準連続双線形写像

数学において、準連続性とは、位相ベクトル空間の双線形写像に関する条件であり、連続性よりも弱いが、分離連続性よりも強い条件である。連続ではない重要な双線形写像の多くは、実際には準連続である。

もし${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle Z}$位相ベクトル空間である場合、双線形写像${\displaystyle \beta :X\times Y\to Z}$以下の2つの条件が満たされる場合、それは低連続であると呼ばれます。

• すべての有界集合に対して${\displaystyle A\subseteq X}$線形マップの集合${\displaystyle \{\beta (x,\cdot )\mid x\in A\}}$は等連続部分集合である${\displaystyle Hom(Y,Z)}$、 そして
• すべての有界集合に対して${\displaystyle B\subseteq Y}$線形マップの集合${\displaystyle \{\beta (\cdot ,y)\mid y\in B\}}$は等連続部分集合である${\displaystyle Hom(X,Z)}$。

定理：^{[ 1 ]} XとYを樽型空間とし、Zを局所凸空間とする。このとき、任意の分離連続双線形写像は、${\displaystyle X\times Y}$Zへの写像は準連続である。

• Xが体上のハウスドルフ局所凸樽型空間である場合${\displaystyle \mathbb {F} }$すると双線形写像${\displaystyle X\times X^{\prime }\to \mathbb {F} }$定義される${\displaystyle \left(x,x^{\prime }\right)\mapsto \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle$ :=x^{\prime }\left(x\right)} は準連続である。 ^{[ 1 ]}

• 双線形写像– 各引数に関して線形な2つのベクトルの関数 
• 双対システム– ベクトル空間の双対ペア 

• ブルバキ、ニコラ（1987）、『位相ベクトル空間』、数学の基礎、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-3-540-13627-9
• ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。​ 
• シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。​