ウィンドウ関数

信号処理と統計において、ウィンドウ関数（アポダイゼーション関数またはテーパリング関数^[1]とも呼ばれる）は、選択された区間の外側ではゼロ値になる数学関数です。通常、ウィンドウ関数は区間の中央を中心に対称で、中央で最大値に近づき、中央から離れるにつれて小さくなります。数学的には、別の関数または波形/データシーケンスがウィンドウ関数で「乗算」されると、積もった値は区間の外側でもゼロになります。残るのは、それらが重なる部分、つまり「ウィンドウを通したビュー」だけです。同様に、実際の実践では、ウィンドウ内のデータのセグメントが最初に分離され、次にそのデータのみがウィンドウ関数値で乗算されます。したがって、ウィンドウ関数の主な目的は、セグメント化ではなくテーパリングです。

長い関数のセグメントを検査する理由には、過渡イベントの検出や周波数スペクトルの時間平均化などがあります。セグメントの持続時間は、時間や周波数の分解能などの要件によって各アプリケーションで決定されます。ただし、この方法では、スペクトル漏れと呼ばれる効果によって信号の周波数内容も変化します。ウィンドウ関数を使用すると、特定のアプリケーションのニーズに応じて、さまざまな方法でスペクトル漏れを分散できます。この記事では多くの選択肢について詳しく説明しますが、違いの多くは非常に微妙で、実際には重要ではありません。

典型的なアプリケーションでは、使用されるウィンドウ関数は、非負で滑らかな「ベル型」曲線です。^{[2]長方形、三角形、およびその他の関数も使用できます。ウィンドウ関数のより一般的な定義では、ウィンドウとその引数の積が}平方積分可能である限り、区間外で完全にゼロである必要はありません。より具体的には、関数が十分に急速にゼロに近づく必要があります。^[3]

ウィンドウ関数は、スペクトル解析/修正/再合成、^[4]有限インパルス応答フィルタの設計、マルチスケールおよび多次元データセットのマージ、^{[5] [6]、}ビームフォーミングおよびアンテナ設計に使用されます。

関数cos( ωt )のフーリエ変換は、周波数 ± ωを除いてゼロです。ただし、他の多くの関数や波形には、便利な閉形式の変換がありません。あるいは、特定の期間のみのスペクトル内容に関心がある場合もあります。

どちらの場合でも、フーリエ変換 (または同様の変換) は、波形の 1 つ以上の有限区間に適用できます。一般に、変換は波形とウィンドウ関数の積に適用されます。任意のウィンドウ (長方形を含む) は、この方法で計算されるスペクトル推定に影響します。

ウィンドウはデジタルフィルタの設計に時々使用され、特にsinc関数などの無限期間の「理想的な」インパルス応答を有限インパルス応答（FIR）フィルタ設計に変換するために使用されます。これはウィンドウ法と呼ばれます。^{[7] [8] [9]}

ウィンドウ関数は、統計分析の分野で、分析対象のデータ セットを特定のポイントに近い範囲に制限するために、曲線のフィッティング部分から離れたポイントの影響を減らす重み係数を使用して使用されることがあります。ベイズ分析と曲線フィッティングの分野では、これはカーネルと呼ばれることがよくあります。

インパルス、衝撃応答、正弦波バースト、チャープバースト、ノイズバーストなど、エネルギー対時間分布が極めて不均一な過渡信号をモード解析で解析する場合、長方形ウィンドウが最も適している場合があります。たとえば、エネルギーの大部分が記録の先頭にある場合、長方形以外のウィンドウではエネルギーの大部分が減衰し、信号対雑音比が低下します。^[10]

特定の楽器の音符の倍音成分や、特定の周波数におけるアンプの倍音歪みを測定したい場合があります。図 2を再度参照すると、離散フーリエ変換(DFT)によってサンプリングされた、倍音的に関連する周波数の離散セットで漏れがないことがわかります。(スペクトルのヌルは実際にはゼロ交差であり、このような対数スケールでは表示できません。) この特性は長方形ウィンドウに固有のものであり、上記のように信号周波数に合わせて適切に構成する必要があります。

変換するデータ セットの長さが、必要な周波数解像度を提供するために必要な長さよりも長い場合、一般的な方法は、それを小さなセットに分割し、個別にウィンドウ処理することです。ウィンドウの端での「損失」を軽減するために、個々のセットは時間的に重なり合う場合があります。パワー スペクトル解析のWelch 法と修正離散コサイン変換を参照してください。

