リーマン多様体

させて${\displaystyle M}$滑らかな多様体とする。各点について${\displaystyle p\in M}$関連するベクトル空間が存在する${\displaystyle T_{p}M}$接空間と呼ばれる${\displaystyle M}$で${\displaystyle p}$. ベクトル${\displaystyle T_{p}M}$は、に接するベクトルと考えられています。${\displaystyle M}$で${\displaystyle p}$。

しかし、${\displaystyle T_{p}M}$内積、つまり接ベクトルに長さと角度の概念を与える「測定棒」が備わっていない。これは重要な欠点である。なぜなら、微積分学では曲線の長さを計算するには、曲線に接するベクトルの長さを定義する必要があると教えられているからである。リーマン計量は、あらゆる接空間にそのような「測定棒」を与える。

リーマン計量${\displaystyle g}$の上${\displaystyle M}$それぞれに割り当てる${\displaystyle p}$正定値対称双線形形式（すなわち内積）${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$滑らかな方法で（下記の規則性に関するセクションを参照）。^{[ 3 ]}これによりノルムが誘導される${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle \|v\|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}}$滑らかな多様体${\displaystyle M}$リーマン計量を備えた${\displaystyle g}$はリーマン多様体であり、 と表記される。${\displaystyle (M,g)}$[ ^{3 ]}リーマン計量は計量テンソルの特殊なケース^である。

リーマン計量は、計量空間の距離関数（これも計量と呼ばれる）と混同してはならない。

等長変換とは、リーマン多様体間の関数であり、リーマン多様体の構造をすべて保存するものです。2つのリーマン多様体間に等長変換が存在する場合、それらは等長多様体と呼ばれ、リーマン幾何学においては同一の多様体とみなされます。

具体的には、${\displaystyle (M,g)}$そして${\displaystyle (N,h)}$2 つのリーマン多様体、微分同相写像${\displaystyle f:M\to N}$等長変換と呼ばれるのは、${\displaystyle g=f^{\ast }h}$[ ^{6 ]}つまり^、

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

すべての人々のために${\displaystyle p\in M}$そして${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$例えば、平行移動と回転はどちらも、ユークリッド空間（後ほど定義する）からそれ自身への等長変換である。

滑らかな地図${\displaystyle f:M\to N,}$微分同相写像であるとは想定されておらず、すべての${\displaystyle p\in M}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle f:U\to f(U)}$これは等長写像（したがって微分同相写像）である。^{[ 6 ]}

指向性のある${\displaystyle n}$次元リーマン多様体${\displaystyle (M,g)}$独自の${\displaystyle n}$-形状${\displaystyle dV_{g}}$リーマン体積形式と呼ばれる。^{[ 7 ]}リーマン体積形式は、向きを保存する等長変換によって保存される。^{[ 8 ]}体積形式は、上の測度を生み出す。${\displaystyle M}$これにより、測定可能な関数を統合することが可能になります。${\displaystyle M}$コンパクトで、​${\displaystyle M}$は${\displaystyle \int _{M}dV_{g}}$[ ^{7 ]​}

させて${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$標準座標を表す${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$（標準的な）ユークリッド距離${\displaystyle g^{\text{can}}}$^{[ 9 ]}で与えられる

${\displaystyle g^{\text{can}}\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{i}a_{i}b_{i}}$

または同等に

${\displaystyle g^{\text{can}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$

または同等にその座標関数によって

${\displaystyle g_{ij}^{\text{can}}=\delta _{ij}}$どこ${\displaystyle \delta _{ij}}$クロネッカーデルタとは

これらが合わさってマトリックスを形成する

${\displaystyle (g_{ij}^{\text{can}})={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

リーマン多様体${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g^{\text{can}})}$ユークリッド空間と呼ばれる。

させて${\displaystyle (M,g)}$をリーマン多様体とし、${\displaystyle i:N\to M}$埋め込み部分多様体または埋め込み部分多様体である${\displaystyle M}$プルバック​${\displaystyle i^{*}g}$の${\displaystyle g}$はリーマン計量である${\displaystyle N}$、 そして${\displaystyle (N,i^{*}g)}$は、のリーマン部分多様体であると言われている。${\displaystyle (M,g)}$[ ^{10 ]​}

