オイラー角

オイラー角は、レオンハルト・オイラーが固定座標系に対する剛体の向きを記述するために導入した3つの角度である。^[1]

また、物理学における可動参照フレームの方向や、 3 次元線形代数における一般基底の方向を表すこともできます。

古典的なオイラー角では、通常、傾斜角は 0 度が垂直方向を表すように取られます。その後、ピーター・ガスリー・テイトとジョージ・H・ブライアンによって、航空学や工学で使用するために 0 度が水平位置を表す別の形式が導入されました。

オイラー角は、基本的な幾何学または回転の合成（つまり、連鎖回転）によって定義できます。幾何学的定義は、3 つの合成された基本的な回転（座標系の軸を中心とした回転）が、常に任意のターゲット フレームに到達するのに十分であることを示しています。

3 つの基本的な回転は、外在的回転（静止していると想定される元の座標系のxyz軸を中心とした回転）または内在的回転（移動する物体と連動する回転座標系XYZ軸を中心とした回転。各基本的な回転の後に外在フレームに対する方向が変化する）のいずれかです。

以下のセクションでは、プライムマークの上付き文字の付いた軸指定 (例: z ″) は、要素回転後の新しい軸を示します。

オイラー角は通常、 α、β、γ、またはψ、θ、φで表されます。著者によって、オイラー角を定義するために異なる回転軸のセットを使用したり、同じ角度に異なる名前を付けたりすることがあります。したがって、オイラー角を使用する議論では、常にその定義を先に行う必要があります。

回転軸の定義に 2 つの異なる規則 (固有または外部) を使用する可能性を考慮せずに、回転軸の可能なシーケンスは 12 個存在し、次の 2 つのグループに分けられます。

• 適切なオイラー角 ( z - x - z、x - y - x、y - z - y、z - y - z、x - z - x、y - x - y )
• テイト・ブライアン角 （x - y - z、y - z - x、z - x - y、x - z - y、z - y - x、y - x - z）。

テイト・ブライアン角は、カルダン角、航海角、方位角、仰角、バンク角、またはヨー角、ピッチ角、ロール角とも呼ばれます。両方の種類のシーケンスが「オイラー角」と呼ばれることもあります。その場合、最初のグループのシーケンスは、固有オイラー角または古典的なオイラー角と呼ばれます。

オイラー角は、スイスの数学者レオンハルト・オイラー（1707-1783）が固定座標系に対する剛体の向きを記述するために導入した3つの角度である。^[1]

元のフレームの軸はx、y、zで示され、回転したフレームの軸はX、Y、Zで示されます。幾何学的な定義（静的と呼ばれることもあります）は、ノードのライン（N）をxy平面とXY平面の交点として定義することから始まります（軸 zとZに対する共通の垂線として定義し、ベクトル積 N = z × Z として記述することもできます）。これを使用して、3 つのオイラー角を次のように定義できます。

• ${\displaystyle \alpha}$(または) は、 x軸とN軸の間の符号付き角度です( x規則 - yとNの間で定義することもでき、y規則と呼ばれます)。${\displaystyle \varphi}$
• ${\displaystyle \beta}$(または) は、 z軸とZ軸の間の角度です。${\displaystyle \theta}$
• ${\displaystyle \gamma}$(または) は、 N軸とX軸 ( x規則)間の符号付き角度です。${\displaystyle \psi}$

2 つの参照フレーム間のオイラー角は、両方のフレームが同じ利き手を持つ場合にのみ定義されます。

固有回転は、移動する物体に取り付けられた座標系XYZの軸を中心に発生する基本的な回転です。したがって、各基本的な回転の後に方向が変わります。 XYZ系は回転しますが、xyzは固定されています。XYZがxyzと重なる状態から始めて、3 つの固有回転を組み合わせることで、XYZの任意のターゲット方向に到達できます。

オイラー角は、固有の回転によって定義できます。回転フレームXYZ は、オイラー角で表される 3 つの基本回転を受ける前に、最初にxyzに揃えられていると考えられます。その連続した方向は、次のように表すことができます。

