制御理論では、LTIシステムとその逆システムが因果関係があり安定している場合
制御理論 と 信号処理 では 、 線形で時間不変な システムは、システムとその 逆システム が 因果関係 があり 安定している場合、 最小位相 であると言われる 。 [1] [2]
最も一般的な 因果的 LTI 伝達関数は、一連の全域通過システムと最小位相システムに一意に分解できます。システム関数は 2 つの部分の積となり、時間領域ではシステムの応答は2 つの部分応答の 畳み込みに なります。最小位相伝達関数と一般的な伝達関数の違いは、最小位相システムでは伝達関数の極と零点のすべてが s平面表現の左半分 (それぞれ離散時間では z 平面の単位円の内側 ) にあることです。システム関数を反転すると 極が 零点 に変わり、その逆も同様です。また、 複素平面 の右側 ( s 平面の 仮想線 ) または外側 ( z 平面の 単位円 ) にある極は 不安定な システム につながるため 、反転に対して閉じているのは最小位相システムのクラスだけです。直感的には、一般的な因果システムの最小位相部分は最小の グループ遅延 で振幅応答を実装し、その オールパス 部分は 元のシステム関数に対応するように
位相応答のみを修正します。
極と零点に関する解析は、多項式の比として表現できる伝達関数の場合にのみ正確です。連続時間の場合、このようなシステムは、従来の理想的な LCR ネットワーク のネットワークに変換されます。離散時間では、加算、乗算、単位遅延を使用して、それらの近似値に簡単に変換できます。どちらの場合も、増加する次数の有理形式のシステム関数を使用して、他のシステム関数を効率的に近似できることが示されています。したがって、有理形式を持たず、したがって無限の極や零点を持つシステム関数であっても、実際には他のシステム関数と同様に効率的に実装できます。
因果的で安定したシステムのコンテキストでは、閉包条件が問題にならない場合、理論上はシステム関数のゼロが安定範囲の外側 (右側または外側) にあるかどうかを自由に選択できます。ただし、 反転は、理論的に完全な因数分解自体が重要であるのと同様に、実用上非常に重要です。(別の重要な例として、 ヒルベルト変換 技法につながるスペクトル対称/反対称分解を参照してください 。) 多くの物理システムも自然に最小位相応答に向かう傾向があり、同じ制約に従う他の物理システムを使用して反転する必要がある場合もあります。
このシステムが最小位相と呼ばれる理由と、システム関数を実装可能な合理的な形式に変換できない場合でも基本的な考え方が適用される理由について、以下で説明します。
逆システム システムが 可逆的であるというのは、その入力をその出力から一意に決定できる場合です。つまり、 を適用した後に を適用する と恒等システム が得られるようなシステムを見つけることができる ということです 。( 有限次元の類似物については
逆行列を参照してください)。つまり、
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
私
{\displaystyle \mathbb {I} }
H
逆
H
=
私
。
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .}
がシステムへの入力となり 、出力が になると 仮定します 。
x 〜
{\displaystyle {\tilde {x}}}
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
ええ 〜
{\displaystyle {\tilde {y}}}
H
x 〜
=
ええ 〜
。
{\displaystyle \mathbb {H} {\チルダ {x}}={\チルダ {y}}.}
逆システムを適用する と 、
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
ええ 〜
{\displaystyle {\tilde {y}}}
H
逆
ええ 〜
=
H
逆
H
x 〜
=
私
x 〜
=
x 〜
。
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.}
したがって、逆システムを使用すると、 出力から 入力を一意に決定できることがわかります 。
H
私 ん ヴ
{\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}
x 〜
{\displaystyle {\tilde {x}}}
ええ 〜
{\displaystyle {\tilde {y}}}
離散時間の例 システムが 、 Z における n の応答 によって記述される離散時間 線形時間不変 (LTI) システムであるとします 。さらに、 は インパルス応答 を持つとします 。2 つの LTI システムのカスケードは 畳み込み です。この場合、上記の関係は次のようになります。
ここで は クロネッカーのデルタ 、つまり離散時間の場合の 恒等 システムです。( 畳み込み演算の可換性により、 と の順序を変更することもできます。) この逆システムは 一意である必要はないことに注意してください。
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
h （ ん ）
{\displaystyle h(n)}
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
h
逆
（ ん ）
{\displaystyle h_{\text{inv}}(n)}
（
h
逆
∗ h ） （ ん ） = （ h ∗
h
逆