2次元ウィンドウは、画像のフーリエ変換で不要な高周波を減らすために、画像処理でよく使用されます。^[11]これらは、2つの形式のいずれかの1次元ウィンドウから構築できます。^[12]分離可能な形式は、計算が簡単です。半径 を含む放射状形式 は、座標軸の方向に依存せずに等方性です。ガウス関数だけが分離可能かつ等方性です。 ^[13]他のすべてのウィンドウ関数の分離可能な形式には、座標軸の選択に依存するコーナーがあります。2次元ウィンドウ関数の等方性/異方性は、その2次元フーリエ変換で共有されます。分離可能な形式と放射状形式の違いは、長方形の開口部と円形の開口部からの回折の結果に似ており、それぞれ2つのsinc関数の積とエアリー関数で視覚化できます。 ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$${\displaystyle r={\sqrt {(mM/2)^{2}+(nN/2)^{2}}}}$

コンベンション:

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$は零位相関数（ について対称）であり、^{[14] は}正の整数（偶数または奇数）に対して連続である。[ 15 ^]${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$${\displaystyle N}$
• このシーケンスは対称で、長さは${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(nN/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$はDFT対称で、長さは^{[A]である。}${\displaystyle N.}$

• 各スペクトルプロットに表示されるパラメータBは、関数のノイズ等価帯域幅メトリックであり、単位はDFTビンです。^{[16] ：p.56式（16）}
  • これらのプロットの x 軸の「ビン」の使用法については、「スペクトル漏れ §§ 離散時間信号」と「いくつかのウィンドウ メトリック」および「正規化された周波数」を参照してください。

図 2 の DFT のような離散時間フーリエ変換(DTFT)のスパース サンプリングでは、周波数が整数 DFT ビンである正弦波からの DFT ビンへの漏れのみが明らかになります。見えないサイドローブは、他の周波数の正弦波から予想される漏れを明らかにします。 ^[a]したがって、ウィンドウ関数を選択するときは通常、DTFT をより密にサンプリングし (このセクション全体で行うように)、サイドローブを許容レベルに抑えるウィンドウを選択することが重要です。

長方形ウィンドウ（ボックスカーウィンドウ、ユニフォームウィンドウ、ディリクレウィンドウとも呼ばれるが、一部のプログラムでは誤解を招くように「ウィンドウなし」と呼ばれることもある^{[18] ）は最も単純なウィンドウであり、データシーケンスの}N個の連続する値を除くすべての値をゼロに置き換えるのと同等であり、波形が突然オンとオフになります。

${\displaystyle w[n]=1.}$

その他のウィンドウは、これらの突然の変化を緩和し、スカロップ損失を減らし、ダイナミック レンジを改善するように設計されています (§ スペクトル分析で説明)。

長方形ウィンドウは、1次^Bスプラインウィンドウであると同時に、0^次正弦波ウィンドウでもあります。

長方形ウィンドウは、議論された他の問題を犠牲にして、 離散時間フーリエ変換の最小平均二乗誤差推定値を提供します。

Bスプラインウィンドウは、長方形ウィンドウのk倍畳み込みとして得られます。これらには、長方形ウィンドウ自体（k  = 1）、§三角ウィンドウ（k  = 2）、および§パルゼンウィンドウ（k  = 4）が含まれます。^[19]代替定義では、離散時間ウィンドウを畳み込む代わりに、適切な正規化されたBスプライン基底関数をサンプリングします。k次のBスプライン 基底関数は^、長方形関数のk倍の自己畳み込みによって得られるk −1次の区分多項式関数です。

三角形のウィンドウは次のように表されます。

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

ここでLはN、^[20] N  + 1、^{[16] [21] [22]}またはN  + 2 ^[23]です。最初のものはバートレットウィンドウまたはフェイエルウィンドウとしても知られています。3つの定義はすべて Nが大きいときに収束します。

三角ウィンドウは、2 次 B スプライン ウィンドウです。L ⁼ N形式 は 、 2 つのN ⁄ 2幅の長方形ウィンドウの畳み込みとして考えることができます。結果のフーリエ変換は、半分の幅の長方形ウィンドウの変換の 2 乗値です。

L≜N +1と定義すると、パルゼン窓（ドゥ・ラ・ヴァレー・プーサン窓とも呼ばれる） ^[16]は、次式で与えられる4^次のBスプライン窓 である。

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

ウェルチ ウィンドウは、単一の放物線セクションで構成されています。

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[23]