• x - y - zまたはx ₀ - y ₀ - z ₀ (初期値)
• x ′- y ′- z ′ またはx ₁ - y ₁ - z ₁ (最初の回転後)
• x ″- y ″- z ″ またはx ₂ - y ₂ - z ₂ (2回目の回転後)
• X - Y - Zまたはx ₃ - y ₃ - z ₃ (最終)

上記の回転シーケンスでは、ノード Nのラインは、最初の要素回転後のXの方向として簡単に定義できます。したがって、 N は単にx ′と表記できます。さらに、3 番目の要素回転はZ を中心に発生するため、 Zの方向は変更されません。したがって、Z はz ″と一致します。これにより、オイラー角の定義を次のように簡略化できます。

• α (またはφ ) はz軸の周りの回転を表し、
• β (またはθ )はx ′軸の周りの回転を表し、
• γ (またはψ ) はz ″ 軸の周りの回転を表します。

外在的回転は、固定座標系xyzの軸を中心に発生する基本的な回転です。XYZ系は回転しますが、xyzは固定です。XYZ がxyzと重なる状態から始めて、3 つの外在的回転の組み合わせを使用して、 XYZの任意のターゲット方向に到達できます。 オイラー角またはテイト・ブライアン角 ( α、β、γ ) は、これらの基本的な回転の振幅です。 たとえば、ターゲット方向は次のようにして到達できます (オイラー角の適用順序が逆であることに注意してください)。

• XYZシステムはz軸を中心にγ回転します。X軸はx軸に対して角度γになります。
• XYZシステムは再び回転しますが、今回はx軸を中心にβ回転します。Z 軸は、z軸に対して角度βになります。
• XYZシステムは再びz軸を中心に角度αだけ3 回目に回転します。

まとめると、3 つの基本的な回転は、z、x、zを中心に発生します。実際、このシーケンスは、z - x - z (または 3-1-3) と表記されることがよくあります。適切なオイラー角とテイト・ブライアン角の両方に関連付けられた回転軸のセットは、通常、この表記法を使用して命名されます (詳細については上記を参照)。

回転の各ステップが回転座標系 XYZ に作用する場合、回転は固有回転 ( ZX'-Z'' ) です。固有回転は 3-1-3 と表記されることもあります。

角度は一般的に右手の法則に従って定義されます。つまり、軸の正の方向から見て時計回りの回転を表す場合は正の値を持ち、反時計回りの回転を表す場合は負の値を持ちます。逆の規則 (左手の法則) が採用されることはあまりありません。

範囲について（間隔表記を使用）：

• αとγの場合、範囲は2 πラジアンを法として定義されます。たとえば、有効な範囲は[− π ,  π ]です。
• βの場合、範囲はπラジアンをカバーします（ただし、 π を法とするとは言えません ）。たとえば、[0,  π ]または[− π /2,  π /2]になります。

角度α、β、γ は、 xy平面とXY平面が同一である場合、つまりz軸とZ軸が同じ方向または反対方向である場合という特異なケースを除いて、一意に決定されます。実際、 z軸とZ軸が同じである場合、β  = 0 であり、 ( α  +  γ ) のみが一意に定義されます (個々の値は定義されません)。同様に、z軸とZ軸が反対である場合、β  =  πであり、 ( α  −  γ ) のみが一意に定義されます (個々の値は定義されません)。これらのあいまいさは、アプリケーションではジンバル ロックとして知られています。

適切なオイラー角の回転軸を選択するには 6 つの可能性があります。そのすべてにおいて、最初の回転軸と 3 番目の回転軸は同じです。6 つの可能なシーケンスは次のとおりです。

