分布（数学）

シュワルツ分布または一般化関数としても知られる超関数は、数学的解析における関数の古典的な概念を一般化するオブジェクトです。超関数により、古典的な意味での導関数が存在しない関数を微分することができます。特に、局所的に積分可能な関数はすべて超関数導関数を持ちます。

分布は偏微分方程式の理論で広く使われており、分布解（弱解）の存在を証明する方が古典的解よりも簡単な場合や、適切な古典的解が存在しない場合がある。分布は物理学や工学でも重要であり、多くの問題がディラックのデルタ関数などの解や初期条件が特異な微分方程式に自然につながる。

関数は 通常、関数定義域の点を点 に「送る」ことによって関数定義域の点に作用すると考えられています。分布理論では、関数を点に作用させるのではなく、特定の方法でテスト関数に作用するものと解釈し直します。物理学や工学への応用では、テスト関数は通常、無限に微分可能な複素数値（または実数値）のコンパクトなサポートを持つ関数で、空でない特定の開部分集合 上で定義されます。（バンプ関数はテスト関数の例です。）このようなテスト関数の集合は、またはで表されるベクトル空間を形成します。${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x).}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

を使用するすべての連続マップを含む、最も一般的に遭遇する関数は、「テスト関数に対する積分」を介して作用するものとして標準的に再解釈できます。明示的には、このような関数は、テスト関数を によってよく表される数に「送る」ことによってテスト関数に「作用する」ことを意味します。 のこの新しい作用は、テスト関数の空間をドメインとするスカラー値マップを定義します。この関数は、上の分布と呼ばれるものの2つの定義特性を持つことがわかります。つまり、 は線形であり、に標準LFトポロジと呼ばれる特定のトポロジが与えられた場合は連続でもあります。この分布のテスト関数への作用（積分）は、単一の点での分布の値が明確に定義されていない場合でも、テスト関数のサポート上の分布の加重平均として解釈できます。このように関数から生じるような分布は分布の原型的な例ですが、どの関数に対する積分でも定義できない分布も多数存在します。後者の例には、ディラックのデルタ関数や、特定の測度に対するテスト関数の積分によって動作するように定義された分布が含まれます。ただし、任意の分布を、そのような積分動作によって発生するより単純な関連分布の族に縮小することは常に可能です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$${\displaystyle D_{f}(\psi ).}$${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle U=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle D_{f}}$${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle U.}$

より一般的には、上の超関数${\displaystyle U}$は、定義により 上の線型汎関数であり、に標準 LF 位相と呼ばれる位相が与えられたときに連続します。これにより、上の (すべての) 超関数の空間が生まれます。この空間は通常(プライムに注意) で表され、定義により上のすべての超関数の空間です(つまり、の連続双対空間です)。この記事では、これらの超関数を中心に説明します。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

テスト関数と検定分布の空間上の適切な位相の定義は、テスト関数と検定分布の空間に関する記事で説明されています。この記事では、主に分布の定義、その特性、およびいくつかの重要な例について説明します。

分布の実際の使用は、1830 年代に常微分方程式を解くためにグリーン関数が使用されたことに遡りますが、形式化されるのはずっと後になってからでした。Kolmogorov と Fomin (1957) によると、一般化関数は、 2 次双曲型偏微分方程式に関するSergei Sobolev  (1936)の研究に端を発し、そのアイデアは1940 年代後半にLaurent Schwartzによっていくらか拡張された形で開発されました。彼の自伝によると、Schwartz は、点電荷だけでなく双極子なども含む可能性のある電荷の分布との類推によって「分布」という用語を導入しました。Gårding (1997) は、Schwartz (1951) の変革的な本のアイデアはまったく新しいものではなかったが、分布が解析のほぼすべての場面で役立つという Schwartz の幅広いアプローチと確信が違いを生んだとコメントしています。分布理論の詳細な歴史はLützen (1982)によって説明されている。

この記事では、以下の表記法を使用します。

• ${\displaystyle n}$は固定された正の整数であり、ユークリッド空間の固定された空でない開集合である。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}}$自然数を表します。
• ${\displaystyle k}$負でない整数または${\displaystyle \infty .}$
• が関数である場合、その定義域を表し、${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {ドム} (f)}$で表されるのサポートは、集合の閉包として定義されます。${\displaystyle f,}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$${\displaystyle \operatorname {ドム} (f).}$
• 2 つの関数の場合、次の表記法は標準的なペアリングを定義します。${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• サイズのマルチインデックス はの要素です( が固定であると仮定すると、マルチインデックスのサイズが省略された場合、サイズは であると想定されます)。マルチインデックスの長さは と定義され、 で表されます。マルチインデックスは、複数の変数の関数を扱うときに特に便利です。特に、特定のマルチインデックス に対して次の表記を導入します。また、すべてのマルチインデックスの半順序を によって導入します。これは、すべてに対してである場合に限ります。マルチインデックスの二項係数を次のように定義します。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle |\alpha |.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$${\displaystyle \beta \geq \alpha }$$${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

このセクションでは、 U上の実数値分布を定義するために必要ないくつかの基本的な概念と定義を紹介します。テスト関数と分布の空間上の位相に関する詳細な説明は、テスト関数と分布の空間に関する記事で説明します。

のすべてのおよび任意のコンパクト部分集合およびに対して、次が成り立ちます。 ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

U上の超関数は、このベクトル空間が標準 LF 位相と呼ばれる特定の位相を備えている場合、上の連続線型関数です。次の命題は、 上の線型関数の連続性に対する 2 つの必要かつ十分な条件を述べていますが、これらは簡単に検証できます。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

命題:上の線型関数 Tが連続であり、したがって分布であるためには、次の同値な条件のいずれかが満たされる必要があります。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. 任意のコンパクト部分集合に対して、定数および（ に依存）が存在し、に含まれる台を持つすべての に対して、^{[1] [2]}${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle K}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. 任意のコンパクト部分集合およびのサポートが に含まれる任意のシーケンスに対して、任意の多重インデックスに対して が一様にゼロに収束する場合、${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T(f_{i})\to 0.}$

ここで、トポロジーを定義するセミノルムを紹介します。異なる著者は異なるセミノルムのファミリーを使用することがあるため、以下に最も一般的なファミリーをリストします。ただし、どのファミリーを使用しても、結果として得られるトポロジーは同じです。 ${\displaystyle C^{k}(U).}$

