崩壊する多様体

リーマン幾何学において、収縮多様体または収縮された多様体は、リーマン計量g _iの列を許容するn次元多様体 Mであり、 i が無限大に近づくにつれて、多様体はグロモフ・ハウスドルフ距離の意味でk  <  nであるk次元空間に近くなります。一般に、 ( M ,  g _i ) の断面曲率にはいくつかの制限があります。最も単純な例は平坦多様体で、その計量は 1/ iで再スケーリングできるため、多様体は点に近くなりますが、曲率はすべてのiに対して 0 のままです。

一般的に言えば、崩壊には 2 つの種類があります。

(1) 最初のタイプは、曲率を一様に保ったまま崩壊するものである。 ${\displaystyle |\sec(M_{i})|\leq 1}$

を次元リーマン多様体の列とし、はi番目の多様体の断面曲率を表します。Jeff Cheeger、Kenji Fukaya、Mikhail Gromovによって証明された定理があり、これは「 および ならば、はN 構造を許容し、は多様体Mの単射半径を表す」と述べています。大まかに言えば、N構造は、Cheeger と Gromov によって導入された F 構造の一般化である、ニル多様体の局所作用です。この定理は、それぞれトーラス作用と有界直径の場合のみを扱う Cheeger-Gromov と Fukaya の以前の定理を一般化したものです。 ${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sec(M_{i})}$${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle |\sec(M_{i})|\leq 1}$${\displaystyle {\rm {Inj}}(M_{i})<\varepsilon (n)}$${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle {\rm {Inj}}(M)}$

（２）２番目のタイプは、例えば曲率の下限値のみを維持したまま崩壊するものである。 ${\displaystyle \sec(M_{i})\geq -1}$

これは、非負に曲がった多様体とほぼ平坦な多様体を一般化する、いわゆるほぼ非負に曲がった多様体の場合と密接に関連しています。多様体がほぼ非負に曲がっていると言われるのは、 およびとなるような計量の列を許容する場合です。曲率が下方に有界である場合のこの崩壊ケースでほぼ非負に曲がった多様体が果たす役割は、曲率が有界である場合にほぼ平坦な多様体が果たす役割と同じです。 ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle \sec(M,g_{i})\geq -1/n}$${\displaystyle {\rm {diam}}(M,g_{i})\leq 1/n}$

曲率が下からのみ制限されている場合、と呼ばれる極限空間はアレクサンドロフ空間です。山口は、極限空間の正規部分に、が十分に大きい場合、ファイバーはほぼ非負に曲がった多様体である、への局所的に自明なファイバー化形式が存在することを証明しました。^[要出典]ここで、正規とは、-ストレーナー半径が正の数によって下から一様に制限されていること、または大まかに言えば、ユークリッド空間に局所的に閉じている空間を意味します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{i}^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (\delta ,n)}$

の特異点では何が起こりますか? この質問に対する答えは一般にありません。しかし、次元 3 では、塩谷と山口がこのタイプの崩壊した多様体の完全な分類を与えています。彼らは、およびが存在し、3 次元多様体がを満たす場合、次のいずれかが真であることを証明しました。(i) M はグラフ多様体であるか、(ii) 直径が より小さく、有限の基本群を持ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon (n)}$${\displaystyle \delta (n)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\rm {Vol}}(M)<\varepsilon (n)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \delta (n)}$

• Cheeger, Jeff ; Gromov, Mikhael (1986). 「曲率を制限したままリーマン多様体を崩壊させる。I」。Journal of Differential Geometry . 23 (3): 309–346. doi : 10.4310/jdg/1214440117 . MR  0852159. Zbl  0606.53028.
• Cheeger, Jeff ; Gromov, Mikhael (1990). 「曲率を制限したままリーマン多様体を崩壊させる。II」。Journal of Differential Geometry . 32 (1): 269–298. doi : 10.4310/jdg/1214445047 . MR  1064875. Zbl  0727.53043.
• Cheeger, Jeff ; Fukaya, Kenji ; Gromov, Mikhael (1992). 「崩壊多様体上のべき零構造と不変計量」アメリカ数学会誌. 5 (2): 327–372. doi : 10.1090/S0894-0347-1992-1126118-X . MR  1126118. Zbl  0758.53022.