1. z ₁ - x ′- z ₂ ″ (固有回転) またはz ₂ - x - z ₁ (外在回転)
2. x ₁ - y ′- x ₂ ″ (内部回転) またはx ₂ - y - x ₁ (外部回転)
3. y ₁ - z ′- y ₂ ″ (内部回転) またはy ₂ - z - y ₁ (外部回転)
4. z ₁ - y ′- z ₂ ″ (内部回転) またはz ₂ - y - z ₁ (外部回転)
5. x ₁ - z ′- x ₂ ″ (固有回転) またはx ₂ - z - x ₁ (外在回転)
6. y ₁ - x ′- y ₂ ″ (内部回転) またはy ₂ - x - y ₁ (外部回転)

歳差運動、章動運動、および固有回転（スピン）は、オイラー角の 1 つを変え、他の 2 つを一定にすることで得られる運動として定義されます。これらの運動は、外部フレームや共動回転体フレームではなく、混合で表現されます。これらは混合軸回転システムを構成します。最初の角度はノードのラインを外部軸z の周りで動かし、2 番目の角度はノードのラインNの周りを回転し、3 番目の角度は移動する物体に固定された軸Z の周りの固有回転です。

静的定義は次のことを意味します:

• α （歳差運動）はZ軸の周りの回転を表し、
• β （章動）はN軸またはx′軸の周りの回転を表す。
• γ (固有回転) は、Z軸または z'' 軸の周りの回転を表します。

βがゼロの場合、 Nの周りの回転はありません。その結果、Z はzと一致し、αとγ は同じ軸 ( z ) の周りの回転を表し、最終的な方向はz の周りのα + γに等しい角度の単一回転で得られます。

例として、コマを考えてみましょう。コマは自身の対称軸を中心に回転します。これはコマの固有の回転に対応します。また、コマは自身の回転軸を中心に回転し、その質量の中心は回転軸の周りを回っています。この回転は歳差運動です。最後に、コマは上下に揺れます。傾斜角は章動角です。地球の動きでも同じ例を見ることができます。

3 つの動きはすべて、あるフレームでは定数係数を持つ回転演算子で表すことができますが、これらすべての演算子で同時に表すことはできません。基準フレームが与えられた場合、そのうちの 1 つだけが係数なしになります。歳差運動のみが、一般に、他の角度に依存しない空間の基底における行列として表すことができます。

これらの動きは、ジンバル セットとしても機能します。ジンバルのように、フレームのセットが与えられ、それぞれが 1 つの角度に従って前者に対して移動できる場合、外部の固定フレーム、最終フレーム 1 つ、および「中間フレーム」と呼ばれる中間の 2 つのフレームが存在します。中間の 2 つは、最終フレームが空間内の任意の方向に到達できるようにする 2 つのジンバル リングとして機能します。

2 番目の形式は、スコットランドの数理物理学者ピーター・ガスリー・テイト(1831–1901) とイギリスの応用数学者ジョージ・H・ブライアン(1864–1928) にちなんで、テイト・ブライアン角と呼ばれています。これは航空宇宙用途で通常使用される慣例であり、仰角 0 度は水平姿勢を表します。テイト・ブライアン角は、ワールド フレームに対する航空機の向きを表します。他の乗り物を扱う場合は、異なる軸慣例が可能です。

テイト・ブライアン角に使用される定義と表記は、上記の真正オイラー角の定義と表記（幾何学的定義、固有回転定義、外在回転定義）と同様です。唯一の違いは、テイト・ブライアン角は 3 つの異なる軸（例：x - y - z、またはx - y ′- z ″）の周りの回転を表すのに対し、真正オイラー角は最初と 3 番目の基本回転の両方に同じ軸を使用することです（例：z - x - z、またはz - x ′- z ″）。

これは、幾何学的構成におけるノードのラインに対する異なる定義を意味します。適切なオイラー角の場合、これは 2 つの相同な直交平面の交点として定義されます (オイラー角が 0 の場合は平行、たとえばxyとXY )。Tait-Bryan 角の場合、これは 2 つの相同でない平面の交点として定義されます (オイラー角が 0 の場合は垂直、たとえばxyとYZ )。

3 つの基本的な回転は、動かない元の座標系の軸を中心に発生する場合 (外部回転)、または各基本的な回転の後に方向が変わる回転座標系の軸を中心に発生する場合 (内部回転) があります。

