状態変数

状態変数は、例えば力学系や熱力学系などのシステムの「状態」を記述するために使用される数学的変数の集合の1つです。

直感的に言えば、システムの現在の特性を記述するために必要なシステムの最小限の情報量です（少なくとも、システムを定義し、システムを環境から分離するというモデリングの決定の範囲内で、ある観点からはそうです。システムのファミリーがモデル化され、システムがパラメータによって区別される場合、これらのパラメータは通常、システムの状態変数ではなく、外部システムパラメータとみなされます。たとえば、相互作用の強さを記述するための物理的な質量や物理的な結合定数は、外部システムパラメータとして与えられますが、システムの状態変数ではありません）。^{[ 1 ]}

数学モデルでは、有界観測量はしばしば観測量の代数の要素として扱われます。^{[ 2 ]}すなわち、値が加算および乗算される可能性のある有界観測量が、Cstar_algebraの自己共役要素を使用してモデル化される場合、状態は代数の双対 (連続線形汎関数 ρ) の正規化された正の要素となります。システムが状態にある場合${\textstyle \rho }$すると、観測可能な${\textstyle A}$観測値を提供する${\textstyle \rho (A)=<\rho ,A>}$（括弧）${\textstyle <.,.>}$（代数の双対空間と代数自体との間の双対性ペアリングを表す。）例えば、観測量が関数である場合${\textstyle f}$状態空間から実数へ変換し、その後、ある点で関数を評価する。${\textstyle x}$状態を提供する$\rho_x$と${\textstyle <\rho _{x},f>=f(x)}$これは、点 x における点評価関数です。この記述では、有界状態関数は特定の有界観測量です。この概念は、一般的な抽象的なケース、したがってより一般的な非有界状態関数に対して、非有界観測量 (物理学における例: 全空間の位置成分、または運動量成分) ^{[ 3 ]}に拡張できます。多くの場合、互換性のある可換かつ独立した観測量の最大セットを選択し、他の互換性のある観測量をこれらの観測量の関数として表現できます。そうすると、すべての互換性のある観測量を独立観測量の関数として表現することを選択したことになり、独立観測量は独立状態変数になります。

熱力学系の状態の定義と例については、「熱力学的状態」を参照してください。

熱力学において、状態変数は、システムの巨視的な状態記述を提供する、システムの大規模な特性または集合的な性質として物理的に定義されます。^{[ 4 ] [ 5 ]}一般に、状態変数には次のような共通の性質があります。

• これらは、物質の構造、場、放射線に関して特別な仮定を一切必要としない。
• システムを説明するために必要なものはごく少数である。
• それらは、私たちの感覚的知覚が示唆するように、根本的なものである。
• それらは一般的に直接測定することができる。^{[ 4 ]}

観測量の古典的な代数はアーベル（可換）であるのに対し、量子観測量の代数は非アーベルである。^{[ 6 ]}

微視的量子系の巨視的熱力学的記述は、微視的系の熱力学的極限として得られ、対応する観測量の代数が得られ、それによって巨視的観測量の定義が可能になります。抽象的な巨視的観測量と熱力学的状態関数としての観測量の区別は、次のようにして得られます。特定の巨視的状態に対して、GNS表現を使用して、ヒルベルト空間上の線形演算子としての観測量の代数の表現を取得し、互換性のある観測量の最大アーベル代数を選択し、アーベルC*代数に対するゲルファント変換を適用して、抽象的な観測量を状態の表現空間（ゲルファント空間）上の関数として表現します。一般に、ゲルファント空間上の関数としてのこのような記述は、選択された巨視的状態に依存するため、表現に依存します。状態方程式はこれらの関数間の特定の関係を確立するため、変数の方程式によって定義される集合としてさまざまな状態を定義する可能性があります。多くの場合、この多様性は有限次元であり、特定の観測可能な状態関数を独立状態変数として選択し、他の状態関数をこれらの独立変数の関数として表現することで記述できます。この意味で、独立状態変数は、状態の多様性をその定義域から状態の多様性への関数としてパラメータ化するために使用されます。一方、一般的な状態関数は、状態の集合から実数（または複素数）への関数です。これらの関数を組み合わせることで、一般的な観測量の値を独立状態変数の関数として表現することができ、それによってそれらは従属状態変数となります。