の場合${\displaystyle N\subseteq M}$地図${\displaystyle i:N\to M}$は${\displaystyle i(x)=x}$そして指標${\displaystyle i^{*}g}$これは単に制限です${\displaystyle g}$接線方向のベクトルへ${\displaystyle N}$一般的に、${\displaystyle i^{*}g}$は

${\displaystyle i^{*}g_{p}(v,w)=g_{i(p)}{\big (}di_{p}(v),di_{p}(w){\big )},}$

どこ${\displaystyle di_{p}(v)}$前進とは${\displaystyle v}$による${\displaystyle i.}$

例：

• の${\displaystyle n}$-球

  ${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n+1})^{2}=1\}}$

はユークリッド空間の滑らかな埋め込み部分多様体である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$[ ^{11 ]}このリーマン計量^は${\displaystyle S^{n}}$これは、丸めメートル法または標準メートル法と呼ばれます。

• 実数を修正する${\displaystyle a,b,c}$楕円体

  ${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}}$

はユークリッド空間の滑らかな埋め込み部分多様体である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$。

• 滑らかな関数のグラフ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$は滑らかな埋め込み部分多様体である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$標準的な測定基準を用いて。
• もし${\displaystyle (M,g)}$単に繋がっているのではなく、カバーマップが存在する${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M}$、 どこ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$は、​${\displaystyle M}$これは埋め込みなので（局所的に微分同相写像であるため）、${\displaystyle {\widetilde {M}}}$自動的にリーマン計量を継承する。同様の原理により、リーマン多様体の任意の滑らかな被覆空間はリーマン計量を継承する。

一方、${\displaystyle N}$既にリーマン計量を持っている${\displaystyle {\tilde {g}}}$そして、没入（または埋め込み）${\displaystyle i:N\to M}$等長埋め込み（または等長挿入）とは、${\displaystyle {\tilde {g}}=i^{*}g}$したがって、等長埋め込みと等長埋め込みはリーマン部分多様体である。^{[ 10 ]}

トーラスは、正方形の対辺を同一視することによって得られるユークリッド計量を持つ（左図）。結果として得られるリーマン多様体は、平面トーラスと呼ばれ、3次元ユークリッド空間に等長的に埋め込むことはできない（右図）。なぜなら、そのためにはシートを曲げたり伸ばしたりする必要があるからである。したがって、平面トーラスの本質的な幾何学は、埋め込まれたトーラスの幾何学とは異なる。

させて${\displaystyle (M,g)}$そして${\displaystyle (N,h)}$2 つのリーマン多様体を考え、積多様体を考える。${\displaystyle M\times N}$リーマン計量${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$自然にリーマン計量を置く${\displaystyle {\widetilde {g}}}$の上${\displaystyle M\times N,}$これはいくつかの方法で説明できる。

• 分解を考慮すると${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$定義することができる

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}((u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2}))=g_{p}(u_{1},v_{1})+h_{q}(u_{2},v_{2}).}$^{[ 12 ]}

• もし${\displaystyle (U,x)}$は滑らかな座標チャートです${\displaystyle M}$そして${\displaystyle (V,y)}$は滑らかな座標チャートです${\displaystyle N}$、 それから${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$は滑らかな座標チャートです${\displaystyle M\times N.}$させて${\displaystyle g_{U}}$の表現である${\displaystyle g}$チャートでは${\displaystyle (U,x)}$そして${\displaystyle h_{V}}$の表現である${\displaystyle h}$チャートでは${\displaystyle (V,y)}$の表現${\displaystyle {\widetilde {g}}}$座標において${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$は

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}=\sum _{ij}{\widetilde {g}}_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}{\text{ where }}({\widetilde {g}}_{ij})={\begin{pmatrix}g_{U}&0\\0&h_{V}\end{pmatrix}}.}$^{[ 12 ]}