テイト・ブライアン角の回転軸を選択するには 6 つの可能性があります。 6 つの可能なシーケンスは次のとおりです。

• x - y ′- z ″ (内部回転) またはz - y - x (外部回転)
• y - z ′- x ″ (内部回転) またはx - z - y (外部回転)
• z - x ′- y ″ (内部回転) またはy - x - z (外部回転)
• x - z ′- y ″ (内部回転) またはy - z - x (外部回転)
• z - y ′- x ″（固有回転）またはx - y - z（外在回転）：固有回転はヨー、ピッチ、ロールとして知られています
• y - x ′- z ″ (内部回転) またはz - x - y (外部回転)

テイト・ブライアン規則は、さまざまな目的でエンジニアリングに広く使用されています。実際には、可動軸と固定軸を選択するためのいくつかの軸規則があり、これらの規則によって角度の符号が決まります。したがって、各ケースで符号を注意深く検討する必要があります。

角度ψとφの範囲は2 πラジアンです。θ の範囲はπラジアンです。

これらの角度は通常、外部参照フレーム (方位、方位)で 1 つ、内部移動フレーム (バンク) で 1 つ、中間フレームで 1 つとされ、この目的ではノードのラインと同等である水平面に対する仰角または傾斜を表します。

航空機の場合、適切な順序で、参照フレームと一致するフレームから開始して、 主軸を中心に 3 回回転することで取得できます。

• ヨーは方位を取得します。
• ピッチは標高をもたらし、
• ロールによりバンク角が決まります。

そのため、航空宇宙では、これらはヨー、ピッチ、ロールと呼ばれることもあります。回転が他の順序で適用された場合、または飛行機の軸が参照フレームと同等でない位置から開始された場合、これは機能しないことに注意してください。

テイト・ブライアン角は、z - y ′- x ″（固有回転）規則に従い、船舶や航空機の向きを表すために使用できるため、航海角とも呼ばれます。また、カルダンサスペンションとカルダンジョイントを初めて詳細に説明したイタリアの数学者で物理学者のジェロラモ・カルダーノにちなんで、カルダン角とも呼ばれます。

よくある問題は、与えられたフレームのオイラー角を見つけることです。最も速くオイラー角を求める方法は、与えられた 3 つのベクトルを行列の列として書き、それを理論行列の式と比較することです (行列の表は後述)。こうして 3 つのオイラー角を計算できます。ただし、行列代数を使わずに要素幾何学だけを使っても同じ結果が得られます。ここでは、最もよく使われる 2 つの規則、つまり適切なオイラー角のZXZと Tait–Bryan のZYXの結果を示します。軸の名前を変更するだけで、他の規則も取得できることに注意してください。

メイン図のように座標によって与えられた単位ベクトル( X、Y、Z )を持つフレームを想定すると、次のことがわかります。

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

そして、

${\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x,}$

なぜなら私たちは ${\displaystyle 0<x<\pi }$

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

ユニタリーベクトルの二重射影 と同様に、${\displaystyle Z_{2}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

についても同様の作図法があり、まず軸zとノードの線で定義される平面に投影します。平面間の角度はと であるため、次のようになります。 ${\displaystyle Y_{3}}$${\displaystyle \pi /2-\beta }$${\displaystyle \cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta )}$

${\displaystyle \sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},}$

${\displaystyle \cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},}$

そして最後に、逆余弦関数を使って、

${\displaystyle \alpha =\arccos \left(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left(Z_{3}\right),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}\right).}$

この新しい図のように座標によって与えられた単位ベクトル( X、Y、Z )を持つフレームを想定すると(角度 theta が負であることに注意)、次のことがわかります。

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

以前と同様に、

${\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x,}$

なぜなら私たちは ${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

前述のものと類似した方法で:

${\displaystyle \sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

${\displaystyle \sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

前述の表現に似た表現を探しています:

${\displaystyle \psi =\arcsin \left(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle \theta =\arcsin(-X_{3}),}$