上記の関数はすべて、 上の非負の値^{[注 2]}のセミノルムです。この記事で説明したように、ベクトル空間上のすべてのセミノルムの集合は、局所的に凸なベクトル位相を誘導します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

次の各半ノルム集合は、 上で 同じ局所凸ベクトル位相を生成します(したがって、たとえば、 の半ノルムによって生成される位相は、の半ノルムによって生成される位相と等しくなります)。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

この位相では、は局所凸フレシェ空間になるが、これはノルム可能ではない。 のすべての元は上で連続半ノルムである。 この位相では、のネットがに収束するための必要条件は、を持つすべての多重インデックスおよびすべてのコンパクトに対して、偏導関数のネットが上で一様にに収束することである^[3]任意の の任意の(フォン・ノイマン) 有界部分集合に対して、 の相対的にコンパクトな部分集合である^[4]特に、 の部分集合が有界であるための必要条件は、それがすべて に対してで有界であるためである^[4]空間がモンテル空間であるための必要条件は、次のとおりである^[5]${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |p|<k+1}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$${\displaystyle C^{k+1}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{i}(U)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle k=\infty .}$

の部分集合がこの位相で開いているのは、に次の部分空間位相が与えられたときに開いているようなものが存在する場合のみである。${\displaystyle W}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle W}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{i}(U).}$

前回と同様に、が の任意のコンパクト部分集合である場合、${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

が有限であれば、ノルムによって定義できる位相を持つバナッハ空間^[6]であり 、の場合にはヒルベルト空間でもあります。^[6]${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k}(K)}$ $${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$${\displaystyle k=2,}$${\displaystyle C^{k}(K)}$

が の開集合で、 がコンパクト部分集合であるとします。定義により、 の元は定義域を持つ関数(記号では) なので、空間とその位相は に依存します。この開集合への依存性を明確にするため、一時的に を と表記します。重要な点として 、集合を( を持つ)別の開集合に変更すると、集合がからに変更されるので^{[注 3]} 、 の元はではなく定義域を持つ関数になります。開集合 ( ) に依存しているにも かかわらず、 の標準的な表記法ではこれについて何も触れられていません。このサブセクションで説明するように、空間はのサブスペースとして標準的に識別されるため、これは正当化されます(代数的にも位相的にも)。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle U;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U).}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle K\subseteq U'}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

と の一方が他方のサブセットである場合に、を標準的に識別する方法を説明すれば十分です。その理由は、 と が の任意の開サブセットを含む場合、開集合もを含むため、とのそれぞれがと と標準的に識別され、推移性により がと同一視されるためです。したがって、が の開サブセットである と仮定すると、 を含む${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(K;U')}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U:=V\cap W}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle C^{k}(K;V)}$${\displaystyle C^{k}(K;W)}$${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$${\displaystyle C^{k}(K;V)}$${\displaystyle C^{k}(K;W).}$${\displaystyle U\subseteq V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K.}$

への自明な拡張が で定義される 関数であるとすると、 この自明な拡張は に属し(はコンパクト サポートを持つため)、 で表記されます(つまり)。したがって、割り当てによって の関数を 上の自明な拡張に送るマップが誘導されます。このマップは線型注入であり、すべてのコンパクト サブセット( であるため、 も のコンパクト サブセット) に対して です。 がに制限されている 場合、次の誘導された線型マップは同相写像です (線型同相写像はTVS 同型と呼ばれます)。 したがって、次のマップは位相的埋め込みです。 注入を使用すると、 ベクトル空間は内のその像と標準的に同一視されます。この同一視により、は のサブセットと見なすこともできるため です。 したがって、 上の位相はを含むの開サブセットとは独立です^[7]。これにより、 の代わりに と書くという慣習が正当化されます。${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$${\displaystyle C^{k}(V)}$${\displaystyle f\in C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle I(f)}$${\displaystyle I(f):=F}$${\displaystyle f\mapsto I(f)}$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle K}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}}$$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle C^{k}(V).}$${\displaystyle C^{k}(K;U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

は、 でコンパクト サポートを持つのすべての関数を表すことを思い出してください。ここで、 はのすべてのコンパクト サブセット上の値域としてのすべての和集合であることに注意してください。さらに、それぞれ に対して はの稠密なサブセットです。 の特別なケースでは、 はテスト関数の空間を提供します。 ${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle k,\,C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle C^{k}(U).}$${\displaystyle k=\infty }$

標準 LF 位相は距離化可能ではなく、重要なことに、 を誘導する部分空間位相よりも厳密に細かいです。ただし、標準LF位相は完全な反射核^[8]モンテル^[9]ボルノロジー樽型マッキー空間になります。同じことがその強双対空間(つまり、通常の位相を持つすべての超関数の空間)にも当てはまります。標準LF 位相はさまざまな方法で定義できます。 ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U).}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

前述のように、上の連続線形関数は上の超関数として知られています。その他の同等の定義については以下で説明します。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle U.}$

上の分布と検定関数の間には標準的な双対関係があり、これは山括弧を使って次のよう に表記される。${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

この表記は、分布が検定関数に作用してスカラーを与えると解釈されるか、または対称的に検定関数が分布に作用すると解釈される。${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T.}$

