複素双曲空間

数学において、複素双曲空間はエルミート多様体であり、複素多様体における実双曲空間と等価である。複素双曲空間はケーラー多様体であり、単連結な ケーラー多様体の中で唯一、正則断面曲率が -1 に等しい定数であることを特徴とする。その基礎となるリーマン多様体は、-1 と -1/4 (または、計量の正規化の選択に応じて -4 と -1) の間に挟まれた非定数の負の曲率を持ち、特にCAT(-1/4) 空間である。

複素双曲空間は、リー群に関連付けられた対称空間でもあります。複素双曲空間は、実双曲空間と四元数双曲空間とともに、非コンパクト型の階数 1 の対称空間の 3 つのファミリーの 1 つを構成します。この分類には、例外的な空間であるケーリー平面が追加されます。 ${\displaystyle PU(n,1)}$

を複素ベクトル空間 における擬エルミート形式の署名とします。複素双曲空間 の射影モデルは、この形式のすべての負のベクトルの射影化された空間です。${\displaystyle \langle u,v\rangle :=-u_{1}{\overline {v_{1}}}+u_{2}{\overline {v_{2}}}+\dots +u_{n+ 1}{\overline {v_{n+1}}}}$${\displaystyle (n,1)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}|\langle \xi ,\xi \rangle <0 \}.}$

複素射影空間の開集合として、この空間は複素多様体の構造を備えています。は の単位球と双正則同型であり、これは負のベクトルは必ず最初の座標がゼロでなくてはならないことに注目すればわかるため、 は射影空間において最初の座標が 1 である一意の代表を持ちます。のときの条件は と同等です。の単位球の点を射影空間の点に送る写像は、したがって必要な双正則同型性を定義します。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle \xi ,\xi \rangle <0}$${\displaystyle \xi =(1,x_{1},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle [1:x_{1}:\dots :x_{n}]}$

このモデルは、ポアンカレ円板モデルと同等です。実双曲面空間とは異なり、複素射影空間は双曲面のシートとして定義することはできません。これは、この双曲面の射影モデルへの射影に連結されたファイバー（実数の場合の ファイバー）があるためです。${\displaystyle \langle x,x\rangle =-1}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

エルミート計量は、次のように上で定義されます。 が円錐 に属する場合、 を直交空間に制限すると、この空間上に正のエルミート積が定義され、点 におけるの接空間は と自然に同一視できるため、 上にエルミート内積が定義されます。 計算によってわかるように、この内積は代表 の選択に依存しません。 正則断面曲率が -4 ではなく -1 に等しくなるようにするには、この計量を の係数で正規化する必要があります。 この計量はケーラー計量です。 ${\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle p\in \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \langle p,p\rangle =-1}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle (\mathbb {C} p)^{\perp }\subset \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle [p]}$${\displaystyle (\mathbb {C} p)^{\perp }}$${\displaystyle T_{[p]}\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1/2}$

複素双曲空間のシーゲルモデルは、 ${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{n-1}}$

${\displaystyle i({\bar {w}}-w)>2z{\bar {z}}.}$

これはケーリー変換を介して単位球と双正則同型である。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle (w,z)\mapsto \left({\frac {wi}{w+i}},{\frac {2z}{w+i}}\right).}$

射影モデルでは、複素双曲空間は 次元の複素単位球と同一視され、その境界は実次元の球面と微分同相な球の境界として定義できます。これは、 を定義することと同等です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}|\langle \xi ,\xi \rangle =0\}.}$

CAT(0)空間として、複素双曲空間も無限遠に境界を持ちます。この境界は先ほど定義した境界と一致します。 ${\displaystyle \partial _{\infty }\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$

複素双曲空間の境界は自然にCR 構造を持ちます。この構造は、(奇数次元)球面上の 標準的な接触構造でもあります。

複素双曲空間の正則等長写像群はリー群 である。この群は複素双曲空間に推移的に作用し、点の安定群はユニタリ群に同型である。したがって、複素双曲空間は等質空間に同相である。安定群は の最大コンパクト部分群である。 ${\displaystyle PU(n,1)}$${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle PU(n,1)/U(n)}$${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle PU(n,1)}$

結果として、複素双曲空間はリーマン対称空間 であり、^[1]は擬ユニタリー群 である。${\displaystyle SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))}$${\displaystyle SU(n,1)}$

