ホップ・リノウの定理

ホップ・リノウの定理は、リーマン多様体の測地線完全性に関する一連の記述である。これは、1931年に発表したハインツ・ホップと彼の弟子であるヴィリ・リノウにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}シュテファン・コーン＝フォッセンは、ホップ・リノウの定理の一部を特定のタイプの距離空間の文脈に拡張した。

させて${\displaystyle (M,g)}$境界のない連結で滑らかなリーマン多様体とする。このとき、以下の記述は同値である。^{[ 2 ]}

1. 閉集合および有界部分集合${\displaystyle M}$コンパクトです。
2. ${\displaystyle M}$は完備距離空間である。
3. ${\displaystyle M}$は測地線的に完全である。つまり、すべての${\displaystyle p\in M,}$指数写像exp _pは接空間全体で定義される${\displaystyle \mathrm {T} _{p}M.}$

さらに、上記のいずれか1つは、任意の2点が与えられた場合に、${\displaystyle p,q\in M,}$これら2点を結ぶ長さ最小化測地線が存在する（測地線は一般に長さ汎関数の臨界点であり、最小値である場合もそうでない場合もある）。

ホップ・リノウの定理において、完全性の最初の特徴付けは多様体の位相と様々な集合の有界性のみを扱い、2番目は変分法の特定の問題（すなわち長さ汎関数の最小化）の最小化解の存在を扱い、3番目は特定の常微分方程式系の解の性質を扱います。

• ホップ・リノウの定理は、次のように長さ距離空間に一般化される。 ^{[ 3 ]}
  • 長さ距離空間が完備かつ局所的にコンパクトであれば、任意の2点は最小化測地線で結ばれ、任意の有界閉集合はコンパクトである。

実際、これらの性質は局所的にコンパクトな長さ距離空間の完全性を特徴づけるものである。^{[ 4 ]}

• この定理は無限次元多様体には当てはまらない。可分ヒルベルト空間の単位球面は、対蹠点が長さ最小化測地線で結ばれないようなヒルベルト多様体の構造を持つことができる。 ^{[ 5 ]}後に、2点が任意の測地線（最小化測地線か否かを問わず）で結ばれるとは限らないことが指摘された。^{[ 6 ]}
• この定理はローレンツ多様体にも一般化できない。クリフトン・ポール・トーラスは、コンパクトではあるが完全ではない例（2次元トーラスと微分同相）を提供する。^{[ 7 ]}

• ヴォイツェホフスキー、MI（2001）[1994]、「ホップ・リノウの定理」、数学百科事典、EMS Press
• ダーウェント、ジョン。「ホップ・リノウの定理」。MathWorld 。