） （ ん ） =
∑
け = − ∞
∞
h （ け ）
h
逆
（ ん − け ） = δ （ ん ） 、
{\displaystyle (h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),}
δ （ ん ）
{\displaystyle \delta (n)}
h
逆
{\displaystyle h_{\text{inv}}}
h
{\displaystyle h}
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
最小位相システム 因果律 と 安定性 の制約を課すと 、逆システムは一意になり、システム とその逆システムは 最小位相 と呼ばれます 。離散時間の場合の因果律と安定性の制約は次のとおりです（時間不変システムの場合、 h はシステムのインパルス応答、 は ℓ 1 ノルム です ）。
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
H
逆
{\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}
‖
⋅
‖
1
{\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}
因果関係
h （ ん ） = 0
∀ ん < 0
{\displaystyle h(n)=0\ \forall n<0}
そして
h
逆
（ ん ） = 0
∀ ん < 0.
{\displaystyle h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.}
安定性
∑
ん = − ∞
∞
|
h （ ん ）
|
= ‖ h
‖
1
< ∞
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty }
そして
∑
ん = − ∞
∞
|
h
逆
（ ん ）
|
= ‖
h
逆
‖
1
< ∞ 。
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .}
連続時間の場合の類似の条件については、
安定性 に関する記事を参照してください。
周波数分析
離散時間周波数解析 離散時間の場合の周波数解析を行うと、ある程度の洞察が得られる。時間領域方程式は
(
h
∗
h
inv
)
(
n
)
=
δ
(
n
)
.
{\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).}
Z 変換を 適用すると、 z 領域で次の関係が得られます 。
H
(
z
)
H
inv
(
z
)
=
1.
{\displaystyle H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.}
この関係から、
H
inv
(
z
)
=
1
H
(
z
)
.
{\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.}
簡単にするために、有理 伝達関数 H ( z ) の場合のみを考えます 。因果性と安定性は、 H ( z ) のすべての 極が厳密に 単位円 の内側になければならないことを意味します ( 安定性 を参照)。
A ( z ) と D ( z )が z の 多項式 で
あるとします 。因果性と安定性は、 極 ( D ( z ) の 根) が厳密に 単位円 の 内側になければならないことを意味します 。また、 の
因果性と安定性は、 その 極( A ( z ) の根) が厳密に 単位円 の 内側になければならないことを意味 します。これら 2 つの制約は、最小位相システムの零点と極の両方が厳密に単位円 の内側になければならないことを意味します。
H
(
z
)
=
A
(
z
)
D
(
z
)
,
{\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},}
H
inv
(
z
)
=
D
(
z
)
A
(
z
)
,
{\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},}
H
inv
(
z
)
{\displaystyle H_{\text{inv}}(z)}
連続時間周波数解析 連続時間の場合の解析も同様の方法で行われますが、周波数解析に ラプラス変換を 使用します。時間領域方程式は、
ディラックのデルタ関数 です。
これは、任意の信号 x ( t ) のふるい分け特性により、連続時間の場合の恒等演算子です 。
(
h
∗
h
inv
)
(
t
)
=
δ
(
t
)
,
{\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),}
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)}
(
δ
∗
x
)
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
δ
(
t
−
τ
)
x
(
τ
)
d
τ
=
x
(
t
)
.
{\displaystyle (\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).}
ラプラス変換 を適用すると、 s平面 で次の関係が得られます 。
そこから、
H
(
s
)
,
H
inv
(
s
)
=
1
,
{\displaystyle H(s),H_{\text{inv}}(s)=1,}
H
inv
(
s
)
=
1
H
(
s
)
.