例えば、${\displaystyle n}$-トーラス${\displaystyle T^{n}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$. 各コピーが${\displaystyle S^{1}}$丸い計量、積リーマン多様体が与えられる${\displaystyle T^{n}}$これは平坦トーラスと呼ばれます。別の例として、リーマン積${\displaystyle \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} }$、各コピーは${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド距離を持ち、等長である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ユークリッド距離を用いて。

させて${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$リーマン計量${\displaystyle M.}$もし${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$正の滑らかな関数は${\displaystyle M}$、 それから${\displaystyle f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}}$は別のリーマン計量である${\displaystyle M.}$

メートル空間の直径${\displaystyle (M,d_{g})}$は

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.}$

ホップ・リノウの定理によれば、${\displaystyle (M,d_{g})}$が完全で有限の直径を持つ場合、それはコンパクトである。逆に、${\displaystyle (M,d_{g})}$コンパクトであれば、${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$コンパクト距離空間上の連続関数であるため、最大値を持つ。これは以下のことを証明する。

もし${\displaystyle (M,d_{g})}$が完全であるならば、有限の直径を持つ場合に限りコンパクトである。

完全性の仮定がない場合、これは当てはまりません。反例として、標準的なリーマン計量を持つユークリッド空間の任意の有界な開部分集合を考えればよいでしょう。また、有限直径の完全計量空間が必ずしもコンパクトであるとは限りません。重要なのは、その計量空間がリーマン多様体から得られたものであるということです。

アフィン接続とは、リーマン多様体上の付加的な構造であり、あるベクトル場を別のベクトル場に関して微分することを定義する。接続には幾何学的データが含まれており、異なる接続を持つ2つのリーマン多様体は異なる幾何学的構造を持つ。

させて${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$上のベクトル場の空間を表す${\displaystyle M}$（アフィン）接続

${\displaystyle \nabla$ :{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}

の上${\displaystyle M}$双線形写像 ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$そのため

1. すべての関数について${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$、${\displaystyle \nabla _{f_{1}X_{1}+f_{2}X_{2}}Y=f_{1}\,\nabla _{X_{1}}Y+f_{2}\,\nabla _{X_{2}}Y,}$
2. 積の法則${\displaystyle \nabla _{X}fY=X(f)Y+f\,\nabla _{X}Y}$保持する。^{[ 16 ]}

その表現${\displaystyle \nabla _{X}Y}$は、の共変微分と呼ばれます。${\displaystyle Y}$に関して${\displaystyle X}$。

接続が異なる2つのリーマン多様体は、異なる幾何学的構造を持つ。幸いなことに、リーマン多様体にはレヴィ＝チヴィタ接続と呼ばれる自然な接続が存在する。

つながり${\displaystyle \nabla }$メトリックを保持すると言われているのは、

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

つながり${\displaystyle \nabla }$ねじれがないのは

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$

どこ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$はリー括弧です。

レヴィ・チヴィタ接続は、計量を保存するねじれのない接続です。リーマン計量が固定されると、一意のレヴィ・チヴィタ接続が存在します。^{[ 17 ]}計量を保存するという定義は、次の正則性を使用していることに注意してください。${\displaystyle g}$。

もし${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} は滑らかな曲線であり、滑らかなベクトル場は${\displaystyle \gamma }$滑らかなマップです${\displaystyle X:[0,1]\to TM}$そのため${\displaystyle X(t)\in T_{\gamma (t)}M}$すべての人々のために${\displaystyle t\in [0,1]}$セット${\displaystyle {\mathfrak {X}}(\gamma )}$滑らかなベクトル場に沿って${\displaystyle \gamma }$は、点ごとのベクトル加算とスカラー乗算の下でのベクトル空間である。^{[ 18 ]}また、滑らかなベクトル場を点ごとに乗算することもできる。${\displaystyle \gamma }$滑らかな関数によって${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$:

${\displaystyle (fX)(t)=f(t)X(t)}$のために${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(\gamma ).}$