命題。が上の線形関数である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

1. T は分布です。
2. Tは連続です。
3. T は原点で連続である。
4. T は一様連続である。
5. Tは有界演算子です。
6. Tは連続的である。
   • 明示的には、 の任意の列が に収束する^{[注 4]}${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. Tは原点で連続している。言い換えれば、Tはヌルシーケンス^[注5]をヌルシーケンスにマッピングする。
   • 明示的には、内の任意のシーケンスが内で原点に収束する場合（このようなシーケンスはヌルシーケンスと呼ばれます）、${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • ヌルシーケンスは定義により原点に収束するシーケンスです。
8. T はヌルシーケンスを境界付きサブセットにマッピングします。
   • 明示的には、 内の原点に収束するすべてのシーケンスに対して、シーケンスは有界です。${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. T はMackey 収束ヌルシーケンスを境界付きサブセットに マッピングします。
   • 明示的には、シーケンス内のすべての Mackey 収束ヌル シーケンスは有界です。${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • 数列が原点にMackey 収束するとは、その数列が有界となるような正の実数の発散数列が存在する場合である。原点に Mackey 収束する数列はすべて、必然的に原点に収束する (通常の意味で)。${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. Tの核は、${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U);}$
11. Tのグラフは閉じています。
12. 上の連続半ノルムが存在し、${\displaystyle g}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. 定数と有限部分集合（ここで は上の標準LF位相を定義する連続半ノルムの任意の集合）が存在し、^[注6]${\displaystyle C>0}$${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. 任意のコンパクト部分集合に対して定数とが存在し、すべての^[1]に対して${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. 任意のコンパクト部分集合に対して定数とが存在し、^[10]に含まれる台を持つすべてのものに対して${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle C_{K}>0}$${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. 任意のコンパクト部分集合と内の任意のシーケンスがすべての多重インデックスに対して一様にゼロに収束する場合、${\displaystyle K\subseteq U}$${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle C^{\infty }(K),}$${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

上のすべての超関数の成す集合は、強双対位相が備わっているときの連続双対空間で表されます。重要な点として、特に断りがない限り、 上の位相は強双対位相です。位相が弱*位相である場合は、そのように示されます。どちらの位相も距離化可能ではありませんが、弱*位相とは異なり、強双対位相は完全な核空間になります。これは、その望ましい特性のほんの一例です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

もその強い双対もシーケンシャル空間ではないため、どちらの位相もシーケンスによって完全に記述することはできません (言い換えると、これらの空間でどのシーケンスが収束するかを定義するだけでは、位相を完全に/正しく定義するのに不十分です)。ただし、のシーケンスは、弱 * 位相で収束する場合に限り、強い双対位相で収束します(このため、多くの著者は、分布のシーケンスの収束を定義するために点ごとの収束を使用しています。これはシーケンスには適していますが、分布のネットの収束にまで拡張できるとは限りません。これは、ネットが点ごとに収束する場合でも、強い双対位相では収束しない可能性があるためです)。 に備わっている位相に関する詳細は、テスト関数と分布の空間に関する記事と、極位相と双対システムに関する記事に記載されています。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

から別の局所凸位相ベクトル空間（任意のノルム空間など）への線型写像が連続となるのは、原点で逐次連続する場合に限ります。ただし、写像が線型でない場合や、より一般的な位相空間（たとえば、局所凸位相ベクトル空間でもない）で値を取る写像の場合は、このことが保証されなくなります。 からの写像についても同じことが言えます（より一般的には、任意の局所凸ボルノロジー空間からの写像に当てはまります）。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Uの特定の点における分布の値を定義する方法はありません。ただし、関数の場合と同様に、U上の分布はUの開部分集合上の分布を与えるように制限されます。さらに、分布は、重なりに関するいくつかの適合条件を満たすUの開被覆上の分布から、 U全体上の分布を組み立てることができるという意味で、局所的に決定されます。このような構造は層として知られています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

を の開部分集合とします。 すべての関数は、その定義域VからU上の関数にゼロ拡張できます。これは、補集合上で に等しく設定することによって行われます。この拡張は、から への自明拡張と呼ばれる滑らかでコンパクトにサポートされた関数であり、 と表記されます。 この割り当てにより、 を連続的な単射線型写像である自明拡張演算子 が定義されます。これは、のベクトル部分空間として 標準的に識別するために使用されます（ただし、位相的部分空間としてではありません）。その転置（ここで説明） は と呼ばれます。${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E_{VU}(f).}$${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$$${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$の分布の への制限${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$^[11]分布の像は上の分布であり、への制限と呼ばれる制限の定義条件はある。 の場合、（連続単射線型）自明な拡大写像はではないが のサブセットとして識別されるならば、の位相は に誘導する部分空間位相よりも厳密に細かくなる。重要なのは、位相の等式を要求するので、それは位相的部分空間ではないということである）。また、その値域はその共域ない^[11]したがって、 の場合、制限写像は単射でも全射でもない。^[11]が の転置の値域に属する場合、その分布はUに拡張可能と言われに拡張可能であれば拡張可能と呼ばれる^[11]${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$$${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$${\displaystyle V\neq U}$${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$${\displaystyle V\neq U}$${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$${\displaystyle E_{VU}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ただし、Vへの制限が単射でも射影でもない場合には、射影性の欠如が起こります。これは、超関数がVの境界に向かって爆発する可能性があるためです。たとえば、 の場合、超関数 は ですが、 への拡張は許可されません。${\displaystyle U=V,}$${\displaystyle U=\mathbb {R} }$${\displaystyle V=(0,2),}$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

V をUの開集合とする。VがUで消滅するとは、次を満たすすべての に対して、 TがVで消滅する場合、およびTのVへの制限が 0 に等しい場合、または同等に、T が制限写像の核内にある場合、およびT がV で消滅する場合に限ります。${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

この最後の系は、 U上の任意の超関数Tに対して、 T がVで消える（そしてVに含まれないUの任意の開集合では消えない）ようなUの最大部分集合V が唯一存在することを意味する。この唯一の最大開集合のUにおける補集合はTのサポートと呼ばれる。^[12]したがって $${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

がU上の局所的に積分可能な関数であり、がそれに関連付けられた超関数である場合、 の台は、の補集合においてほぼどこでも0 に等しいUの最小の閉部分集合です。 ^[12]が連続である場合、 の台は、が0 にならないU内の点の集合の閉包に等しくなります。[12 ^]ある点におけるディラック測度に関連付けられた超関数の台は、集合です。^[12]テスト関数の台が超関数Tの台と交差しない場合、超関数Tが 0 になるのは、その台が空である場合に限ります。 が超関数Tの台を含むある開集合上で 1 と等価である場合、超関数Tの台がコンパクトである場合、超関数は有限の位数を持ち、次の定数と負でない整数が存在します。^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \{x_{0}\}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Tf=0.}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle fT=T.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$ $${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

T がコンパクトな台を持つ場合、上の連続線型関数への一意な拡張を持ちます。この関数は によって定義されます。ここで はTの台を含む開集合上で恒等的に 1 である任意の関数です。^[7]${\displaystyle {\widehat {T}}}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

