LFスペース

数学において、LF空間は( LF ) 空間とも表記され、位相ベクトル空間(TVS) Xであり、フレシェ空間の可算帰納的システムの局所凸帰納的極限です。^[1] これは、X が局所凸位相ベクトル空間のカテゴリの直接システムの直接極限であり、それぞれがフレシェ空間であることを意味します。LF という名前は、F réchet 空間の限界 ( L mimit of F réchet spaces) を表します。${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ ${\displaystyle X_{n}}$

各結合写像がTVS の埋め込みである場合、LF空間は厳密なLF空間と呼ばれます。これは、X _n上でX _{n +1}によって誘導される部分空間トポロジーが、 X _n上の元のトポロジーと同一であることを意味します。^{[1] [2]一部の著者 (例: Schaefer) は、「} LF空間」 という用語を「厳密なLF空間」を意味すると定義しているため、数学の文献を読むときは、常にLF空間がどのように定義されているかを確認することをお勧めします。 ${\displaystyle i_{nm}}$

全体を通して、

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$位相空間のカテゴリ、または位相ベクトル空間(TVS)のカテゴリのサブカテゴリのいずれかです。
  • カテゴリ内のすべてのオブジェクトが代数構造を持つ場合、すべての射はその代数構造の準同型であると想定されます。
• I は空でない有向集合である。
• X _• = ( X _i ) _{i ∈ I}は、 ( X _i , τ _{X i} )がすべてのインデックスiに対する位相空間あるオブジェクトの族です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
  • 潜在的な混乱を避けるため、τ _{X i は}X _iの「初期トポロジー」とは呼ばれるべきではありません。これは、「初期トポロジー」という用語の定義がすでによく知られているためです。τ _{X i の}トポロジーは、 X _i上の元のトポロジー、またはX _iの指定されたトポロジーと呼ばれます。
• Xは集合です (集合内のオブジェクトにも代数構造がある場合、X は必要な代数構造を持つと自動的に想定されます)。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• f _• = ( f _i ) _{i ∈ I}は、各インデックスiに対してプロトタイプ f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → Xを持つ写像の族です。カテゴリ内のすべてのオブジェクトが代数構造を持つ場合、これらの写像はその代数構造の準同型であるとも想定されます。

もしそれが存在するならば、におけるX上の最終的な位相は${\displaystyle {\mathcal {C}}}$、における余極限または帰納的位相とも呼ばれ、τ _{f •}またはτ _fで表され、 X上の最も細かい位相で、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ( X , τ _f )は 内のオブジェクトであり、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. あらゆる添え字iに対して、写像f _i  : ( X _i , τ _{X i} ) → ( X , τ _f )は における連続射である。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

位相空間のカテゴリでは、最終的な位相は常に存在し、さらに、部分集合U ⊆ Xが( X、 τ _f ) において開集合 (閉集合) であるためには、任意のインデックス iに対してf _i ^{- 1} ( U )が( X _i、 τ _{X i} )において開集合 (閉集合) であるためである必要があります。

しかし、 ( X , _τXf )が_元のカテゴリ（つまり、ハウスドルフ位相空間のカテゴリ）に属するという要件により、最終的な位相はハウスドルフ位相空間のカテゴリには存在しない可能性がある。 ^[3]

( I ,≤)が有向集合であり、すべての添字i≤jに対して、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

i = jの場合、f _i ^{j は}X _i上の恒等写像であり、i ≤ j ≤ kの場合、次の互換性条件が満たされます。

これは、構成が

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ は }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k} に等しい。}$

上記の条件が満たされる場合、これらのオブジェクト、射、およびインデックスセットのコレクションによって形成される3つ組

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ and }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

は、 Iによって方向付けられる（またはインデックス付けされる）カテゴリ内の直接システムとして知られています。インデックスセットIは有向セットなので、直接システムは有向であると言われます。^[4] マップf _i ^jは、システムの 結合マップ、接続マップ、またはリンクマップと呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