させて${\displaystyle X}$滑らかなベクトル場となる${\displaystyle \gamma }$。 もし${\displaystyle {\tilde {X}}}$は、画像の近傍における滑らかなベクトル場である。${\displaystyle \gamma }$そのため${\displaystyle X(t)={\tilde {X}}_{\gamma (t)}}$、 それから${\displaystyle {\tilde {X}}}$拡張と呼ばれる${\displaystyle X}$。

固定接続の場合${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle M}$そして滑らかな曲線${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} には 一意の演算子が存在する${\displaystyle D_{t}:{\mathfrak {X}}(\gamma )\to {\mathfrak {X}}(\gamma )}$共変微分と呼ばれる${\displaystyle \gamma }$、したがって：^{[ 19 ]}

1. ${\displaystyle D_{t}(aX+bY)=a\,D_{t}X+b\,D_{t}Y,}$
2. ${\displaystyle D_{t}(fX)=f'X+f\,D_{t}X,}$
3. もし${\displaystyle {\tilde {X}}}$は拡張です${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle D_{t}X(t)=\nabla _{\gamma '(t)}{\tilde {X}}}$。

ユークリッド空間において${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（左図）最大測地線は直線である。球面上では${\displaystyle S^{n}}$（右図）最大測地線は大円である。

測地線とは、固有の加速度を持たない曲線です。言い換えれば、測地線とは、2点間の最短経路を局所的に取る曲線です。ユークリッド空間における直線を、任意のリーマン多様体に一般化したものです。リーマン多様体に住むアリが、加速や方向転換を一切せずにまっすぐ進むと、測地線を描きます。

接続を修正する${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle M}$。 させて${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} は滑らかな曲線です。${\displaystyle \gamma }$ベクトル場${\displaystyle D_{t}\gamma '}$平行${\displaystyle \gamma }$。 もし${\displaystyle D_{t}\gamma '=0}$すべての人々のために${\displaystyle t}$、${\displaystyle \gamma }$測地線と呼ばれる。^{[ 20 ]}

すべての${\displaystyle p\in M}$そして${\displaystyle v\in T_{p}M}$測地線が存在する${\displaystyle \gamma :I\to M}$ある開区間上で定義される${\displaystyle I}$0 を含む${\displaystyle \gamma (0)=p}$そして${\displaystyle \gamma '(0)=v}$任意の2つの測地線は共通の定義域で一致する。^{[ 21 ]}すべての開区間の和集合をとると、${\displaystyle I}$0 を含む測地線が${\displaystyle \gamma (0)=p}$そして${\displaystyle \gamma '(0)=v}$が存在する場合、最大測地線と呼ばれる測地線が得られ、そのすべての測地線は${\displaystyle \gamma (0)=p}$そして${\displaystyle \gamma '(0)=v}$これは制約である。^{[ 22 ]}

すべての曲線${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} は、同じ端点を持つ許容曲線の中で最短の長さを持ち、${\displaystyle \gamma }$（単位速度再パラメータ化において）測地線である。^{[ 23 ]}

リーマン多様体${\displaystyle M}$レヴィ・チヴィタ接続は、すべての極大測地線の定義域が測地的に完全である場合、測地的に完全である。${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$[ ^{25 ]}飛行機^​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$測地線的に完全である。一方、穴の開いた平面は${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$リーマン計量の制限により${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$初期条件を持つ最大測地線としては測地的に完全ではない${\displaystyle p=(1,1)}$、${\displaystyle v=(1,1)}$ドメインがありません${\displaystyle \mathbb {R} }$。

ホップ・リノウの定理は、測地線的に完全な多様体を特徴づけるものである。

定理:${\displaystyle (M,g)}$連結リーマン多様体である。以下は同等である：^{[ 26 ]}

• 距離空間${\displaystyle (M,d_{g})}$完了しています（すべて）${\displaystyle d_{g}}$-コーシー列は収束する）、
• すべての閉じた有界部分集合${\displaystyle M}$コンパクトで、
• ${\displaystyle M}$測地線的に完全である。