例えば、熱力学的極限における微視的システムの正準集合を用いて熱力学システムを記述することで、独立した状態変数が得られる。${\displaystyle T,V,N}$（温度、体積、粒子数）式に対応${\displaystyle dF=-SdT-pdV-\mu dN}$熱力学的自由エネルギー${\displaystyle F=E-TS}$ここで、S = エントロピー、E = 内部エネルギー、μ = 化学ポテンシャルです。その他のすべての状態変数は、T、V、N の関数として表すことができます。単原子理想気体の場合、圧力の状態方程式は理想気体の法則であり、圧力は従属状態変数になります。エントロピーの方程式はサックル・テトローデ方程式であり、内部エネルギーはジュールの第 2 法則を要求することによって得られ、化学ポテンシャルは、記事「理想気体」の「熱力学的ポテンシャル」のセクションで説明されているように、ギブズポテンシャルを介して計算されます。

これらの変数はすべて、状態のみに依存し、その状態がどのように得られたかの履歴には依存しません。これは、これらの変数が状態変数であることを示す重要な特性であり、例えばプロセス変数（より正確にはプロセス量）とは区別されます。プロセス変数については、システムが特定の状態にあるときに特定の値に到達するという表現は使えません。詳細は、下記の「非例」セクションを参照してください。

力学系の理論では、連立一次微分方程式で構成される力学モデルは状態変数形式であると言われている。^{[ 7 ]}

• 機械システムにおいて、機械部品の位置座標と速度は典型的な状態変数であり、これらを知ることで、システム内の物体の将来の状態を決定することが可能となる。
• 熱力学において、状態変数とは状態関数の独立変数のことである。例としては、内部エネルギー、エンタルピー、温度、圧力、体積、エントロピーなどが挙げられる。熱と仕事は状態関数ではなく、過程関数である。
• 電子回路／電気回路において、ノードの電圧と回路内の部品を流れる電流は通常、状態変数となります。あらゆる電気回路において、状態変数の数は、インダクタとコンデンサという（独立した）記憶素子の数に等しくなります。インダクタの状態変数はインダクタを流れる電流であり、コンデンサの状態変数はコンデンサの両端の電圧です。
• 生態系モデルでは、植物、動物、資源（栄養素、有機物）の個体数（または濃度）が典型的な状態変数となる。

• 熱力学では、熱は状態変数ではありません。どのシステムも熱を蓄えることはありません。^{[ 8 ]}「システムの現在の熱量」について語ることはできません。熱はプロセス変数であり、システムが状態変化する際のエネルギー伝達の様式を記述します。プロセス関数である熱は、システムが現在達成している状態だけでなく、システムがどのように変化するかのプロセスにも依存します。
• 熱力学において、（機械的な）仕事は状態変数ではありません。仕事は、系が状態変化する際にエネルギーが伝達されるもう一つの形態です。

制御工学をはじめとする科学技術分野では、状態変数を用いて一般的なシステムの諸状態を表します。状態変数の値の可能な組み合わせの集合をシステムの「状態空間」と呼びます。システムの現在の状態を直近の入力と過去の状態に関連付ける方程式を状態方程式と呼び、出力変数の値を状態変数と入力を用いて表す方程式を出力方程式と呼びます。以下に示すように、線形時不変システムの状態方程式と出力方程式は、係数行列A、B、C、Dを用いて表すことができます。

${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{N\times N},\quad B\in \mathbb {R} ^{N\times L},\quad C\in \mathbb {R} ^{M\times N},\quad D\in \mathbb {R} ^{M\times L},}$

ここで、 N、L、Mはそれぞれ状態、入力、出力を表すベクトルの次元である。