インデックス セットIが理解されている場合、I は上記の組から省略されることがよくあります (つまり、記述されません)。結合マップが理解されている場合も同様です。その結果、「X _•は直接的なシステムです」と記述されることがよくありますが、「X _•」は実際には結合マップとインデックス セットが他の場所で定義されている (たとえば、自然包含などの標準的な結合マップ) か、結合マップが存在すると想定されているだけで、それらにシンボルを割り当てる必要がない (たとえば、結合マップは定理を述べるのに必要ではない) トリプルを表します。

一般的な帰納的システムの直接極限の構築については、「直接極限」の記事を参照してください。

注入システムの直接的な限界

それぞれの結合写像が単射である場合、そのシステムは単射と呼ばれる。^[4]${\displaystyle f_{i}^{j}}$

仮定: 直接システムが単射である場合、一般性を失うことなく、すべてのインデックスi ≤ jに対して、各X _iはX _jのベクトル部分空間（特に、X _iは の範囲と同一）であり、結合写像は自然な包含である と仮定されることが多い。${\displaystyle f_{i}^{j}}$${\displaystyle f_{i}^{j}}$

で^じぃ
_​ : X _i → X _j

(つまり、x ↦ xによって定義される) ため、X _jによって誘導されるX _i上の部分空間トポロジーは、 X _i上の元の (つまり、与えられた) トポロジーよりも弱くなります (つまり、粗くなります) 。

この場合も

バツ :=∪私∈私 Xi。_​

極限写像は、 In _i  : X _i → Xの 自然な包含である。 X上の直接極限位相は、これらの包含写像によって誘導される最終的な位相である。

X _iが代数構造、例えば加算を持つ場合、任意のx、y ∈ Xに対して、 x、y ∈ X _iとなる任意のインデックスiを選び、 X _iの加算演算子を使用してそれらの合計を定義します。つまり、

ここで、+ _{i は}X _iの加算演算子です。この合計は、選択されたインデックスiとは無関係です。

局所凸位相ベクトル空間のカテゴリでは、局所凸空間の入射的有向帰納的極限の直接極限X上の位相は、 Xの絶対凸部分集合Uが0の近傍であるための必要十分条件は、U∩Xiが任意のインデックスiに対してXi_内の0の絶対凸近傍である場合であると指定することによって記述できる。^[4]

Topの直接制限

有向直接系の直接極限は、集合、位相空間、群、局所凸TVSのカテゴリに常に存在する。位相空間のカテゴリでは、すべての結合写像f _i ^jが単射（それぞれ全射、全単射、同相写像、位相埋め込み、商写像）である場合、すべてのf _i  : X _i → Xも単射である。^[3]

位相空間、位相ベクトル空間 (TVS)、ハウスドルフ局所凸 TVS のカテゴリにおける直接極限は、「行儀が悪い」。^{[4]たとえば、局所}凸核 フレシェ空間 のシーケンス (つまり、自然数でインデックス付けされたもの) の直接極限は、ハウスドルフではない 場合があります(その場合、ハウスドルフ TVS のカテゴリには直接極限は存在しません)。このため、関数解析では通常、特定の「行儀の良い」直接システムのみが研究されます。このようなシステムには、LF空間が含まれます。^[4] ただし、ハウスドルフ以外の局所凸帰納的極限は、解析の自然な問題で発生します。^[4]

各結合写像がTVS を適切なベクトル部分空間に埋め込んだものであり、システムが自然な順序で によって方向付けられている場合、結果として生じる極限は厳密な(可算な)直接極限と呼ばれます。このような状況では、一般性を失うことなく、各X _iがX _{i +1}のベクトル部分空間であり、 X _{i +1}によってX _i上に誘導される部分空間位相がX _i上の元の位相と同一であると仮定できます。^[1]${\displaystyle f_{i}^{j}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