かつならば、かつである。したがって、与えられた部分集合に台を持つ超関数は、のベクトル部分空間を形成する。^[13]さらに、がUの微分作用素であるならば、 U上のすべての超関数Tおよびすべてに対して、かつ^[13]である。${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$${\displaystyle A\subseteq U}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

任意のに対して、におけるディラック測度によって誘導される分布を表す。任意の分布と分布に対して、Tの台がに含まれるのは、T がにおけるディラック測度の導関数の有限線形結合である場合に限る^{[14]。さらに、} Tの位数がである場合、定数が存在し、次のようになる: ^{[15] 。}${\displaystyle x\in U,}$${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle \{x_{0}\}}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle \leq k}$${\displaystyle \alpha _{p}}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

言い換えると、T が単一の点でサポートを持つ場合、T は実際にはPにおける関数の分布微分の有限線形結合です。つまり、整数mと複素定数が存在し、 は 変換演算子です 。${\displaystyle \{P\},}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle a_{\alpha }}$$${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$${\displaystyle \tau _{P}}$

超関数の正式な定義では、超関数は非常に大きな空間、つまり の位相的双対(または緩和超関数のシュワルツ空間) のサブスペースとして表されます。定義からは、超関数がどの程度エキゾチックであるかはすぐにはわかりません。この質問に答えるには、より小さな空間、つまり連続関数の空間から構築された超関数を見ることが有益です。大まかに言えば、任意の超関数は局所的に連続関数の (多重) 微分です。以下に示すこの結果の正確なバージョンは、コンパクト サポートの超関数、緩和超関数、および一般超関数に当てはまります。一般的に言えば、超関数の空間の適切なサブセットは、すべての連続関数を含み、微分に関して閉じていることはありません。これは、超関数が特にエキゾチックなオブジェクトではなく、必要なだけ複雑であることを示しています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

上記の結果を組み合わせると、U上の任意の分布を、コンパクトな台を持つ一連の分布の和として表現できます。ここで、これらの分布のそれぞれは、U上の連続関数の分布微分の有限和として記述できます。言い換えると、任意の に対して次のように記述できます。 ここで、 は多重インデックスの有限集合であり、関数は連続です。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{ip}}$

上記の無限和は分布として明確に定義されていることに注意されたい。与えられたTの値は、サポートと交差する有限個の値を使って計算できる。${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle g_{\alpha }}$${\displaystyle f.}$

コンパクトな台を持つ滑らかな関数に対して定義される多くの演算は、超関数に対しても定義できます。一般に、 が弱位相に関して連続な線型写像である場合、位相幾何学や線型関数解析の古典的な拡張定理によって常に写像に拡張できるわけではありません。 ^{[注 7]}上記の線型連続演算子 A の「分布的」拡張は、A がシュワルツ随伴関数、つまり、 すべてのテスト関数のペアに対して となる同じタイプの別の線型連続演算子 B を許容する場合に限り可能です。その条件では、 B は一意であり、拡張 A' はシュワルツ随伴関数 B の転置です。^{[要出典] [18] [要説明]}${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

超関数および超関数空間に対する演算は、線型作用素の転置を使用して定義されることが多い。これは、転置によって超関数の理論における多くの定義を統一的に表現できるためであり、また、その特性が関数解析でよく知られているためでもある。^[19]たとえば、ヒルベルト空間間の線型作用素のよく知られたエルミート随伴は、単に作用素の転置である（ただし、各ヒルベルト空間をその連続双対空間と同一視するためにリース表現定理が使用される）。一般に、連続線型写像の転置は線型写像 、または同等に、すべておよびすべて を 満たす唯一の写像である（ のプライム記号はいかなる種類の導関数も表さず、単に が連続双対空間 の要素であることを示している）。 は連続であるため、両方の双対にそれぞれ強い双対位相が備わっている場合、転置も連続である。また、両方の双対にそれぞれ弱い*位相が備わっている場合も、転置は連続である（詳細については、 極位相と双対システムの記事を参照）。${\displaystyle A:X\to Y}$$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,}$$${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y'\in Y'}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle Y'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {}^{t}A:Y'\to X'}$

超関数の文脈では、転置の特徴付けを少し洗練することができます。を連続線型写像とします。定義により、 の転置は次を満たす唯一の線型演算子です。 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$$${\displaystyle \langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

は（ここでは、実際には分布の集合を指す）稠密であるため、定義等式が の形の分布すべてに対して成立していれば十分である。明示的には、連続線型写像が に等しいのは、以下の条件が成立する場合のみである。 ここで、右辺は に等しい。${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$${\displaystyle T=D_{\psi }}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {}^{t}A}$$${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$${\displaystyle \langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

を偏微分演算子とします。拡張するには転置を計算します。 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

したがって、座標に関する偏微分は、次の式で定義されます。 ${\displaystyle {}^{t}A=-A.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

この定義によれば、あらゆる分布は無限に微分可能であり、方向の微分は線形演算子である。${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

より一般的には、が任意の多重指数である場合、分布の偏微分は次のように定義される。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$$${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

超関数の微分は、これに対する連続演算子であり、これは他のほとんどの微分の概念では共有されていない重要かつ望ましい特性です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

がにおける 超関数である場合、 はの微分であり、 はによる変換であるため、 の微分は商の極限として考えることができる。^[20]${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle T'}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau _{x}}$${\displaystyle x;}$${\displaystyle T}$

滑らかな係数を持つ の線型微分作用素は、上の滑らかな関数の空間に作用します。このような作用素が与えられた場合 、上の作用素の作用を上の超関数に拡張する 連続線型写像を定義します。言い換えれば、次の図がを可換にするように を定義します。 ここで、垂直写像は、次のように定義される その標準超関数 を割り当てることによって与えられます。 この表記法では、図の可換は次と同等です。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$${\displaystyle D_{P}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle D_{P}}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$$${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$$${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

によって定義される連続誘導写像の転置を求めることは、以下の補題で考察される。これは、次のように定義される の微分演算子の形式的転置と呼ばれる定義につながる。転置写像との混同を避けるために、 で表記する。転置写像は、 によって定義される。${\displaystyle D_{P},}$${\displaystyle {}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle P_{*}}$$${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