ユークリッド空間では、すべての接空間は平行移動によって互いに正準的に同一視されるため、ベクトルをある接空間から別の接空間へ移動させるのは容易です。平行移動は、一般的なリーマン多様体の設定において、曲線に沿ってベクトルをある接空間から別の接空間へ移動させる方法です。固定された接続が与えられた場合、平行移動を行う方法は一意に定まります。^{[ 27 ]}

具体的には、滑らかなベクトル場を${\displaystyle V}$滑らかな曲線に沿って${\displaystyle \gamma }$に平行に${\displaystyle \gamma }$もし${\displaystyle D_{t}V=0}$全く同じように。^{[ 22 ]}曲線を固定する${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M }${\displaystyle \gamma (0)=p}$そして${\displaystyle \gamma (1)=q}$ベクトルを並列輸送する${\displaystyle v\in T_{p}M}$ベクトルへ${\displaystyle T_{q}M}$平行${\displaystyle \gamma }$まず拡張します${\displaystyle v}$に平行なベクトル場${\displaystyle \gamma }$そして、このベクトル場の値を${\displaystyle q}$。

以下の画像は、穴の開いた平面上の2つの異なるリーマン計量に関連付けられたレヴィ・チヴィタ接続によって誘発される平行移動を示しています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}}$平行移動が行われる曲線は単位円です。極座標では、左側の計量は標準的なユークリッド計量です。${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}}$右側の指標は${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$この2番目の計量は原点に特異点を持つため、穿孔点を超えては広がりませんが、最初の計量は平面全体に広がります。

レヴィ・チヴィタ接続下の穿孔面上の平行移動

この輸送は、計量によって与えられる。${\displaystyle dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$。

この輸送は、計量によって与えられる。${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$。

警告：これは単位円に沿った穴あき平面上の平行移動であり、単位円上の平行移動ではありません。実際、最初の画像では、ベクトルは単位円の接空間の外側にあります。

リーマン曲率テンソルは、小さな長方形の周りの平行移動ベクトルが恒等写像ではない程度を正確に測定します。^{[ 28 ]}リーマン曲率テンソルは、多様体がユークリッド空間と局所的に等長である場合に限り、すべての点で0になります。^{[ 29 ]}

接続を修正する${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle M}$リーマン曲率テンソルは写像である。${\displaystyle R:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}$定義される

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

どこ${\displaystyle [X,Y]}$はベクトル場のリー括弧です。リーマン曲率テンソルは${\displaystyle (1,3)}$-テンソル場。^{[ 30 ]}

接続を修正する${\displaystyle \nabla }$の上${\displaystyle M}$リッチ曲率テンソルは

${\displaystyle Ric(X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)}$

どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$はトレースである。リッチ曲率テンソルは共変2テンソル場である。^{[ 31 ]}

G を、例えば3 次元空間における回転群のようなリー群とする。群構造を用いることで、恒等接空間（または他の特定の接空間）上の任意の内積を他のすべての接空間に移動させて、リーマン計量を定義することができる。形式的には、恒等接空間上の内積g _eが与えられたとき、任意の点pにおける接空間上の内積は次のように定義される。

${\displaystyle g_{p}(u,v)=g_{e}(dL_{p^{-1}}(u),dL_{p^{-1}}(v)),}$

ここで、任意のxに対して、L _{x は}点yをxyに写像する左乗算写像G → Gである。このようにして構築されたリーマン計量は左不変である。右乗算写像を使用すれば、同様に右不変なリーマン計量を構築することもできる。

一般的な左不変リーマン計量のレヴィ・チヴィタ接続と曲率は、Gの随伴表現g _eとGに関連付けられたリー代数を用いて明示的に計算できます。^{[ 36 ]}これらの式は、双不変（つまり、左不変かつ右不変）であるリーマン計量の特殊な場合では大幅に簡略化されます。 ^{[ 37 ]}すべての左不変計量は一定のスカラー曲率を持ちます。