定義する二次多項式は、ウィンドウの範囲のすぐ外側のサンプルでゼロの値に達します。

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

対応する関数はπ /2位相オフセットのないコサインです。そのため、正弦ウィンドウ^[24]はコサインウィンドウと呼ばれることもあります。^[16]これは正弦関数の半周期を表すため、半正弦ウィンドウ^[25]または半コサインウィンドウとも呼ばれます。^[26]${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

正弦波ウィンドウの自己相関はボーマンウィンドウと呼ばれる関数を生成する。^[27]

これらのウィンドウ関数の形式は次の通りである: ^[28]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

長方形ウィンドウ ( α  = 0 )、正弦ウィンドウ ( α  = 1 )、およびハンウィンドウ ( α  = 2 ) はこのファミリのメンバーです。

αが偶数の場合、これらの関数はコサイン和形式でも表すことができます。

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right)-...}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\\hline 0&1\\2&0.5&0.5\\4&0.375&0.5&0.125\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\8&0.2734375&0.4375&0.21875&0.0625&7.8125\times 10^{-3}\\\hline \end{array}}}$

このファミリは、一般化コサイン ウィンドウとも呼ばれます。

以下の例を含め、ほとんどの場合、すべての係数a _k  ≥ 0 です。これらのウィンドウには、2 K  + 1 個の非ゼロNポイント DFT 係数のみがあります。

K = 1の場合の通常のコサイン和ウィンドウの 形式は次のとおりです。

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

これは、ゼロ位相バージョンと簡単に（そして頻繁に）混同されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

設定により、 Hann ウィンドウが生成されます。${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[29]

ユリウス・フォン・ハンにちなんで名付けられ、ハミング窓との言語的および定式的な類似性から、誤ってハニング窓と呼ばれることもあります。ゼロ位相バージョンが高次余弦関数の 1 つのローブであるため、高次余弦窓としても知られています。 ${\displaystyle w_{0}(n),}$

この関数は、コサイン和とサインの累乗の両方のグループに属します。ハミングウィンドウとは異なり、ハンウィンドウの端点はちょうどゼロに接します。結果として生じるサイドローブは、1オクターブあたり約18dBで減衰します。^[30]

約 0.54、より正確には 25/46 に設定すると、リチャード・W・ハミングが提案したハミング窓が生成されます。この選択により、周波数 5 π /( N − 1)でゼロ交差が配置され 、ハン窓の最初のサイドローブがキャンセルされ、ハン窓の約 5 分の 1 の高さになります。^{[16] [31] [32]ハミング窓は、}パルス整形に使用される場合、ハミングブリップ と呼ばれることがよくあります。^{[33] [34] [35]}${\displaystyle a_{0}}$

係数を小数点以下2桁に近似すると、サイドローブのレベルが大幅に低下し、^[16]ほぼ等リップル状態になります。^[32]等リップルの意味で、係数の最適値はa ₀  = 0.53836およびa ₁  = 0.46164です。^{[32] [36]}

ブラックマン ウィンドウは次のように定義されます。

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

慣例により、無条件のブラックマン ウィンドウという用語は、ブラックマンの「あまり真剣ではない提案」α  = 0.16 ( a ₀  = 0.42、a ₁  = 0.5、a _{2 = 0.08) を指し、これは}正確なブラックマン に近似し、^[37] a ₀  = 7938/18608 ≈ 0.42659、a ₁  = 9240/18608 ≈ 0.49656、a ₂  = 1430/18608 ≈ 0.076849となります。 ^[38]これらの正確な値は、3 番目と 4 番目のサイドローブにゼロを配置しますが、^[16]エッジで不連続が生じ、6 dB/oct の減衰が発生します。切り捨てられた係数はサイドローブをゼロにしませんが、18 dB/oct の減衰が改善されます。^{[16] [39]}

ナットール ウィンドウの連続形式とその 1次導関数は、ハン関数のように、どこでも連続です。つまり、ブラックマン–ナットール、ブラックマン–ハリス、ハミング ウィンドウとは異なり、関数はx  = ± N /2で 0 になります。ブラックマン ウィンドウ ( α  = 0.16 ) もエッジで連続導関数で連続ですが、「正確なブラックマン ウィンドウ」はそうではありません。 ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