この補題と、形式的転置の形式的転置が元の微分作用素であるという事実、つまり^[21]を組み合わせると、正しい定義に到達できます。形式的転置は、次のように定義される(連続) 標準線型作用素を誘導します。この写像の転置は、次のように取ることができると主張します。これを確認するには、任意のに対して、の形式の分布に対するその作用を計算します。 ${\displaystyle P_{**}=P,}$${\displaystyle P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$${\displaystyle {}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle D_{P}.}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$${\displaystyle D_{f}}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

連続線型作用素をを拡張する超関数上の微分作用素と呼ぶ。^[21]任意の超関数に対するその作用素は次のように定義される。 ${\displaystyle D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

が収束する場合、すべての多重インデックスは収束します。${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

0 次微分演算子は、滑らかな関数による乗算にすぎません。逆に、 が滑らかな関数である場合、 は0 次微分演算子であり、その形式的な転置はそれ自身です (つまり、)。誘導微分演算子は、分布を で表される分布にマップします。このようにして、分布と滑らかな関数の乗算を定義しました。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle P:=f(x)}$${\displaystyle P_{*}=P}$${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

ここで、分布と滑らかな関数の積の別の表現を示す。積は次のように定義される。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle mT}$$${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

この定義は転置定義と一致する。なぜなら、が 関数の乗算演算子（つまり、）である場合、 ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$$${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$${\displaystyle {}^{t}M=M.}$

滑らかな関数による乗法の下では、は環上の加群である。滑らかな関数による乗法のこの定義により、微積分の通常の積の規則は有効のままである。しかし、いくつかの珍しい恒等式も生じる。例えば、が上のディラックのデルタ分布である場合、がデルタ分布の導関数である場合、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$${\displaystyle \delta ^{'}}$$${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

によって与えられる双線型乗法写像は連続ではないが、亜連続である。^[22]${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

例:任意の分布と、その関数が1である積は、${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle T.}$

例：が定数関数に収束するテスト関数の列であるとする。上の任意の分布に対して、列は^[23]に収束する。${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

がに収束し、がに収束する場合、がに収束します。${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

分布と滑らかな関数の積、またはより一般的には、特異なサポートが互いに素である2つの分布の積を定義するのは簡単です。^{[24]もう少し努力すれば、各点における}波面集合が互換性がある限り、複数の分布の適切な積を定義することができます。分布（および超関数）の理論の限界は、分布の積を滑らかな関数で拡張した2つの分布の結合積が存在しないことです。これは1950年代にローラン・シュワルツによって証明されました。たとえば、がコーシー主値によって得られる分布である場合、${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

がディラックのデルタ分布である 場合 、となり、 したがって、分布と滑らかな関数（常に明確に定義される）の積は、分布の空間上 の結合積に拡張することはできません。${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$$${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

したがって、非線形問題は一般には提起できず、したがって分布理論だけでは解決できません。ただし、量子場の理論の文脈では、解決策が見つかります。2次元以上の時空では、この問題は発散の正規化に関連しています。ここで、Henri EpsteinとVladimir Glaserは、数学的に厳密な（しかし非常に専門的な）因果摂動論を開発しました。これは、他の状況では問題を解決しません。他の多くの興味深い理論は、たとえば流体力学のナビエ-ストークス方程式のように、非線形です。

一般化関数の代数に関する完全に満足できるとは言えない理論がいくつか開発されてきたが^[要出典]、その中でもコロンボーの(簡略化された)代数はおそらく今日最もよく使われているものである。

ライオンズのラフパス理論^{[25]に触発されて、} マーティン・ヘアラーは、確率解析、特に確率偏微分方程式の多くの例で利用可能な、特定の構造（正則構造^[26] ）を持つ分布を乗算する一貫した方法を提案しました。また、フーリエ解析からの ボニーのパラプロダクトに基づく関連する展開については、グビネリ-イムケラー-ペルコフスキー（2015）を参照してください。

を上の超関数とし、を上の開集合とし、を沈み込みとすると、次のように定義できる。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle U.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F:V\to U.}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

これはの分布の合成であり${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$、 に沿ったの引き戻しと${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$も呼ばれ、 と書かれること もある。$${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

プルバックはよく表記されますが、この表記法は、線形マッピングの随伴を表すために「*」を使用することと混同しないでください。 ${\displaystyle F^{*},}$

が沈み込みであるという条件は、のヤコビ微分が任意のに対して全射線型写像であるという要件と同等である。を超関数に拡張するための必要条件（十分条件ではない）は、 が開写像であるということである。 ^[27]逆関数定理は、沈み込みがこの条件を満たすことを保証する。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle dF(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x\in V.}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle F}$

が沈み込みであれば、転置写像を見つけることによって超関数上で定義されます。 が上の連続線型作用素であるため、この拡張の一意性は保証されています。ただし、存在には変数変換の公式、逆関数定理（局所的）、および1の分割の議論を使用する必要があります。^[28]${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle F^{\#}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

が の開部分集合から の開部分集合への微分同相写像である特別な場合、積分による変数変換 により次が得られます。${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

この特定のケースでは、は転置式によって定義されます。 ${\displaystyle F^{\#}}$$${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

状況によっては、関数と分布の畳み込み、あるいは 2 つの分布の畳み込みを定義することも可能である。および が上の関数である場合、 および の畳み込みによって、 がで定義される 積分が存在するという条件で積分であると表されること を思い出す。 が となるような場合、任意の関数およびに対しておよび となる^[29]および が上の連続関数で、そのうち少なくとも 1 つがコンパクトな台を持つ場合、 となり、となる場合、上の の値はミンコフスキー和の外側の の値に依存しない[ ^29]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g,}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\ast g}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

重要なのは、がコンパクトなサポートを持つ場合、任意の畳み込みマップはマップとして、またはマップとして考えたときに連続であるということです^[29]${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

変換演算子がに送るとすると、は次のように定義されます。これは、転置によって分布に拡張できます。分布が与えられた場合、によるの変換は、によって定義される分布です^{[30] [31]}${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \tau _{a}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

関数を で定義すると、分布をで定義される分布とします。この演算子は原点に関する対称性と呼ばれます。^[30]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

との畳み込みは線形写像を定義する。 これは、上の標準LF空間位相に関して連続で ある。${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