複素双曲空間の正則等長写像群は、この空間の境界にも作用し、閉円板上の同相写像によって作用する。ブラウワーの不動点定理により、複素双曲空間の任意の正則等長写像は、 内の少なくとも1つの点を固定する必要がある。等長写像は3つのタイプに分類される: ^[2]${\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}=\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}\cup \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}}$

• 等長変換は、複素双曲空間内の点を固定する場合、楕円形であると言われます。
• 等長変換は、複素双曲空間内の点を固定せず、境界内の唯一の点を固定する場合、放物線であると言われます。
• 等長変換は、複素双曲空間内の点を固定せず、境界内の 2 つの点だけを固定する場合、双曲型 (または航程型) であると言われます。

の岩沢分解は の分解であり、 はユニタリ群、は実数の加法群、は実次元のハイゼンベルク群です。このような分解は の選択に依存します。 ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)=K\times A\times N}$${\displaystyle K=U(n)}$${\displaystyle A=\mathbb {R} }$${\displaystyle N={\mathcal {H_{n}}}}$${\displaystyle 2n-1}$

• 複素双曲空間の境界上の点（は固定の単能放物線要素の群である）${\displaystyle \xi }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}$${\displaystyle \xi }$
• 無限遠に向かう有向測地線（この測地線に沿った平行移動として動作し、その周囲に回転部分を持たない双曲要素のグループ）${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}$
• の原点の選択、すなわち、その像がである単位速度パラメータ化（は、を固定した楕円要素の群である）${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}$${\displaystyle \gamma (0)}$

の任意のそのような分解に対して、部分群の作用は自由かつ推移的であり、したがって微分同相写像 を誘導します。この微分同相写像は、シーゲル模型の一般化として見ることができます。 ${\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}$${\displaystyle A\times N}$${\displaystyle \mathrm {A} \times N\to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}$

正則等長写像群は、双曲複素空間の接複素直線に推移的に作用する。このため、この空間は定数正則断面曲率を持ち、これは（上記の計量の正規化により）-4 と計算できる。この性質は双曲複素空間を特徴付ける。等長双正則写像まで、与えられた定数正則断面曲率を持つ単連結完全ケーラー多様体は 1 つだけ存在する。^[3]${\displaystyle PU(n,1)}$

さらに、エルミート多様体が に等しい定数正則断面曲率を持つ場合、すべての実接平面の断面曲率は次の式によって完全に決定されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle K(\Pi )={\frac {k}{4}}\left(1+3\cos ^{2}(\alpha (\Pi )\right)}$

ここで はと の間の角度、すなわち 内のベクトルと 内のベクトルの間の角度の最小値です。^[3]この角度は、 が複素直線である場合に限り 0 に等しく、が完全実である場合に限り に等しくなります。したがって、複素双曲空間の断面曲率は -4 (複素直線の場合) から -1 (完全実平面の場合) まで変化します。 ${\displaystyle \alpha (\Pi )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle J\Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle J\Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \Pi }$

複素次元 1 では、接空間のすべての実平面は複素直線です。したがって、次元 1 の双曲複素空間は -1 に等しい一定の曲率を持ち、均一化定理により、実双曲平面と等長です。したがって、双曲複素空間は、実双曲空間ほど標準的ではない、双曲平面の別の高次元一般化と見ることができます。3 つ目の可能な一般化は同次空間 で、 については再び双曲平面と一致しますが、 のときはランクが 1 より大きい対称空間になります。 ${\displaystyle SL_{n}(\mathbb {R} )/SO_{n}(\mathbb {\mathbb {R} } )}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n\geq 3}$

n次元の複素双曲空間のすべての完全測地線部分多様体は次のいずれかです。

• より小さい次元の複素双曲空間のコピー
• より小さい実次元の実双曲空間のコピー${\displaystyle n}$

特に、複素双曲空間には、共次元 1 の完全測地線部分空間は存在しません。

• 単位球面上では、複素双曲計量は、スカラー再正規化を除けば、ベルグマン計量と一致する。これは、球面上のあらゆる双正則同型写像が、実際には複素双曲計量の等長写像であることを意味する。

• 複素双曲計量も小林計量と一致します。

• 繰り込みまでは、複素双曲型計量はケーラー・アインシュタイン計量であり、これはそのリッチ曲率が計量の倍数であることを意味します。

• 双曲空間
• 四元数双曲空間

• ゴールドマン、ウィリアム M. (1999)。複素双曲幾何学。オックスフォード: クラレンドン プレス。p. xx + 316。ISBN 0-19-853793-X。