ハミング族の一般化。より多くのシフトシンク関数を追加することで生成され、サイドローブレベルを最小限に抑えることを目的としています^{[40] [41]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

フラットトップウィンドウは、周波数領域でのスカロップ損失が最小限である部分的に負の値のウィンドウです。この特性は、正弦波周波数成分の振幅の測定に適しています。^{[17] [42]}しかし、その広い帯域幅は、高いノイズ帯域幅と広い周波数選択をもたらし、アプリケーションによっては欠点となる可能性があります。

フラットトップウィンドウは、ローパスフィルタ設計法^[42]を使用して設計することも、通常のコサイン和型にすることもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

Matlab バリアントには次の係数があります。

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

他にも、メインローブ付近の値が大きくなる代わりにロールオフするサイドローブなどのバリエーションがある。^[17]

ライフ・ヴィンセント窓^[43]は、ピーク値ではなく平均値に基準化されるのが通例である。式1に適用される以下の係数値は、この慣習を反映している。

クラス I、オーダー 1 ( K = 1): 機能的には Hann ウィンドウと同等です。 ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

クラス I、順序 2 ( K = 2):${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

クラスIは高次サイドローブ振幅を最小化することによって定義される。K=4までの次数の係数が表にまとめられている。^[44]

クラス II は、与えられた最大サイドローブに対してメインローブの幅を最小限に抑えます。

クラスIIIはK = 2の順序が §ブラックマンウィンドウに似ている妥協案である。^{[44] [45]}

ガウス関数のフーリエ変換もガウス関数である。ガウス関数のサポートは無限に拡張されるため、ウィンドウの端で切り捨てられるか、またはそれ自体が別のゼロエンドウィンドウでウィンドウ化される必要がある。^[46]

ガウス分布の対数は放物線を生成するので、周波数推定においてほぼ正確な二次補間に使用できます。^{[47] [46] [48]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

ガウス関数の標準偏差はσ  ·  N /2 サンプリング周期です。

限定されたガウスウィンドウは、与えられた時間幅( N + 1) σ _tに対して、可能な限り最小の二乗平均平方根周波数幅σ _{ω を}生成します。^{[49]これらのウィンドウは、RMS 時間周波数帯域幅積を最適化します。これらは、パラメータ依存行列の最小固有ベクトルとして計算されます。限定されたガウスウィンドウファミリには、それぞれ}σ _{t が}大きい場合と小さい場合の限界ケースにおける § 正弦波ウィンドウと § ガウスウィンドウが含まれます。

L≜N +1と定義すると、_時間幅L × σtの限定されたガウス窓は次のように近似できる: ^[49]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

ここでガウス関数は次のようになります。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

近似ウィンドウの標準偏差は、_σt < 0.14の場合、_漸近的にL × σtに等しい（つまりNの値は大きい）。^[49]

ガウス窓のより一般化されたバージョンは、一般化正規窓である。^{[50]上記の}ガウス窓の表記法を維持すると、この窓は次のように表すことができる。

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

任意の偶数 に対して となります。 では、これはガウスウィンドウであり、 に近づくにつれて、これは長方形ウィンドウに近似します。このウィンドウのフーリエ変換は、一般的な に対して閉じた形式では存在しません。 しかし、滑らかで調整可能な帯域幅であることの他の利点を示しています。 § テューキーウィンドウと同様に、このウィンドウは、時系列の振幅減衰を制御するための「フラットトップ」を自然に提供します（ガウスウィンドウでは制御できません）。 本質的には、スペクトル漏れ、周波数分解能、振幅減衰の点で、ガウスウィンドウと長方形ウィンドウの間の適切な（制御可能な）妥協点を提供します。このウィンドウ（または関数）の時間周波数表現に関する研究については、^[51]も参照してください。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$

Tukey ウィンドウは、コサインテーパーウィンドウとも呼ばれ、幅Nα /2 ( Nα /2 + 1 個の観測値にまたがる) のコサインローブが幅N (1 − α /2)の長方形ウィンドウと畳み込まれたものと見なすことができます。

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$ ^{[52] [B] [C]}

α  = 0では長方形になり、α  = 1ではハン ウィンドウになります。

いわゆる「プランクテーパー」ウィンドウは、多様体における単位の分割理論で広く使用されているバンプ関数です^[53]。この関数はどこでも滑らかですが、コンパクトな領域の外では正確にゼロ、その領域内の区間では正確に1であり、これらの制限の間では滑らかに単調に変化します。信号処理におけるウィンドウ関数としての使用は、プランク分布に触発されて重力波天文学の分野で最初に提案されました^[54]。これは区分関数として定義されます。${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