{\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.}
ここでも、簡単にするために、有理 伝達関数 H ( s ) の場合のみを考えます 。因果性と安定性は、 H ( s ) のすべての 極が 厳密に左半分 s 平面 の内側になければならないことを意味します( 安定性 を参照)。
A ( s ) と D ( s )が s の 多項式 で
あるとします 。因果性と安定性は、 極 ( D ( s ) の 根 ) が厳密に 左半分 s 平面 の内側になければならないことを意味します。また、
の
因果性と安定性は、 その 極( A ( s ) の根) が 厳密に左半分 s 平面の 内側になければならないことを意味します こともわかっています。これら 2 つの制約は、最小位相システムの零点と極の両方が厳密に左半分 s 平面 の内側になければならないことを意味します。
H
(
s
)
=
A
(
s
)
D
(
s
)
,
{\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},}
H
inv
(
s
)
=
D
(
s
)
A
(
s
)
,
{\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},}
H
inv
(
s
)
{\displaystyle H_{\text{inv}}(s)}
振幅応答と位相応答の関係 離散時間でも連続時間でも、最小位相システムには、周波数応答の大きさの自然対数（ dB に比例する ネーパーで測定された「ゲイン」）が、 ヒルベルト変換 によって周波数応答の位相角（ ラジアン で測定）に関連付けられるという追加の便利な特性があります 。つまり、連続時間の場合、
システム H ( s )
の複素周波数応答とします。すると、最小位相システムの場合のみ、 H ( s ) の位相応答は、ヒルベルト変換を表す
によって ゲインに関連付けられ
、逆に、
H
(
j
ω
)
=
def
H
(
s
)
|
s
=
j
ω
{\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }}
arg
[
H
(
j
ω
)
]
=
−
H
{
log
(
|
H
(
j
ω
)
|
)
}
,
{\displaystyle \arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
log
(
|
H
(
j
ω
)
|
)
=
log
(
|
H
(
j
∞
)
|
)
+
H
{
arg
[
H
(
j
ω
)
]
}
.
{\displaystyle \log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.}
もっと簡潔に言えば、
と が 実変数の実関数であると
します。すると
、 と
H
(
j
ω
)
=
|
H
(
j
ω
)
|
e
j
arg
[
H
(
j
ω
)
]
=
def
e
α
(
ω
)
e
j
ϕ
(
ω
)
=
e
α
(
ω
)
+
j
ϕ
(
ω
)
,
{\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},}
α
(
ω
)
{\displaystyle \alpha (\omega )}
ϕ
(
ω
)
{\displaystyle \phi (\omega )}
ϕ
(
ω
)
=
−
H
{
α
(
ω
)
}
{\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}}
α
(
ω
)
=
α
(
∞
)
+
H
{
ϕ
(
ω
)
}
.
{\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.}
ヒルベルト変換演算子は次のように定義される。
H
{
x
(
t
)
}
=
def
x
^
(
t
)
=
1
π
∫
−
∞
∞
x
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
.
{\displaystyle {\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}
離散時間最小位相システムについても同等の対応関係が成り立ちます。
時間領域における最小位相 同じ 大きさの応答を 持つすべての 因果的 かつ 安定した システムでは、最小位相システムのエネルギーは インパルス応答の開始点付近に集中します。つまり、 インパルス応答 におけるエネルギーの遅延と考えることができる次の関数を最小化します 。
∑
n
=
m
∞
|
h
(
n
)
|
2
∀
m
∈
Z
+
.