${\displaystyle \phi =\arcsin \left(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}\right).}$

逆正弦関数と逆余弦関数は、引数に 2 つの可能な値を生成することに注意してください。この幾何学的記述では、解のうち 1 つだけが有効です。オイラー角が回転のシーケンスとして定義されている場合、すべての解が有効になる可能性がありますが、角度範囲内には 1 つしかありません。これは、範囲が事前に定義されていない場合、ターゲット フレームに到達するための回転シーケンスが一意ではないためです。^[2]

計算上、角度をatan2 ( y , x )で表すと便利な場合があります。たとえば、適切なオイラー角の場合:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).}$

オイラー角は方向を表す 1 つの方法です。他にも方法があり、他の規則に変更したり、他の規則から変更したりすることができます。3次元 ユークリッド空間で方向を表すには、常に 3 つのパラメータが必要です。パラメータはいくつかの方法で指定できますが、オイラー角はその 1 つです。その他の方法については、 SO(3) の図を参照してください。

最も一般的な方向表現は、回転行列、軸角度、および四元数（オイラー・ロドリゲスパラメータとも呼ばれる）であり、 3D回転を表現するための別のメカニズムを提供します。これは、特殊ユニタリ群の記述に相当します。

3D での回転を行列ではなく単位四元数として表現することには、いくつかの利点があります。

• 回転を連結すると計算が高速になり、数値的に安定します。
• 角度と回転軸の抽出が簡単になります。
• 補間はより簡単です。たとえばslerpを参照してください。
• クォータニオンは、オイラー角のようにジンバル ロックの影響を受けません。

いずれにせよ、回転行列の計算は、他の 2 つの表現を取得するための最初のステップです。

既知の標準方向から始めて、3 つの基本回転を合成することで、任意の方向を実現できます。同様に、任意の回転行列 R は、3 つの基本回転行列の積として分解できます。たとえば、 は、軸z、y、x の周りの外部回転の合成(この順序)、または軸x - y ′- z ″ の周りの内部回転の合成 (この順序) を表すために使用できる回転行列です。ただし、基本回転行列X、Y、Zの定義とそれらの乗算順序は、回転行列とオイラー角の定義に関するユーザーの選択に依存します (たとえば、「回転行列の定義のあいまいさ」を参照してください)。残念ながら、ユーザーによって異なる一連の規則がさまざまなコンテキストで採用されています。次の表は、この一連の規則に従って作成されました。 $${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$$

1. 各行列は、列ベクトルを 事前に乗算することによって演算される（回転行列の定義の曖昧さを参照）。${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$
2. 各行列は、アクティブな回転を表すことを目的としています(合成行列と合成行列は、初期の固定参照フレームで定義されたベクトルの座標に作用し、結果として同じ参照フレームで定義された回転ベクトルの座標を与えることになっています)。
3. 各行列は、主に、 （回転参照フレームの軸の周りの）固有の回転の合成を表し、次に、3 つの外部回転の合成（3 つの真の基本行列を逆順に乗算することによる R 行列の構成的評価に対応）を表すことを目的としています。
4. 右手系基準フレームが採用され、右手の法則を使用して角度α、β、γの符号を決定します。

簡潔にするために、次のマトリックス製品の表では次の命名法を使用しています。

1. X、Y、Z は、固定フレームの軸x、y、z の周りの基本的な回転を表す行列です（たとえば、 X _{α は}角度αによるx を中心とした回転を表します）。
2. sとc は正弦と余弦を表します (例: s _{α は}αの正弦を表します)。

これらの表形式の結果は、数多くの教科書に掲載されています。^[3] 各列の最後の行は、最も一般的に使用される規則を構成します。

パッシブ回転の式を変更するには(または逆アクティブ回転を見つけるには)、行列を転置します (各行列は、ベクトルの初期座標を、回転した参照システムで測定された同じベクトルの座標に固定したまま変換します。回転軸、角度は同じですが、ベクトルではなく座標系が回転します)。