局所凸位相ベクトル空間のカテゴリでは、フレシェ空間Xの厳密な帰納的極限上の位相は、絶対凸部分集合Uが0の近傍であるための必要十分条件として、任意のnに対してU ∩ X _nがX _nにおける0の絶対凸近傍であることを指定することによって記述できます。

ボルノロジー空間（それぞれ樽型、準樽型）の族の局所凸TVSのカテゴリにおける帰納的極限は、これと同じ性質を持つ。^[5]

あらゆる LF 空間はそれ自身の貧弱な部分集合である。 ^[6] 完全な局所凸空間（フレシェ空間など）の列の厳密な帰納的極限は必然的に完全である。特に、あらゆる LF 空間は完全である。^[7] すべてのLF空間は樽型かつボルノロジーであり、完全性と合わせるとあらゆる LF 空間は超ボルノロジーである。可算な可分空間の列の帰納的極限である LF 空間は分離可能である。^[8] LF 空間は区別され、その強い双対はボルノロジーかつ樽型である（アレクサンダー・グロタンディークによる結果）。

Xが_フレシェ空間 Xnの増加列の厳密な帰納的極限である場合、 _Xの部分集合BがXにおいて有界であるためには、BがXnの有界部分集合となるようなnが存在する必要がある。^[7]

LF空間から別のTVSへの線型写像は、それが順次連続である場合に限り連続である。^[9] LF空間Xからフレシェ空間 Yへの線型写像は、そのグラフがX × Yで閉じている場合に限り連続である。^[10] LF空間から別のTVSへの すべての有界線型演算子は連続である。^[11]

Xがシーケンスによって定義されたLF空間である場合、 Xの強双対空間がフレシェ空間となる必要十分条件は、すべてのX _iがノルム可能であることです。^[12] したがって、LF空間の強双対空間がフレシェ空間となる必要十分条件は、それがLB空間である場合です。 ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

LF空間の典型的な例は、 、つまりコンパクトな台を持つ上のすべての無限微分可能関数の空間です。 LF空間構造は、および を持つコンパクト集合の列を考えることによって得られます。すべての i に対して、 は の内部のサブセットです。このような列は、原点を中心とする半径iの球体である可能性があります。に含まれるコンパクトな台を持つ上の無限微分可能関数の空間は、自然なフレシェ空間構造を持ち、 上記のようにLF空間構造を継承します。 LF空間のトポロジーは、コンパクト集合の特定の列に依存しません。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle K_{i+1}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle K_{i}}$

このLF空間構造により、はテスト関数の空間として知られ、超関数の理論において基本的な重要性を持っています。 ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

任意の正の整数nに対して、X _n  := ⁿ${\displaystyle \mathbb {R} }$かつm < nであるとして、x  := ( x ₁ , ..., x _m ) ↦ ( x ₁ , ..., x _m , 0, ..., 0)で定義される標準埋め込みX _m → X _nを介して、 X m をX _nのベクトル部分空間と_見なします。結果として得られる LF 空間をXで表します。 X上の任意の TVS 位相はX _mのXへ の包含を連続的にするため、後者の空間は可算なハメル次元を持つ -ベクトル空間上のすべての TVS 位相の中で最大値を持ちます。これは LC 位相であり、X上のすべてのセミノルムの族に関連付けられています。また、 Xの TVS 帰納的極限位相は位相帰納的極限と一致します。つまり、カテゴリ TOP とカテゴリ TVS 内の有限次元空間X _nの直接的な極限は一致します。 Xの連続双対空間は、 Xの代数的双対空間、つまり実数値列全体の空間に等しく 、上の弱い位相は上の強い位相（すなわち）に等しい。^[13]実際、 X は位相的双対空間となる 唯一の LC 位相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}=X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$

• DFスペース
• 直接制限
• 最終的なトポロジー
• Fスペース
• LBスペース

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