リー群上の左不変計量と双不変計量は、リーマン多様体の例の重要な源泉である。特殊ユニタリ群SU(2)上の左不変計量として構成されるベルガー球は、単連結リーマン多様体が大きな曲率を持たずに小さな体積を持つことができる崩壊現象の最も単純な例の 1 つである。 ^{[ 38 ]}また、一定のスカラー曲率を持つがアインシュタイン計量ではなく、平行リッチ曲率を持つリーマン計量の例も示している。^{[ 39 ]}双曲空間には、計量が左不変となるリー群構造を与えることができる。^{[ 40 ] [ 41 ]}リー群上の任意の双不変リーマン計量は非負の断面曲率を持ち、このような計量の多様性をもたらします。リー群が双不変リーマン計量を持つことができるのは、それがコンパクトリー群とアーベルリー群の積で​​ある場合のみです。^{[ 42 ]}

A Riemannian manifold (M, g) is said to be homogeneous if for every pair of points x and y in M, there is some isometry f of the Riemannian manifold sending x to y. This can be rephrased in the language of group actions as the requirement that the natural action of the isometry group is transitive. Every homogeneous Riemannian manifold is geodesically complete and has constant scalar curvature.^[43]

Up to isometry, all homogeneous Riemannian manifolds arise by the following construction. Given a Lie group G with compact subgroup K which does not contain any nontrivial normal subgroup of G, fix any complemented subspaceW of the Lie algebra of K within the Lie algebra of G. If this subspace is invariant under the linear map ad_G(k): W → W for any element k of K, then G-invariant Riemannian metrics on the coset spaceG/K are in one-to-one correspondence with those inner products on W which are invariant under ad_G(k): W → W for every element k of K.^[44] Each such Riemannian metric is homogeneous, with G naturally viewed as a subgroup of the full isometry group.

左不変リーマン計量を持つリー群の上記の例は、この構成の非常に特殊なケース、すなわちKが単位元のみを含む自明な部分群である場合に生じます。 レヴィ・チヴィタ接続とそこで参照される曲率の計算は、この文脈に一般化することができ、計算はW上の内積、 Gのリー代数、およびGのリー代数をKとWのリー代数に直和分解した式で定式化されます。^{[ 44 ]}これにより、同次リーマン多様体の曲率の研究は、主に代数的な問題に還元されます。 この還元と上記の構成の柔軟性により、同次リーマン多様体のクラスは例を構成するのに非常に役立ちます。

連結リーマン多様体( M、g )は、Mの任意の点pに対して、 pを固定点とする多様体の等長写像が存在し、 pにおける微分を否定したものが恒等写像となる場合に、対称であると言われます。すべてのリーマン対称空間は均質であり、したがって測地線的に完全であり、一定のスカラー曲率を持ちます。しかし、リーマン対称空間は、ほとんどの均質リーマン多様体にはない、はるかに強い曲率特性も持ちます。それは、リーマン曲率テンソルとリッチ曲率が平行であるということです。この曲率特性を持つリーマン多様体は、大まかに「一定のリーマン曲率テンソル」（一定の曲率と混同しないように）と表現できますが、局所的に対称であると言われます。この特性は、対称空間をほぼ特徴づけます。エリー・カルタンは1920年代に、測地線的に完全かつ単連結な局所的に対称なリーマン多様体は、実際には対称でなければならないことを証明した。^{[ 45 ]}

リーマン多様体の基本的な例の多くは対称です。最も基本的なものとしては、球面と実射影空間（標準計量付き）と双曲空間があります。複素射影空間、四元数射影空間、ケイリー平面は実射影空間の類似物であり、対称です。同様に、複素双曲空間、四元数双曲空間、ケイリー双曲空間も双曲空間の類似物であり、対称です。グラスマン多様体も自然なリーマン計量を持つため、対称空間となります。左不変リーマン計量を持つリー群のうち、双不変のものは対称です。^{[ 45 ]}