テーパリングの量はパラメータεによって制御され、値が小さいほど遷移が急になります。

DPSS（離散長球状シーケンス）ウィンドウまたはスレピアンウィンドウは、メインローブのエネルギー集中を最大化し、^[55]マルチテーパースペクトル解析で使用され、スペクトル内のノイズを平均化し、ウィンドウの端での情報損失を減らします。

メインローブはパラメータαによって与えられた周波数ビンで終わる。^[56]

以下の Kaiser ウィンドウは、DPSS ウィンドウの単純な近似によって作成されます。

カイザー窓、またはカイザー・ベッセル窓は、ジェームズ・カイザーによって発見されたベッセル関数を使用したDPSS窓の単純な近似である。^{[57] [58]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$ ^{[D] [16] : p.73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

ここで、は0^次の第1種修正ベッセル関数である。変数パラメータは、スペクトル漏れパターンのメインローブ幅とサイドローブレベル間のトレードオフを決定する。ヌル間のメインローブ幅は、DFTビン単位で^[65]で与えられ、の典型的な値は3である。 ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$${\displaystyle \alpha }$

与えられたメインローブ幅に対してサイドローブのチェビシェフノルムを最小化する。 ^[66]

ゼロ位相ドルフ・チェビシェフ窓関数は、通常、実数値離散フーリエ変換によって定義される。^[67]${\displaystyle w_{0}[n]}$${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x )は、xについて評価されたn次の第1種チェビシェフ多項式であり、次のように計算できる。

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

そして

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

は唯一の正の実数解であり、パラメータαはサイドローブのチェビシェフノルムを−20 α デシベルに設定する。^[66]${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

窓関数はW ₀ ( k )から逆離散フーリエ変換（DFT）によって計算できる。^[66]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

ウィンドウの 遅延バージョンは、次の方法で取得できます。

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

Nが偶数値の場合は次のように計算する必要があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

これは逆DFTである${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

バリエーション:

• 等リップル条件により、時間領域ウィンドウの端には不連続性が生じます。等リップルが端で低下するようにすることで不連続性を回避する近似がテイラー ウィンドウです。
• 逆DFT定義の代替も利用可能です。[1]

超球面窓は1984年にロイ・ストライト^{[68]によって導入され、アンテナアレイ設計[69]} 、非再帰フィルタ設計^[68]、スペクトル解析^[70]などに応用されています。

他の調整可能なウィンドウと同様に、超球面ウィンドウには、フーリエ変換のメインローブ幅と相対的なサイドローブ振幅を制御するために使用できるパラメータがあります。他のウィンドウとは異なり、サイドローブの振幅が減少（または増加）する速度を設定するために使用できる追加のパラメータがあります。^{[70] [71] [72]}

ウィンドウは時間領域で次のように表現できる: ^[70]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

ここで、はN次の超球面多項式であり、はサイドローブパターンを制御します。^[70]${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mu }$

の特定の値は、他のよく知られたウィンドウを生成します。とはそれぞれドルフ・チェビシェフウィンドウとサラマキウィンドウを生成します。 ^[68]さまざまなパラメータ化を持つ超球面ウィンドウの図については、ここを参照してください。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1}$

ポアソン窓、またはより一般的には指数窓は、窓の中心に向かって指数的に増加し、後半では指数的に減少します。指数関数はゼロに達することはないので、窓の限界における値はゼロではありません（指数関数と長方形の窓の積として見ることができます^[73]）。これは次のように定義されます。

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

ここでτは関数の時定数である。指数関数はe  ≃ 2.71828、つまり時定数あたり約8.69dBずつ減少する。^[74]これは 、ウィンドウ長の半分でDdBの目標減衰に対して、時定数τは次のように与えられること を意味する。

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

ウィンドウ関数は、他のウィンドウの乗算または加算の組み合わせとして構築されることもあります。

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

§ プランクテーパウィンドウに、修正ベッセル関数で定義されるカイザーウィンドウを掛け合わせたものです。このハイブリッドウィンドウ関数は、プランクテーパウィンドウの優れた漸近的減衰を利用しながら、サイドローブのピークレベルを下げるために導入されました。^[75]プランクテーパのεとカイザーウィンドウのαという2つの調整可能なパラメータがあり、特定の信号の要件に合わせて調整できます。