の分布との畳み込みは、分布の空間との双対関係に対するの転置をとることによって定義できる。^[32]すると、フビニの定理により${\displaystyle f}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

連続性によって拡張すると、分布との畳み込みは次のように定義される。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

テスト関数と分布の畳み込みを定義する別の方法は、変換演算子を使用することです。コンパクトにサポートされている関数と分布の畳み込みは、それぞれに対して 次のように定義される関数です。${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau _{a}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

滑らかでコンパクトに支えられた関数と分布の畳み込みは滑らかな関数であることが示せます。分布がコンパクトに支えられ、が多項式（それぞれ指数関数、解析関数、解析関数全体の への制限、指数型の全関数の への制限）である場合、同じことが^[30]にも当てはまります。分布がコンパクトに支えられている場合も、はコンパクトに支えられた関数であり、Titchmarsh 畳み込み定理Hörmander (1983、定理 4.3.3) は次を意味します。 ここで、は凸包を表し、はサポートを表します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T\ast f.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f\ast T}$$${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$${\displaystyle \operatorname {ch} }$${\displaystyle \operatorname {supp} }$

と とし、との少なくとも一方がコンパクトな台を持つと仮定する。と の畳み込みはまたはで表され、滑らかな関数である: ^{[30] は} すべての に対して以下を満たす: ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle f\ast T}$${\displaystyle T\ast f,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

を写像とする。 が超関数であれば、 は写像として連続である。もコンパクトな台を持つ場合、 は写像として連続であり、 は写像として連続である^[30]${\displaystyle M}$${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

が連続線型写像であり、すべておよびすべてに対して成り立つならば、すべてに対して成り立つ分布が存在する^[7]${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

例^{[7] を}ヘヴィサイド関数とする。任意の${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

を 0 におけるディラック測度とし、をその分布としての導関数とします。すると、そして重要なことに、結合法則は成り立ちません。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$$${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

2つの分布の畳み込みと を、その一方がコンパクトな台を持つ場合に定義することも可能です。非公式には、 がコンパクトな台を持つ場合を定義するには、畳み込みの定義を分布の線形演算に 拡張し、結合法則が すべてのテスト関数に対して成立し続けるようにします^[33]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle S\ast T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \,\ast \,}$$${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$${\displaystyle \phi .}$

超関数の畳み込みをより明示的に特徴付けることも可能である。^[32]超関数とがコンパクトな台を持つ超関数であると仮定する。すると線型写像は 連続である。これらの写像の転置は 結果的に連続であり、次も示すことができる。^[30]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

この共通値はと の畳み込みと${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$呼ばれ、またはで表される分布です。^[30]と が2つの分布で、そのうちの少なくとも1つがコンパクトな台を持つ場合、任意の に対して が成り立ちます。 ^[30]がの分布でがディラック測度である場合、 ; ^[30]したがって は畳み込み演算の単位元です。 さらに が関数である場合、 であり、ここで畳み込みの結合性は、すべての関数とに対してが成り立つことを意味します。${\displaystyle S\ast T}$${\displaystyle T\ast S.}$${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g.}$

がコンパクトなサポートを持つと仮定します。関数 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

これは滑らかな関数を定義し、さらにコンパクトな台を持つことが簡単に示せます。との畳み込みは次のように定義されます。 ${\displaystyle x,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

これは関数の畳み込みの古典的な概念を一般化し、次のような意味で微分化と互換性がある。すべての多重インデックスに対して${\displaystyle \alpha .}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

有限個の分布の畳み込みは、その全て（おそらく1つを除く）がコンパクトな台を持つ場合、結合的である。^[30]

この畳み込みの定義は、および^{[34]についてのより制限の少ない仮定の下でも有効である。}${\displaystyle S}$${\displaystyle T.}$

コンパクトな台を持つ超関数の畳み込みは、によって定義される連続双線型写像を誘導する。ここではコンパクトな台を持つ超関数の空間を表す。 ^[22]しかし、関数としての畳み込み写像は連続ではない^[22]が、別々には連続している。^[35]両方によって与えられる畳み込み写像と は連続ではない。 ^[22]しかし、これらの非連続写像はそれぞれ別々には連続し、亜連続である。^[22]${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

一般に、乗算積には正則性が、畳み込み積には局所性が要求される。これは、畳み込み定理の次の拡張で表現され、畳み込みと乗算積の両方の存在を保証する。を急速に減少する緩和分布、または同等に、緩和分布の空間内の通常の（ゆっくり増加する、滑らかな）関数とし、を正規化された（ユニタリ、通常の周波数）フーリエ変換とする。^[36]すると、シュワルツ（1951）によれば、 緩和分布の空間内でが成り立つ。^{[37] [38] [39]}特に、がディラックコームの場合、これらの方程式はポアソン総和公式になる。^{[40]急速に減少する緩和分布全体の空間は}畳み込み演算子の空間とも呼ばれ、緩和分布の空間内のすべての通常の関数の空間は乗算演算子の空間とも呼ばれます。より一般的には、および^{[41] [42]}特別なケースは、およびを述べているペイリー-ウィーナー-シュワルツの定理です。これは、および言い換えれば、コンパクトにサポートされた緩和分布は畳み込み演算子の空間に属し、帯域制限関数としてよく知られているペイリー-ウィーナー関数は乗算演算子の空間に属します^[43]${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

たとえば、 をディラック コーム、 をディラック デルタとすると、 は常に 1 となる関数となり、両方の方程式からディラック コーム恒等式 が得られます。別の例として、 をディラック コーム、 を矩形関数とすると、 はsinc 関数となり、両方の方程式から適切な関数に対する古典的サンプリング定理が得られます。より一般的には、 がディラック コームで が滑らかな窓関数(シュワルツ関数) (たとえばガウス関数) である場合、 は別の滑らかな窓関数 (シュワルツ関数) になります。これらは、特に偏微分方程式理論では軟化子として知られています。また、物理学では、一般化された関数を正規関数に変換できるため、正則化子として知られています。 ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$${\displaystyle \operatorname {rect} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

およびを開集合とする。すべてのベクトル空間は体または上にあると仮定する。に対して、すべてのおよびすべてのに対して次の関数を定義する。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} ,}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle v\in V}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

および が与えられている場合、次の関数を定義します。 ここで、 および これらの定義は、すべてのおよび を(それぞれの) 連続線型マップに関連付けます。 ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

