セットの直径

数学において、距離空間における点の集合の直径とは、その集合内の点間の最大距離のことです。重要な特殊なケースとして、距離空間の直径とは、その空間内の任意の2点間の最大距離のことです。これは、円の直径、つまり円周上の2点間の最大距離を一般化したものです。この直径の用法は、病変に関する医学用語や、岩石に関する地質学用語にも見られます。

有界集合とは、直径が有限である集合のことである。有界集合内では、すべての距離は直径以下である。

物体の直径は、物体内の点のペア間のすべての距離の集合の最小上限（「sup」と表記）です。具体的には、${\displaystyle S}$距離がメトリックで測定された点の集合${\displaystyle \rho }$直径は^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\rho (x,y).}$$

ユークリッド平面またはユークリッド空間内の任意の有界集合について、オブジェクトまたは集合の直径は、その凸包の直径と同じです。平面内の任意の凸形状について、直径は、その境界に接する2つの反対方向の平行線の間に形成できる最大の距離です。^{[ 4 ]}

微分幾何学において、直径は重要なリーマン不変量である。リーマン多様体内のすべてのコンパクト集合、およびすべてのコンパクトリーマン多様体自体は、有限の直径を持つ。例えば、任意の次元の単位球面をリーマン多様体とみなした場合、直径は${\displaystyle \pi }$これは、ユークリッド空間の部分集合としての直径（2に等しい）とは異なり、リーマン多様体であるため、距離は多様体内の測地線に沿って測定される。 ^{[ 10 ]}

リッチ曲率が正の定数下限を持つリーマン多様体では、直径もマイヤーズの定理によって制限されます。チェンの最大直径定理によれば、与えられた曲率下限に対して最大の直径を持つ唯一の多様体は、その曲率を持つ球です。この定理は、1975 年にそれを発表したShiu-Yuen Chengにちなんで名付けられました。 ^{[ 10 ] [ 11 ]}

グラフ理論において、連結無向グラフの直径とは、そのグラフの任意の2つの頂点間の最長距離のことです。つまり、グラフの頂点集合の直径であり、グラフ内の最短経路距離の直径でもあります。直径は、重み付きグラフと重みなしグラフのどちらにも適用できます。研究者たちは、任意のグラフと特殊なグラフの両方において、直径を計算する問題を研究してきました。

グラフ直径の特殊なケースとしては、与えられた群に対して可能な最大の直径を持つケイリーグラフを用いて定義される群の直径、および点集合の三角形分割の反転グラフの直径（可能な限り離れた2つの三角形分割に対して、ある三角形分割を別の三角形分割に変換するために必要な最小の局所移動数）などがある。