アインシュタイン多様体

微分幾何学と数理物理学において、アインシュタイン多様体とは、リッチテンソルが計量に比例するリーマン微分可能多様体または擬リーマン 微分可能多様体である。この条件は、計量が真空アインシュタイン場方程式（宇宙定数）の解であるとすることと同等であるため、アルバート・アインシュタインにちなんで名付けられているが、計量の次元とシグネチャはどちらも任意であり、したがってローレンツ多様体（一般相対性理論で通常研究される4次元ローレンツ多様体を含む）に制限されない。4ユークリッド次元のアインシュタイン多様体は、重力インスタントンとして研究されている。

Mがn次元多様体でgがその計量テンソルである場合、アインシュタインの条件は次のことを意味する。

${\displaystyle \mathrm {リック} =kg}$

ある定数kに対して、 Ric はgのリッチテンソルを表します。k = 0のアインシュタイン多様体はリッチ平坦多様体と呼ばれます。

局所座標では、 ( M , g )がアインシュタイン多様体である という条件は単純に

${\displaystyle R_{ab}=kg_{ab}.}$

両辺のトレースをとると、アインシュタイン多様体の比例定数kはスカラー曲率 Rと次のよう に関係していることがわかる。

${\displaystyle R=nk,}$

ここでnはMの次元です。

一般相対論では、宇宙定数Λ を持つアインシュタインの方程式は

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},}$

ここで、κはアインシュタインの重力定数です。^[1]応力エネルギーテンソル T _abは、基礎となる時空の物質とエネルギー含有量を与えます。真空（物質のない時空領域）ではT _ab = 0であり、アインシュタインの方程式は次のように書き直すことができます（n > 2と仮定）。

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda}{n-2}}\,g_{ab}.}$

したがって、アインシュタイン方程式の真空解は、kが宇宙定数に比例する (ローレンツ) アインシュタイン多様体です。

アインシュタイン多様体の簡単な例は次のとおりです。

• すべての 2D 多様体はアインシュタイン計量を許容します。実際、この次元では、計量は一定のガウス曲率を持つ場合にのみアインシュタイン計量となります。リーマン面の古典的な均一化定理は、任意の 2 次元多様体上のすべての共形クラスにそのような計量が存在することを保証します。
• 断面曲率が一定である多様体は、すべてアインシュタイン多様体である。具体的には、
  • ユークリッド空間は平坦であり、リッチ平坦の単純な例であり、したがってアインシュタイン計量です。
  • 円形計量を持つn球面、は、 を持つアインシュタインです。${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle k=n-1}$
  • 正準計量を持つ双曲空間は、 を持つアインシュタインです。${\displaystyle k=-(n-1)}$
• 複素射影空間、は、フビニ・スタディ計量を持ち、${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle k=2n+2.}$
• カラビ・ヤウ多様体は、アインシュタイン定数 を持つ、ケーラーでもあるアインシュタイン計量を許容します。このような計量は一意ではなく、族に属します。すべてのケーラー類にカラビ・ヤウ計量があり、この計量は複素構造の選択にも依存します。たとえば、K3には 60 パラメータのこのような計量族があり、そのうち 57 パラメータは等長変換や再スケーリングによって関連付けられていないアインシュタイン計量を生み出します。${\displaystyle k=0}$
• ケーラー・アインシュタイン計量は、シン・トゥン・ヤウの存在結果と、特にファノ多様体の場合のK安定性のその後の研究により、さまざまなコンパクト複素多様体上に存在する。
• エリー・カルタンによって分類された既約対称空間は常にアインシュタインです。これらの空間のうち、コンパクトな空間はすべて正のアインシュタイン定数 を持ちます。これらの例としては、グラスマン多様体、、などがあります。このようなコンパクト空間には、いわゆる非コンパクト双対があり、これは負のアインシュタイン定数 を持ちます。これらの双対の相互関係は、球面と双曲空間の関係とまったく同じです。${\displaystyle k}$${\displaystyle Gr(k,\mathbb {R} ^{\ell })}$${\displaystyle Gr(k,\mathbb {C} ^{\ell })}$${\displaystyle Gr(k,\mathbb {H} ^{\ell })}$${\displaystyle k}$

閉じた、向き付けられた、4次元多様体がアインシュタイン多様体となるための1つの必要条件は、ヒッチン・ソープ不等式を満たすことです。しかし、この必要条件は十分とは程遠く、ルブラン、サンブセッティらによってさらなる障害が発見されています。

4 次元リーマン アインシュタイン多様体は、量子重力理論における重力インスタントンとして数理物理学でも重要である。「重力インスタントン」という用語は、ワイル テンソルが反自己双対であるアインシュタイン 4 次元多様体に限定される場合があり、計量は有限商ユークリッド 4 次元空間上の標準計量に漸近的である (したがって完全だが非コンパクトである) と想定されることが多い。微分幾何学では、単連結自己双対アインシュタイン 4 次元多様体は、リッチ平坦の場合の 4 次元逆向きハイパーケーラー多様体と一致するが、それ以外の場合は四元数ケーラー多様体と呼ばれることもある 。

高次元のローレンツ・アインシュタイン多様体は、弦理論、M理論、超重力などの現代の重力理論で使用されています。超ケーラー多様体と四元数ケーラー多様体（アインシュタイン多様体の特殊な種類）は、超対称性を持つ非線形σモデルのターゲット空間として物理学にも応用されています。

コンパクトアインシュタイン多様体は微分幾何学で盛んに研究されており、多くの例が知られているが、その構築はしばしば困難である。コンパクトリッチ平坦多様体は特に見つけるのが難しい。匿名の著者アーサー・ベッセによるこのテーマに関するモノグラフでは、読者は新しい例と引き換えに星付きレストランでの食事を提供している。^[2]

• アインシュタイン・エルミートベクトル束

• ベッセ、アーサー L. (1987)。アインシュタイン多様体。数学の古典。ベルリン: シュプリンガー。ISBN 3-540-74120-8。