次の表は回転行列の要素からの角度α、β、γの公式を示しています。^[4]${\displaystyle R}$

オイラー角は、 3D空間における回転の特殊直交群であるSO(3)の全体にわたってチャートを形成します。チャートは、 β = 0に沿った極座標スタイルの特異点を除いて滑らかです。より完全な処理については、 SO(3)のチャートを参照してください。

回転空間は一般に「回転の超球面」と呼ばれますが、これは誤った呼び方です。スピン(3)群は超球面S ^3に等長ですが、回転空間SO(3)は超球面の2倍商空間である実射影空間RP ^{3に等長です。この2対1の曖昧さが、}物理学におけるスピンの数学的起源です。

同様の3つの角度分解は、複素2次元空間における回転の特殊ユニタリ群であるSU(2)にも適用されますが、 βの範囲が0から2πまでであるという違いがあります。これらはオイラー角とも呼ばれます。

SO(3)のオイラー角におけるハール測度はSO(3)のホップ角パラメータ化によって与えられ、[ ^5]ここでパラメータ化は回転軸の空間である。 ${\displaystyle {\textrm {d}}V\propto \sin \beta \cdot {\textrm {d}}\alpha \cdot {\textrm {d}}\beta \cdot {\textrm {d}}\gamma }$${\displaystyle (\beta ,\alpha )}$${\displaystyle S^{2}}$

たとえば、均一にランダム化された方向を生成するには、αとγを0から2πまで均一にし、zを-1から1まで均一にし、β = arccos( z )とします。

オイラー角と回転の一般的なその他の特性は、四元数が偶数部分代数である高レベルの抽象化である幾何代数から見ることができます。幾何代数の主なツールは回転子です。ここで、回転角 は回転軸 (ユニタリベクトル) であり、 は擬似スカラー ( の三ベクトル) です。${\displaystyle \mathbf {R} =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}$${\displaystyle \theta =}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

3次元以上の次元では、オイラー角に類似したパラメータを定義することが可能である。^{[6] [7] [信頼できない情報源? ]} 4次元以上では、「軸の周りの回転」という概念は意味を失い、「平面内の回転」という概念になる。群SO( n )を表すために必要なオイラー角の数はn ( n −1)/2であり、 n次元ユークリッド空間内の2つの異なる座標軸を含む平面の数に等しい。

SO(4)では回転行列は2つの単位四元数によって定義され、したがって各四元数から3つずつ、計6つの自由度を持ちます。

他の方向記述法に対する主な利点は、車両に搭載されたジンバルから直接測定できることです。ジャイロスコープは回転軸を一定に保つため、ジャイロフレームで測定された角度は、実験室フレームで測定された角度と同等です。したがって、ジャイロは移動中の宇宙船の実際の方向を知るために使用され、オイラー角は直接測定可能です。固有の回転角度は単一のジンバルから読み取ることができないため、宇宙船には複数のジンバルが必要です。通常、冗長性のために少なくとも3つあります。機械工学のよく知られたジンバルロック問題とも関係があります。^[8]

剛体全般について研究する場合、xyz系を空間座標、XYZ系を物体座標 と呼びます。空間座標は不動のものとして扱われ、物体座標は動いている物体に埋め込まれているものと見なされます。加速度、角加速度、角速度、角運動量、運動エネルギーを含む計算は、慣性モーメントテンソルが時間とともに変化しないため、物体座標で最も簡単に計算できます。剛体の慣性モーメントテンソル (9 つの成分があり、そのうち 6 つは独立) を対角化すると、慣性モーメントテンソルが 3 つの成分のみを持つ座標のセット (主軸と呼ばれる) が得られます。

剛体の角速度は、移動フレーム内のオイラー角を使用して単純な形になります。また、そのフレームでは慣性テンソルが一定であるため、 オイラーの剛体方程式はより単純になります。