{\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.}
最小位相は最小群遅延 同じ 振幅応答を持つすべての 因果的 かつ 安定した システムでは 、最小位相システムは最小の グループ遅延 を持ちます。次の証明は、この最小 グループ遅延 の考え方を示しています。
伝達関数 の ゼロを 1 つ考えるとします 。この ゼロを 単位円 ( ) 内に配置し、 群遅延が どのように影響を受けるかを見てみましょう。
a
{\displaystyle a}
H
(
z
)
{\displaystyle H(z)}
a
{\displaystyle a}
|
a
|
<
1
{\displaystyle \left|a\right|<1}
a
=
|
a
|
e
i
θ
a
where
θ
a
=
Arg
(
a
)
{\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)}
ゼロは 伝達関数 に 因子として寄与する ため 、この項によって寄与される位相は次のようになります。
a
{\displaystyle a}
1
−
a
z
−
1
{\displaystyle 1-az^{-1}}
ϕ
a
(
ω
)
=
Arg
(
1
−
a
e
−
i
ω
)
=
Arg
(
1
−
|
a
|
e
i
θ
a
e
−
i
ω
)
=
Arg
(
1
−
|
a
|
e
−
i
(
ω
−
θ
a
)
)
=
Arg
(
{
1
−
|
a
|
cos
(
ω
−
θ
a
)
}
+
i
{
|
a
|
sin
(
ω
−
θ
a
)
}
)
=
Arg
(
{
|
a
|
−
1
−
cos
(
ω
−
θ
a
)
}
+
i
{
sin
(
ω
−
θ
a
)
}
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}}
ϕ
a
(
ω
)
{\displaystyle \phi _{a}(\omega )}
群遅延 に次のような影響を及ぼします 。
−
d
ϕ
a
(
ω
)
d
ω
=
sin
2
(
ω
−
θ
a
)
+
cos
2
(
ω
−
θ
a
)
−
|
a
|
−
1
cos
(
ω
−
θ
a
)
sin
2
(
ω
−
θ
a
)
+
cos
2
(
ω
−
θ
a
)
+
|
a
|
−
2
−
2
|
a
|
−
1
cos
(
ω
−
θ
a
)
=
|
a
|
−
cos
(
ω
−
θ
a
)
|
a
|
+
|
a
|
−
1
−
2
cos
(
ω
−
θ
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}}
分母と は、 単位円 の外側に 零点 を反映する、つまり に置き換えること に対して不変です 。しかし、 単位円の外側に反映することで、 分子の の大きさが増加します。したがって、 を 単位円 の内側に持つことで 、因子 によってもたらされる 群遅延 が最小化されます。 形式の乗法因子の位相は加法的であるため、この結果を複数の 零点 がある一般的なケースに拡張できます 。つまり、 零点 を持つ 伝達 関数の場合、
θ
a
{\displaystyle \theta _{a}}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
(
a
−
1
)
∗
{\displaystyle (a^{-1})^{*}}
a
{\displaystyle a}
|
a
|
{\displaystyle \left|a\right|}
a
{\displaystyle a}
1
−
a
z
−
1
{\displaystyle 1-az^{-1}}
1
−
a
i
z
−
1
{\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}}
N
{\displaystyle N}
Arg
(
∏
i
=
1
N
(
1
−
a
i
z
−
1
)
)
=
∑
i
=
1
N
Arg
(
1
−
a
i
z
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)}
したがって、すべてのゼロが 単位円 内に ある最小位相システムでは、 個々の ゼロの グループ遅延 が最小化される ため、 グループ遅延 が最小化されます。
上記の計算の図解。上と下は同じゲイン応答を持つフィルターです (左: ナイキスト線図 、右: 位相応答)。ただし、上側のフィルターの 位相応答の振幅は最小です。
a
=
0.8
<
1
{\displaystyle a=0.8<1}
非最小位相 因果的で安定なシステムで、その逆のシステムが因果的で不安定なシステムは、 非最小位相 システムと呼ばれます。特定の非最小位相システムは、同等の振幅応答を持つ最小位相システムよりも位相寄与が大きくなります。
最大位相 最大 位相 システムは最小位相システムの反対です。因果的で安定したLTIシステムは、 その逆が因果的で不安定である場合、 最大位相システムです。 [ 疑わしい – 議論する ] つまり、
このようなシステムは、同じ振幅応答を持つシステムのセットの中で最大の グループ遅延を 持つため、 最大位相システム と呼ばれます。この等振幅応答システムのセットでは、最大位相システムは最大のエネルギー遅延を持ちます。
