行できる場合でも、すべての状態からアクセスできない出力が存在する可能性があります。簡単な数値例として、 $D = 0$ で、少なくとも 1 行がゼロの行列 $C$ を使用する場合を考えてみましょう。この場合、システムはその次元に沿ってゼロ以外の出力を生成することができません。
出力制御可能なシステムが必ずしも状態制御可能であるとは限りません。例えば、状態空間の次元が出力の次元よりも大きい場合、個々の出力ごとに可能な状態構成の集合が存在します。つまり、システムには重要なゼロダイナミクスが存在する可能性があり、これは出力からは観測できないシステムの軌跡です。したがって、出力を有限時間内に特定の位置に駆動できるということは、システムの状態構成について何も意味しません。

$上記の例のような、行列A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ で記述される線形連続時間システムの場合、 $m$ × $(n + 1) r$ 出力可制御性行列は次のようになります。 ${\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^{2}B&\cdots &CA^{n-1}B&D\end{bmatrix}}$ システムが出力制御可能である場合に限り、フル行ランク（つまりランク $m ）を持つ。$ ^{[ 1 ]}^{: 742} 。特定の条件下では、システムの出力制御可能性と機能的可観測性は数学的に双対問題である。^{[ 6 ]}

入力制約下での制御可能性

制御権限が制限されたシステムでは、制御可能な部分空間内で任意の初期状態から任意の最終状態へ移行することが不可能になる場合がよくあります。この現象は、システムに固有の入力制約（例えば、アクチュエータの飽和によるもの）や、その他の理由（例えば、安全性に関する懸念）でシステムに課せられた制約によって引き起こされます。入力と状態の制約を持つシステムの制御可能性は、到達可能性^{[ 7 ]}および生存可能性理論^[⁸^]の文脈で研究されています。

行動フレームワークにおける制御可能性

ウィレムスによるいわゆる行動システム理論的アプローチ（「システムと制御における人々」を参照）では、検討されるモデルは入出力構造を直接定義するものではありません。この枠組みでは、システムは変数群の許容可能な軌跡によって記述され、その変数群の一部は入力または出力として解釈される可能性があります。

この設定において、システムが制御可能であると定義されるのは、挙動の過去の任意の部分（外部変数の軌跡）を、挙動の将来の任意の軌跡と連結することができ、その連結が挙動に含まれる、すなわち許容可能なシステム挙動の一部となる場合である。^{[ 9 ]}^{： 151}

安定化可能性

制御可能性よりもやや弱い概念として、安定化可能性がある。制御不可能な状態変数すべてを安定なダイナミクスにすることができる場合、システムは安定化可能であると言われる。したがって、状態変数の一部は制御できないとしても（上記の制御可能性テストで判断されるように）、システムの動作中、すべての状態変数は依然として有界のままである。^[¹⁰^]

到達可能セット

$T \in T$ および $x \in X$ とする（ここで $X は$ すべての可能な状態の集合であり、 $T$ は時間間隔である）。時間 $Tにおける$ $x$ からの到達可能集合は次のように定義される。^[³^] $R^{T}{(x)}=\left\{z\in X:x{\overset {T}{\rightarrow }}z\right\},$ ここで、 $x T \to z は$ 、時間 $Tにおいて$ $xから$ $z$ への状態遷移が存在することを示す。

自律システムの場合、到達可能集合は次のように定義されます。 $\mathrm {Im} (R)=\mathrm {Im} (B)+\mathrm {Im} (AB)+....+\mathrm {Im} (A^{n-1}B),$ ここで、 $R$ は可制御性行列である。

主張—到達可能集合に関して、システムが制御可能であるのは、以下の条件を満たす場合に限る。 $\mathrm {Im} (R)=\mathbb {R} ^{n}$ 。