ハン窓にポアソン窓を掛け合わせたもの。この窓にはサイドローブがなく、フーリエ変換は主ローブから離れるにつれて局所的最小値なしに減少する。そのため、ニュートン法のような山登りアルゴリズムで使用できる。^[76]ハン・ポアソン窓は次のように定義される。 ${\displaystyle \alpha \geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

ここで、αは指数の傾きを制御するパラメータです。

GAP ウィンドウは、次数の対称多項式展開に基づく調整可能なウィンドウ関数のファミリです。どこでも連続微分で連続しています。適切な展開係数と展開次数のセットにより、GAP ウィンドウは既知のすべてのウィンドウ関数を模倣し、それらのスペクトル特性を正確に再現できます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$ ^[77]

ここで、シーケンスの標準偏差です。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{n\}}$

さらに、特定の既知のウィンドウ関数を模倣した一連の拡張係数から始めて、最小化手順によってGAPウィンドウを最適化し、メインローブ幅、サイドローブ減衰、サイドローブ減衰率などの1つ以上のスペクトル特性を改善する新しい係数セットを取得できます。^[78]したがって、GAPウィンドウ関数は、特定のアプリケーションに応じて設計されたスペクトル特性を使用して開発できます。 ${\displaystyle a_{2k}}$

$${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$$

• ランチョス再サンプリングで使用される
• ランチョス窓の場合、次のように定義される。${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• シンクウィンドウとも呼ばれる。これは正規化されたシンク関数のメインローブであるためである。$${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$$

上記の規則に従うと、形式は を中心に対称です。ただし、ガンマトーン フィルタの FIR 実装で使用されるガンマ分布など、非対称のウィンドウ関数もあります。これらの非対称性は、大きなウィンドウ サイズを使用するときに遅延を減らすため、または減衰パルスの最初の過渡現象を強調するために使用されます。^{[引用が必要]}${\displaystyle w_{0}(x)}$${\displaystyle x=0}$

非対称のものも含め、コンパクトサポートを持つ任意の有界関数は、ウィンドウ関数として簡単に使用できます。さらに、以下の式のように、時間座標を変換することで対称ウィンドウを非対称ウィンドウに変換する方法があります。

${\displaystyle x\leftarrow N\left({\frac {x}{N}}+{\frac {1}{2}}\right)^{\alpha }-{\frac {N}{2}}\,,}$

ここで、ウィンドウは の場合には最も古いサンプルに高い重みを付け、逆に の場合には最新のサンプルに高い重みを付けます。^[79]${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle \alpha <1}$

• アポダイゼーション
• コルモゴロフ・ズルベンコフィルタ
• マルチテーパー
• 短時間フーリエ変換
• スペクトル漏洩
• ウェルチ法
• 重み関数
• 窓の設計方法

• Harris, Frederic J. (1976 年 9 月)。「Windows、調和解析、および離散フーリエ変換」(PDF)。apps.dtic.mil 。サンディエゴ海軍海中センター。2019年 4 月 8 日のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。2019 年 4 月 8日閲覧。
• アルブレヒト、ハンスヘルゲ (2012)。調整された最小サイドローブおよび最小サイドローブ コサイン和ウィンドウ。バージョン 1.0。 Vol. ISBN 978-3-86918-281-0）。編集者：Physikalisch-Technische Bundesanstalt。物理技術連邦。土井：10.7795/110.20121022aa。ISBN 978-3-86918-281-0。
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). 「超球面ウィンドウ関数を使用した非再帰デジタルフィルタの設計」EURASIP Journal on Applied Signal Processing . 2005 (12): 1910–1922. Bibcode :2005EJASP2005...44B. doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Prabhu, KMM (2014)。ウィンドウ関数と信号処理におけるその応用。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1-4665-1583-3。
• 米国特許 7065150、Park, Young-Seo、「ルートレイズドコサイン直交周波数分割多重 (RRC OFDM) 変調を生成するシステムおよび方法」、2003 年公開、2006 年発行 

• ウィキメディア・コモンズのウィンドウ関数に関連するメディア
• LabView ヘルプ、スムージング フィルタの特性、http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• コサイン和ウィンドウ関数の作成とプロパティ、http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• オンラインインタラクティブ FFT、ウィンドウ、解像度、リークシミュレーション | RITEC | ライブラリとツール