さらに、どちらか（resp. ）がコンパクトなサポートを持つ場合、 （resp. ）の連続線型写像も誘導されます。^[44]${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

のと のテンソル積${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$は で表され、は分布である:^[44]${\displaystyle S\otimes T}$${\displaystyle T\otimes S,}$${\displaystyle U\times V}$ $${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

概して、以下の標準射影はすべて連続であり、その共域の稠密な部分集合である像（値域とも呼ばれる）を持つ。ここ で、（） 上の位相は、上の位相が定義されたのと同様に、空間の直接的な極限として定義される（したがって、特に、それらは通常のノルム位相ではない）。上記の各写像（および上記の写像の任意の合成）の値域は、その共域において稠密である。^[45]${\displaystyle 0<k<\infty }$${\displaystyle 1<p<\infty ,}$$${\displaystyle {\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$${\displaystyle L_{c}^{q}(U)}$${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$${\displaystyle L_{c}^{q}(K)}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$

が( に対して) または( に対して) または( に対して)のいずれかの空間であるとする。正準注入は、その像が共域に稠密である連続注入であるため、この写像の転置は連続注入である。したがって、この単射転置写像により、 の連続双対空間を、すべての超関数の空間の特定のベクトル部分空間と同一視することができる(具体的には、この転置写像の像と同一視される)。この転置写像は連続であるが、必ずしも位相的埋め込み であるわけではない。によってその上に誘導される部分空間位相よりも細かい局所凸位相を持つの線形部分空間は、超関数の空間と呼ばれる。^[46] この論文で言及されている超関数の空間のほとんどすべてがこのようにして生じる (たとえば、緩和超関数、制限、ある整数位の超関数、正のラドン測度によって誘導される超関数、-関数によって誘導される超関数など) ため、 の連続双対空間に関する任意の表現定理は、転置を介して超関数の空間の要素に直接転送することができる。${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$${\displaystyle L_{c}^{p}(U)}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\displaystyle L^{p}(U)}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).}$

包含写像は、その共領域に像が密である連続的な注入であるため、転置も連続的な注入です。 ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$

連続双対空間はラドン測度の空間として識別できることに注意する。ここで、連続線形関数とラドン測度に関する積分は1対1に対応している。つまり、 ${\displaystyle (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$

• ならば、 U上のラドン測度が存在し、すべての場合および${\displaystyle T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}}$${\displaystyle \mu }$${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• がU上のラドン測度である場合、を に送ることで定義される上の線形汎関数は連続です。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

注入により、すべてのラドン測度はU上の分布になります。 がU上の局所積分可能な関数である場合、分布はラドン測度です。そのため、ラドン測度は大規模で重要な分布空間を形成します。 ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle f}$${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

以下はラドン測度の分布構造の定理であり、すべてのラドン測度はU上の局所関数の導関数の和として表すことができることを示しています。 ${\displaystyle L^{\infty }}$

関数空間上の線型関数は、の定義域に属する関数が非負（つまり、実数値で）である場合に、正と呼ばれます。上のすべての正線型関数は必ず連続（つまり、必ずラドン測度）であることを示すことができます。^[48]ルベーグ測度は正のラドン測度の例です。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle T(f)\geq 0.}$${\displaystyle C_{c}^{0}(U)}$

ラドン測度の特に重要なクラスの 1 つは、局所的に積分可能な関数が誘導されるものです。関数は、Uのすべてのコンパクト部分集合K上でルベーグ積分可能である場合、局所的に積分可能と呼ばれます。これは、すべての連続関数とすべてのLp 空間関数を含む関数の大きなクラスです。 上の位相は、任意の局所的に積分可能な関数が上の連続線形関数(つまり、 の元) を生成するように定義されます。ここでは、 によって表され、そのテスト関数上の値はルベーグ積分によって与えられます。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle T_{f},}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

慣習的に、混乱が生じない限り、とを同一視する表記法が乱用され、そのため、との組み合わせは 、${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

と が2 つの局所的に積分可能な関数である場合、関連付けられた分布と がの同じ元に等しいのは、と がほぼどこでも等しい場合かつその場合に限ります(たとえば、Hörmander (1983、定理 1.2.5) を参照)。同様に、 上のすべてのラドン測度は、テスト関数上の値がであるの元を定義します。上記のように、表記法を乱用して、ラドン測度とテスト関数のペアを と記述するのが慣例です。逆に、Schwartz の定理 ( Riesz の表現定理に類似) に示されているように、非負関数上の非負のすべての分布は、何らかの (正の) ラドン測度に対してこの形式になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle T_{f}}$${\displaystyle T_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \phi }$${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

テスト関数はそれ自身局所的に積分可能であり、したがって超関数を定義する。テスト関数の空間は、上の強位相に関して順次稠密である^[49]これは、任意のに対して、超関数の列として考えた場合（その強双対位相において）に収束するテスト関数の列が存在することを意味する。または同等に、 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$$${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

包含写像は連続的な注入であり、その像はその共域に稠密であるので、転置写像も連続的な注入である。したがって、転置写像は超関数の空間を形成する。^[13]${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

の元はコンパクトな台を持つ超関数の空間として識別できる。^[13]明示的に、がU上の超関数である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• のサポートはコンパクトです。${\displaystyle T}$
• その空間が（標準的なLF位相よりも粗い位相）から継承された部分空間位相を備えている場合の、からへの制限は連続である。 ^[13]${\displaystyle T}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U),}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Uのコンパクトな部分集合Kが存在し、サポートが完全にKの外側にあるすべてのテスト関数に対して、${\displaystyle \phi }$${\displaystyle T(\phi )=0.}$

コンパクトにサポートされた分布は、空間 上の連続線型関数を定義します。 上の位相は、Uのすべてのコンパクト部分集合上で のすべての導関数が一様に 0 に収束する場合に限り、一連のテスト関数が 0 に収束するように定義されることを思い出してください。逆に、この空間上のすべての連続線型関数は、コンパクト サポートの分布を定義することが示されます。したがって、コンパクトにサポートされた分布は、からに拡張できる分布と同一視できます。${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle \phi _{k}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