証拠

以下の等式が成り立ちます。 ${\begin{aligned}R&=[B\ AB....A^{n-1}B]\\\mathrm {Im} (R)&=\mathrm {Im} ([B\ AB....A^{n-1}B])\\\mathrm {dim(Im} (R))&=\mathrm {rank} (R)\end{aligned}}$ システムが制御可能であることを考慮すると、 $Rの列は$ 線形独立であるはずです。したがって、次のようになります。 ${\begin{aligned}\mathrm {dim(Im} (R))&=n\\\mathrm {rank} (R)&=n\\\mathrm {Im} (R)&=\mathbb {R} ^{n}\qquad \blacksquare \end{aligned}}$

到達可能集合に関連する集合として、制御可能集合があり、これは次のように定義されます。 $C^{T}{(x)}=\left\{z\in X:z{\overset {T}{\rightarrow }}x\right\}.$ 到達可能性と制御可能性の関係は、ソンタグによって提示されています。 ^{[ 3 ]}

n次元離散線形システムが制御可能であるのは、以下の条件を満たす場合に限る $。$ $R(0)=R^{k}{(0)=X}$ （ここで、 $Xは$ $x$ のすべての可能な値または状態の集合であり、 $k$ は時間ステップである。）
連続時間線形システムが制御可能であるのは、以下の条件を満たす場合に限る。 ${\begin{aligned}R(0)&=R^{e}{(0)=X}\\C(0)&=C^{e}{(0)=X}\end{aligned}}$ $すべてのe > 0$ に対して。

例

次の式から、システムをn次元離散時間不変システムとする。 $\phi (n,0,0,w)=\sum \limits _{i=1}^{n}A^{i-1}Bw(n-1),$ ここで、 $ϕ$ （最終時刻、初期時刻、状態変数、制約）は、初期時刻 $0$ から最終時刻 $nへの状態変数$ $x$ の遷移行列として定義され、いくつかの制約 $w$ が与えられている。

したがって、未来の状態が $R k (0)$ にあるのは、それが $\mathrm {Im} (R)$ 線形写像 $R$ の像は、次のように定義される。 $R(A,B)\triangleq [B\ AB....A^{n-1}B],$ どの地図か $u^{n}\mapsto X.$

$u = K m$ かつ $X = K n$ の場合、 $R (A, B)$ を、列が $B$ $、$ $AB$ $、 ... 、$ $A$ $n$ $-1$ $B$ の順である $n$ × $nm$ 行列と同一視します。システムが可制御であれば、 $[$ $B$ $AB$ $...$ $A$ $n$ $-1$ $B$ $]$ $のランクはn$ です。これが真であれば、線形写像 $R$ の像は $X$ 全体になります。これに基づいて、次のことが言えます。 $R(0)=R^{k}{(0)=X}$ と $X\in \mathbb {R} ^{n}.$

注記

↑線形時不変システムは、係数が時間的に一定である点を除いて、同様の挙動を示します。

参考文献

1 2緒方勝彦（1997）『現代制御工学（第3 版）』ニュージャージー州アッパーサドルリバー：プレンティスホール。ISBN 978-0-13-227307-7。
↑ Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。
1 2 3 4 5エドゥアルド・D・ソンタグ、『数学的制御理論：決定論的有限次元システム』。
↑イシドリ、アルベルト (1989)。非線形制御システム、p. 92-3。スプリンガー・フェルラーク、ロンドン。 ISBN 3-540-19916-0。
1 2 Mahmoud Abdelgalil; Tryphon T. Georgiou (2025). "有限時間における集団操舵：制御可能性 $GL^{+}(n,\mathbb {R} )$ ". IEEE Transactions on Automatic Control . doi : 10.1109/TAC.2025.3574186 .
↑ Montanari, AN; Duan, C.; Motter, AE (2025). "ネットワークにおける目標制御と推定のための制御可能性と観測可能性の双対性". IEEE Transactions on Automatic Control . doi : 10.1109/TAC.2025.3552001 .
↑ Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alexandre M. Bayen; Meeko Oishi (2003). "ハイブリッドシステムの検証のための計算手法" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (7): 986– 1001. Bibcode : 2003IEEEP..91..986T . CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi : 10.1109/jproc.2003.814621 . 2012年3月4日取得.
↑ジャン＝ピエール・オーバン（1991）。生存可能性理論。ビルクハウザー。ISBN 978-0-8176-3571-8。
↑ヤン・ポルデルマン、ヤン・ウィレムス（1998）。数理システム理論入門：行動論的アプローチ（第1版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-98266-3。
↑ Brian DO Anderson; John B. Moore (1990).最適制御：線形二次法. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8。