例えば、伝達関数によって記述される2つの連続時間LTIシステム
s
+
10
s
+
5
and
s
−
10
s
+
5
{\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}
2つのシステムは同等の振幅応答を持っていますが、2番目のシステムは位相シフトに大きく寄与しています。したがって、このセットでは、2番目のシステムが最大位相システムであり、1番目のシステムが最小位相システムです。これらのシステムは、制御において多くの安定性の問題を引き起こす非最小位相システムとしても有名です。これらのシステムに対する最近の解決策の1つは、PFCD法を使用してRHPゼロをLHPに移動することです。 [3]
混合相 混合 位相システムでは、 ゼロ の一部は 単位円 の内側にあり 、他のゼロは 単位円の 外側にあります。したがって、その グループ遅延は最小でも最大でもなく、最小位相等価システムの グループ遅延 と最大位相等価システムの
グループ遅延 の間のどこかになります。
例えば、伝達関数によって記述される連続時間LTIシステムは
安定しており因果関係があるが、 複素平面
の左側と右側の両方にゼロを持つ 。したがって、これは 混合位相 システムである。これらのシステムを含む伝達関数を制御するために、内部モデルコントローラ(IMC) [4] 、一般化スミス予測子(GSP) [5] 、微分による並列フィードフォワード制御(PFCD) [6] などのいくつかの方法が提案されている。
(
s
+
1
)
(
s
−
5
)
(
s
+
10
)
(
s
+
2
)
(
s
+
4
)
(
s
+
6
)
{\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}
線形位相 線形 位相 システムには一定の 群遅延 があります。非自明な線形位相システムまたはほぼ線形位相システムも混合位相です。
参照
参考文献
^ Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. (2000). 線形推定 エングルウッドクリフス、ニュージャージー州: Prentice Hall. p. 193. ISBN 0-13-022464-2 。 ^ JO Smith III、 「オーディオアプリケーション向けデジタルフィルタ入門」 （2007 年 9 月版）。 ^ Noury, K. (2019). 「非最小位相システム のための線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計的研究」。非最小位相システムのための線形並列フィードフォワード補償器の解析的統計的研究 。doi : 10.1115/ DSCC2019-9126。ISBN 978-0-7918-5914-8 . S2CID 214446227。 ^ モラリ、マンフレッド (2002)。 ロバストプロセス制御 。PTR プレンティスホール 。ISBN 0137821530 . OCLC 263718708. ^ Ramanathan, S.; Curl, RL; Kravaris, C. (1989). 「準合理システムのダイナミクスと制御」. AIChE Journal . 35 (6): 1017–1028. Bibcode :1989AIChE..35.1017R. doi :10.1002/aic.690350615. hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905. S2CID 20116797. ^ Noury, K. ( 2019). 「非最小位相システム用の安定化並列フィードフォワード補償器のクラス」。 非最小位相システム用の安定化並列フィードフォワード補償器のクラス 。doi :10.1115 / DSCC2019-9240。ISBN 978-0-7918-5914-8 . S2CID 214440404。
さらに読む
Dimitris G. Manolakis、Vinay K. Ingle、Stephen M. Kogon： 統計的および適応的信号処理 、pp. 54–56、McGraw-Hill、 ISBN 0-07-040051-2 Boaz Porat : デジタル信号処理コース 、pp. 261–263、John Wiley and Sons、 ISBN 0-471-14961-6
![{\displaystyle \arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa85530bcccf6f7cb66bc8189c6e1ff4f72ad341)
![{\displaystyle \log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c1f3095d7684bddf875212cfd3861d2312b342)
![{\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e ^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ae1982de61e3d1fe488d8fa920fd1088071850d)