材料科学では、結晶学的組織（または優先配向）はオイラー角を使用して記述できます。組織解析では、オイラー角は多結晶材料内の個々の結晶子の配向を数学的に表現し、マクロ材料の定量的な記述を可能にします。^[10] 角度の最も一般的な定義はブンゲによるもので、ZXZ規則に対応しています。ただし、その適用には一般にテンソル量の軸変換、つまり受動回転が含まれることに注意することが重要です。したがって、ブンゲオイラー角に対応する行列は、上記の表に示されている行列の転置です。^[11]

オイラー角は、通常、テイト・ブライアンの慣例に従って、ロボット工学において手首の自由度を表すためにも使用されます。また、同様に 電子安定制御でも使用されます。

砲射撃管制システムでは、砲塔の傾き (ピッチとロール) を補正するために砲の順序角度 (方位と仰角) の補正が必要です。従来のシステムでは、垂直回転軸を備えた安定化ジャイロスコープが砲塔の傾きを補正し、光学照準器とレーダーアンテナを安定化します。ただし、砲身は、ターゲットの動きや重力による発射体の落下などを予測するため、ターゲットへの視線とは異なる方向を向いています。砲架は砲塔の平面とともにロールとピッチをしますが、安定化も必要です。砲の順序には、垂直ジャイロデータから計算された角度が含まれ、これらの計算にはオイラー角が関係します。

オイラー角は角運動量の量子力学でも広く使われています。量子力学では、SO(3) の表現の明示的な記述が計算に非常に重要であり、ほぼすべての作業はオイラー角を使用して行われてきました。量子力学の初期の歴史では、物理学者と化学者が抽象群論的手法に対して非常に否定的な反応を示していました ( Gruppenpestと呼ばれます)。オイラー角への依存は、基本的な理論的作業にも不可欠でした。

多くのモバイル コンピューティング デバイスには加速度計が搭載されており、地球の重力に対するデバイスのオイラー角を測定できます。これらは、ゲーム、水準器シミュレーション、万華鏡などのアプリケーションで使用されます。^{[引用が必要]}

• 3D投影
• 軸角度表現
• 四元数とオイラー角の変換
• ダベンポート連鎖回転
• オイラーの回転定理
• ジンバルロック
• クォータニオン
• 四元数と空間回転
• 3次元における回転形式
• 球面座標系

• ビーデンハーン、LC; ルーク、JD (1981)、量子物理学における角運動量、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェズリー、ISBN 978-0-201-13507-7
• ゴールドスタイン、ハーバート（1980）、古典力学（第2版）、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェズリー、ISBN 978-0-201-02918-5
• グレイ、アンドリュー（1918）、ジャイロ静力学と回転運動に関する論文、ロンドン：マクミラン（2007年出版）、ISBN 978-1-4212-5592-7
• ローズ、ME（1957）、角運動量の基礎理論、ニューヨーク、NY：ジョン・ワイリー＆サンズ（1995年出版）、ISBN 978-0-486-68480-2
• サイモン、キース（1971）、機械工学、マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-07392-8
• ランドー、LD ;リフシッツ、EM（1996）、力学（第3版）、オックスフォード：バターワース・ハイネマン、ISBN 978-0-7506-2896-9

• 「オイラー角」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「オイラー角」。マスワールド。
• デビッド・エバリー。オイラー角の公式、幾何学ツール
• オイラー角に関するインタラクティブなチュートリアルは、https://www.mecademic.com/en/how-is-orientation-in-space-represented-with-euler-angles でご覧いただけます。
• EulerAngles – オイラー角に関連する3つの回転を3Dで視覚化するiOSアプリ
• 配向ライブラリ - 「orilib」は、結晶配向用の特別なツールを含む、回転/配向操作用のルーチンのコレクションです。
• 回転行列を変換するためのオンラインツールは、回転コンバーター（数値変換）で利用できます。
• シンボリック回転行列を変換するオンラインツール（廃止されましたが、Wayback Machineからまだ入手可能）シンボリック回転コンバータ
• 回転、反射、フレーム変更: 計算工学力学における直交テンソル、IOP Publishing
• スペースシャトル解析のためのオイラー角、四元数、変換行列、NASA