G2 マニホールド

微分幾何学 において、G ₂多様体またはジョイス多様体は、ホロノミー群がG ₂に含まれる7 次元リーマン多様体です。 この群は、5 つの例外的な単純リー群の 1 つです。 これは、八元数の自己同型群として記述できます。または、それと同等に、8 次元スピノル表現でスピノルを保存する特殊直交群SO(7)の適切な部分群として記述することも、非退化 3 次元形式、結合形式を保存する一般線型群GL(7)の部分群として記述することもできます。ホッジ双対は、すると平行 4 次元形式、共結合形式になります。 これらの形式は、リース・ハーベイと H. ブレイン・ローソン [1] の意味での較正であり、3^次元および4次元部分多様体の特別なクラスを定義します。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi =*\phi }$

すべての-多様体は 7 次元、リッチ平坦、有向スピン多様体です。さらに、ホロノミーが に等しい任意のコンパクト多様体は、有限基本群、ゼロでない第 1ポンチャギン類、およびゼロでない第 3 および第 4ベッティ数を持ちます。 ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

が特定のリーマン7次元多様体のホロノミー群である可能性があるという事実は、 1955年のマルセル・バーガーの分類定理によって初めて示唆され、これは後にジム・シモンズが1962年に与えた簡略化された証明と一致していました。そのような多様体の例はまだ1つも発見されていませんでしたが、エドモンド・ボナンは、そのような多様体が実際に存在する場合、それは平行3次元形式と平行4次元形式の両方を持ち、必然的にリッチ平坦になることを示すことで、有益な貢献をしました。^[2]${\displaystyle G_{2}}$

ホロノミーを持つ 7 次元多様体の最初の局所例は、 1984 年頃にRobert Bryantによってようやく構築され、その存在の完全な証明は 1987 年に Annals に掲載されました。^[3]次に、完全な (ただしまだコンパクトではない) ホロノミーを持つ 7 次元多様体が、1989 年に Bryant と Simon Salamon によって構築されました。^[4]ホロノミーを持つ最初のコンパクトな 7 次元多様体は、1994 年にDominic Joyceによって構築されました。コンパクト多様体は、特に物理学の文献では「ジョイス多様体」と呼ばれることがあります。^[5] 2013 年に、M. Firat Arikan、Hyunjoo Cho、およびSema Salurによって、スピン構造、つまり-構造を持つ任意の多様体は、互換性のあるほぼ接触計量構造を許容し、-構造を持つ多様体に対して明示的に互換性のあるほぼ接触構造が構築されることが示されました。^[6]同じ論文では、ある種の-多様体は接触構造を許容することが示された。 ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

2015年、アレッシオ・コルティ、マーク・ハスキンズ、ヨハネス・ノルドストローム、トマソ・パチーニによるコンパクト多様体の新しい構築では、サイモン・ドナルドソンによって提案された接着のアイデアと、円筒形の端を持つカラビ・ヤウ多様体を構築するための新しい代数幾何学的および解析的手法が組み合わされ、数万種類の新しい例の微分同相写像が生まれました。^[7]${\displaystyle G_{2}}$

これらの多様体は弦理論において重要である。これらは元の超対称性を元の量の 1/8 に破壊する。例えば、多様体上にコンパクト化されたM 理論は、 N=1 の超対称性を持つ現実的な 4 次元 (11-7=4) 理論につながる。結果として生じる低エネルギー有効超重力には、単一の超重力超多重体、多様体の第 3ベッティ数に等しい数のカイラル超多重体、および第 2 ベッティ数に等しい数の U(1)ベクトル超多重体が含まれる。最近、( Sema Salurらによって構築された)ほぼ接触構造^[6]が幾何学において重要な役割を果たすことが示された。^[8]${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$

• スピン(7)多様体
• カラビ・ヤウ多様体

• ベッカー、カトリン;ベッカー、メラニー; シュワルツ、ジョン H. (2007)、「G ₂とスピン(7) ホロノミーを持つ多様体」、ストリング理論と M 理論: 現代入門、ケンブリッジ大学出版局、pp. 433–455、ISBN 978-0-521-86069-7。
• Fernandez, M.; Gray, A. (1982)、「構造群 G ₂を持つリーマン多様体」、Ann. Mat. Pura Appl.、32 : 19–845、doi : 10.1007/BF01760975、S2CID  123137620。
• カリギアニス、スピロ (2011)、「G2 多様体とは何か?」(PDF)、AMS Notices、58 (4): 580–581。