外部リンク

システムの制御可能性をチェックするためのMATLAB関数（ 2012年2月10日にWayback Machineにアーカイブ済み）
システムの制御可能性をチェックするためのMathematica関数

[2] 線形時不変システムは、係数が時間的に一定である点を除いて、同様の挙動を示します。

[Ogata97-1] 1 2緒方勝彦（1997）『現代制御工学（第3 版）』ニュージャージー州アッパーサドルリバー：プレンティスホール。ISBN 978-0-13-227307-7。

[3] Brockett, Roger W. (1970).有限次元線形システム. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-10585-5。

[:0-4] 1 2 3 4 5エドゥアルド・D・ソンタグ、『数学的制御理論：決定論的有限次元システム』。

[5] イシドリ、アルベルト (1989)。非線形制御システム、p. 92-3。スプリンガー・フェルラーク、ロンドン。 ISBN 3-540-19916-0。

[abdelgalil_georgiou-6] 1 2 Mahmoud Abdelgalil; Tryphon T. Georgiou (2025). "有限時間における集団操舵：制御可能性 $GL^{+}(n,\mathbb {R} )$ ". IEEE Transactions on Automatic Control . doi : 10.1109/TAC.2025.3574186 .

[7] Montanari, AN; Duan, C.; Motter, AE (2025). "ネットワークにおける目標制御と推定のための制御可能性と観測可能性の双対性". IEEE Transactions on Automatic Control . doi : 10.1109/TAC.2025.3552001 .

[8] Claire J. Tomlin; Ian Mitchell; Alexandre M. Bayen; Meeko Oishi (2003). "ハイブリッドシステムの検証のための計算手法" (PDF) . Proceedings of the IEEE . 91 (7): 986– 1001. Bibcode : 2003IEEEP..91..986T . CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . doi : 10.1109/jproc.2003.814621 . 2012年3月4日取得.

[9] ジャン＝ピエール・オーバン（1991）。生存可能性理論。ビルクハウザー。ISBN 978-0-8176-3571-8。

[Polderman98-10] ヤン・ポルデルマン、ヤン・ウィレムス（1998）。数理システム理論入門：行動論的アプローチ（第1版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-98266-3。

[Anderson+Moore/book:1989-11] Brian DO Anderson; John B. Moore (1990).最適制御：線形二次法. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-638560-8。

[ 1 ]

[

[ 2 ]を満たす。

[ 4 ]

[ 5 ]で証明されています。

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

制御可能性

状態制御可能性

連続線形システム

制御可能性のランク条件

例

連続線形時不変（LTI）システム

離散線形時不変（LTI）システム

導出

例

$n$ = 2の例として類推する

非線形システム

状態フィードバックによる制御可能性

集団的制御可能性：状態遷移のフィードバック制御

ヌル制御可能性

出力制御性

入力制約下での制御可能性

行動フレームワークにおける制御可能性

安定化可能性

到達可能セット

例

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

制御システム

不安定システム

最適な制御

観測可能性は

状態制御可能性

連続線形システム

制御可能性のランク条件

例

連続線形時不変（LTI）システム

離散線形時不変（LTI）システム

導出

例

n = 2の例として類推する

非線形システム

状態フィードバックによる制御可能性

集団的制御可能性：状態遷移のフィードバック制御

ヌル制御可能性

出力制御性

入力制約下での制御可能性

行動フレームワークにおける制御可能性

安定化可能性

到達可能セット

例

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

制御システム

不安定システム

最適な制御

観測可能性は

$n$ = 2の例として類推する