スピン(7)多様体

数学において、スピン(7)-多様体は、ホロノミー群がスピン(7)に含まれる8次元リーマン多様体である。スピン(7)-多様体はリッチ平坦であり、平行スピノルを許容する。また、平行4形式（ケイリー形式と呼ばれる）を許容し、ケイリーサイクルと呼ばれる特別なクラスの部分多様体の較正形式である。

歴史

Spin(7) が特定の 8 次元リーマン多様体のホロノミー群として現れる可能性があるという事実は、1955 年のMarcel Bergerの分類定理によって初めて示唆され、この可能性は1962 年にJim Simonsによって与えられた Berger の定理の簡略化された証明と一致していました。そのような多様体の例はまだ 1 つも発見されていませんでしたが、Edmond Bonan は1966 年に、そのような多様体が実際に存在する場合、それは平行 4 次元形式を持ち、必然的にリッチ平坦になることを示しました。^[1]ホロノミースピン(7)を持つ8次元多様体の最初の局所例は、1984年頃にロバート・ブライアントによって最終的に構築され、その存在の完全な証明は1987年にAnnals of Mathematicsに掲載されました。^{[2]次に、ホロノミースピン(7)を持つ完全な（しかしまだコンパクトではない）8次元多様体が、1989年にブライアントとサラモンによって明示的に構築されました。}コンパクトなスピン(7)多様体の最初の例は、 1996年にドミニク・ジョイスによって構築されました。

参照

参考文献

^ Bonan、Edmond (1966)、「Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、262 : 127–129。
^ ブライアント、ロバート L. (1987)「例外的なホロノミーを持つメトリック」、数学年報(2)126、525–576。

E. Bonan (1966)、「Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)」、CR Acad。科学。パリ、262 : 127–129。
ブライアント、RL ; サラモン、SM (1989)、「例外的なホロノミーを持ついくつかの完全な計量の構築について」デューク数学ジャーナル、58 (3): 829– 850、doi :10.1215/s0012-7094-89-05839-0。
ドミニク・ジョイス（2000年）。特殊ホロノミーを持つコンパクト多様体。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850601-5。
カリギアニス、スピロ（2009）、「G2の流れとスピン（7）構造」、オックスフォード大学数学研究所、9（4）：389-463。

[1] Bonan、Edmond (1966)、「Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)」、Comptes Rendus de l'Académie des Sciences、262 : 127–129。

[2] ブライアント、ロバート L. (1987)「例外的なホロノミーを持つメトリック」、数学年報(2)126、525–576。