とします。包含写像は、その像が共域で稠密である連続射なので、転置も連続射です。したがって、で表されるの像は、分布の空間を形成します。 の要素は、次数の分布です。 ^[16]次数の分布は、次数0の分布とも呼ばれ、まさにラドン測度である分布です（上記で説明）。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle \operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}}$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} ,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$${\displaystyle \,\leq k.}$${\displaystyle \,\leq 0,}$

の分布に対してkは、の分布であるが、の分布ではない。^[16]${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \,\leq k}$${\displaystyle \,\leq k-1}$

分布が有限次数であるとは、分布が次数 の分布であり、有限次数の分布の集合が で表されるような整数が存在する場合を言う。の場合、は のベクトル部分空間であり、さらに の場合に限り となることに注意する。 ^[16]${\displaystyle k}$${\displaystyle \,\leq k,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$${\displaystyle k\leq l}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

Uにおけるコンパクト台を持つすべての超関数は有限位数の超関数である。^[16]実際、Uにおけるすべての超関数は局所的に有限位数の超関数であり、次の意味である。^[16] VがUの開集合かつ相対コンパクト部分集合であり、がUからVへの制限写像である場合、の像は${\displaystyle \rho _{VU}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle \rho _{VU}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

以下は有限次数の分布の構造の定理であり、有限次数の分布はすべてラドン測度の導関数の和として表すことができることを示しています。

例(無限次分布) とすると、すべてのテスト関数に対して${\displaystyle U:=(0,\infty )}$${\displaystyle f,}$$${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

すると、 はU上の無限次数の超関数となる。さらに、は 上の超関数に拡張できない。つまり、 のUへの制限がに等しい上の超関数は存在しない。^[50]${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle S.}$

以下に定義されるのは、上の分布の空間の部分空間を形成する緩和分布である。これは適切な部分空間である。すべての緩和分布は分布であり、逆の要素は真ではない。緩和分布は、フーリエ変換を研究する場合に有用である。なぜなら、すべての緩和分布はフーリエ変換を持つからである。これは、${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

シュワルツ空間は 、すべての偏導関数とともに無限大で急速に減少するすべての滑らかな関数の空間です。したがって、 の任意の導関数を の任意のべき乗で乗じたものが0 に収束するという条件で、 はシュワルツ空間にあります。これらの関数は、適切に定義された半ノルムの族を持つ完全な TVS を形成します。より正確には、任意の多重インデックスとに対して、定義します 。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle |x|,}$${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

全ての値が満たされる場合、シュワルツ空間 は${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

半ノルム族はシュワルツ空間上の局所凸位相を定義する。半ノルムは実際にはシュワルツ空間上のノルムである。また、次の半ノルム族を使って位相を定義することもできる: ^[51]${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle n=1,}$ $${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

そうでなければ、次 のようにノルムを定義することができる。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$$${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

シュワルツ空間はフレシェ空間（つまり、完全な 距離化可能な局所凸空間）です。フーリエ変換はの乗算に変わり、その逆も成り立つため、この対称性はシュワルツ関数のフーリエ変換もシュワルツ関数であることを意味します。 ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$${\displaystyle x^{\alpha }}$

における数列が0に収束するのは、関数が全体で一様に0に収束する場合のみであり、これはそのような数列が^{[51]で必ず0に収束することを意味する。}${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$は稠密であり、すべての解析的シュワルツ関数の部分集合も稠密である。^[52]${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

シュワルツ空間は核であり、2つの写像のテンソル積は標準的な射影的TVS同型を誘導する 。 ここで は入射テンソル積の完備化を表す（この場合、射影テンソル積の完備化と同じである）。^[53]$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

包含写像は、その像が共域で稠密である連続的な注入なので、転置写像も連続的な注入です。したがって、 で表される転置写像の像は、超関数の空間を形成します。 ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$

この空間は緩和超関数の空間と呼ばれる。これはシュワルツ空間の連続双対空間である。同様に、超関数が緩和超関数であるのは、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

緩和分布の導関数もまた緩和分布です。緩和分布は、有界（または緩やかに増加する）局所積分可能関数を一般化します。コンパクトな台を持つすべての分布とすべての平方積分可能関数は緩和分布です。より一般的には、 Lp 空間 の元を持つ多項式の積であるすべての関数は緩和分布です。 ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle p\geq 1}$

緩和分布は、のそれぞれの導関数が最大で多項式と同じ速さで増加するという緩やかな成長として特徴付けることもできます。この特徴付けは、シュワルツ空間における関数の導関数の急激な減少挙動と双対であり、 のそれぞれの導関数は の逆数乗よりも速く減少します。急激に減少する関数の例は、任意の正の${\displaystyle T}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |x|.}$${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

フーリエ変換を研究するには、複素数値のテスト関数と複素線形分布を検討するのが最適です。通常の連続フーリエ変換は 、シュワルツ空間のTVS自己同型であり、フーリエ変換はその転置として定義され、これは (表記法を乱用して) 再び と表されます。したがって、緩和分布のフーリエ変換はによって定義され、すべてのシュワルツ関数はしたがって再び緩和分布になります。フーリエ変換は、緩和分布の空間からそれ自身への TVS 同型です。この操作は、 という意味で微分と互換性があり 、 畳み込みとも互換性があります。が緩和分布で が上の緩やかに増加する滑らかな関数である場合、 は再び緩和分布であり、 は と の畳み込みです。特に、1 に等しい定数関数のフーリエ変換は分布です。 ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$$${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$${\displaystyle T}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$$${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$${\displaystyle FT}$${\displaystyle F\psi .}$${\displaystyle \delta }$

が緩和分布である場合、定数と正の整数が存在し、すべてのシュワルツ関数に対して${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle C>0,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

この推定値は、関数解析のいくつかの手法と併せて、連続的に緩やかに増加する関数と、次のような 多重指数が存在することを示すために使用できる。${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

すると、任意のコンパクト集合に対して、 （おそらくK自身よりも大きな集合上で）コンパクトに支えられた連続関数と、${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K).}$

この理論の成功は、正則関数の空間をテスト関数として使用する超関数のアイデアの研究につながりました。特に佐藤幹夫の代数解析では、層理論と複数の複素変数を使用して、洗練された理論が開発されました。これにより、ファインマン積分などの厳密な数学に使用できる記号手法の範囲が広がりました。

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