カルタンは、それらを特殊な種類の均質空間として代数的に定式化することで、既約な対称空間の明示的な分類を達成しました。これは、積空間として局所的に分解できない空間を指します。このような空間はすべてアインシュタイン多様体の例であり、その中でも1次元多様体のみがスカラー曲率ゼロです。これらの空間は、リーマンホロノミーの観点から重要です。1950年代にマルセル・ベルガーによって発見されたように、単連結かつ既約なリーマン多様体は、対称空間であるか、または7つの可能性のリストに属するリーマンホロノミーを持ちます。ベルガーの分類における対称空間の7つの例外のうち6つは、ケーラー幾何学、四元数ケーラー幾何学、G ₂幾何学、およびスピン(7)幾何学の分野に属し、それぞれが特定の追加構造と対称性を備えたリーマン多様体を研究しています。 7番目の例外は、最大可能なホロノミー群に反映されるような、特定の対称性を持たない「一般的な」リーマン多様体の研究である。^{[ 45 ]}

リーマン計量は、有限次元の場合と同様の方法で定義されます。ただし、リーマン計量には2つの種類があります。

• 弱いリーマン計量${\displaystyle M}$滑らかな関数です${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,}$任意の${\displaystyle x\in M}$制限${\displaystyle g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R} }$は内積です${\displaystyle T_{x}M.}$
• 強力なリーマン計量${\displaystyle M}$は、${\displaystyle g_{x}}$トポロジーを誘導する${\displaystyle T_{x}M}$。 もし${\displaystyle g}$が強いリーマン計量である場合、${\displaystyle M}$ヒルベルト多様体でなければならない。

• もし${\displaystyle (H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )}$はヒルベルト空間である。${\displaystyle x\in H,}$識別できる${\displaystyle H}$と${\displaystyle T_{x}H.}$指標${\displaystyle g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle }$すべての人々のために${\displaystyle x,u,v\in H}$これは強いリーマン計量である。
• させて${\displaystyle (M,g)}$をコンパクトリーマン多様体とし、 を と表記する。${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$その微分同相群。後者は滑らかな多様体（ここを参照）であり、実際にはリー群である。単位元におけるその接束は、上の滑らかなベクトル場の集合である。${\displaystyle M.}$させて${\displaystyle \mu }$ボリューム形式になる${\displaystyle M.}$の${\displaystyle L^{2}}$弱いリーマン計量${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$、と表記される${\displaystyle G}$は次のように定義される。${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (M),}$${\displaystyle u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).}$それから${\displaystyle x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M}$、

  ${\displaystyle G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))\,d\mu (x).}$

曲線の長さとリーマン距離関数${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$有限次元の場合と同様の方法で定義される。距離関数${\displaystyle d_{g}}$測地距離と呼ばれるこの距離は常に擬距離（点を分離しない距離）ですが、距離ではない場合もあります。^{[ 46 ]}有限次元の場合、リーマン距離関数が点を分離するという証明は、任意の点の周りにプレコンパクト開集合が存在することを利用します。無限次元の場合、開集合はもはやプレコンパクトではないため、証明は失敗します。

• もし${\displaystyle g}$は、${\displaystyle M}$、 それから${\displaystyle d_{g}}$点を分離し（したがって距離関数である）、元の位相構造を誘導する。
• もし${\displaystyle g}$は弱いリーマン計量であり、${\displaystyle d_{g}}$点を分離できない場合があります。実際、完全に0になる可能性さえあります。^{[ 46 ]}例えば、${\displaystyle (M,g)}$がコンパクトリーマン多様体である場合、${\displaystyle L^{2}}$弱いリーマン計量${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$測地距離が消失する。^{[ 47 ]}

強いリーマン計量の場合、有限次元ホップ・リノウ定理の一部は依然として成り立つ。

定理：${\displaystyle (M,g)}$強いリーマン多様体である。すると計量完全性（計量において）${\displaystyle d_{g}}$)は測地線完全性を意味する。

しかしながら、測地線的に完全な強リーマン多様体は、計量的に完全ではない場合があり、コンパクトでない閉集合や有界集合を持つ可能性がある。さらに、すべての閉集合や有界集合がコンパクトである強リーマン多様体は、測地線的に完全ではない可能性がある。

もし${\displaystyle g}$が弱いリーマン計量である場合、一般的には、完全性の概念が他方を意味することはない。