約数の線型システム

代数幾何学において、因子の線型システムとは、曲線の族という幾何学的概念の代数的一般化であり、線型システムの次元は、族のパラメータの数に対応します。

これらは最初、射影平面上の代数曲線の線型システムの形で現れました。これは徐々に一般化され、より一般的な形をとるようになり、一般的なスキームや環空間上の因子Dの線型同値性について話すことができるようになりました。^[1] ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

1 次元、2 次元、3 次元の線形システムは、それぞれペンシル、ネット、ウェブと呼ばれます。

線形システムによって決定される地図は、小平地図と呼ばれることもあります。

一般多様体 が与えられたとき、2つの約数は、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle D,E\in {\text{Div}}(X)}$

${\displaystyle E=D+(f)\ }$

上の非ゼロ有理関数 、つまり関数体の非ゼロ元に対して適用されます。ここで は関数 の零点と極の約数を表します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k(X)}$${\displaystyle (f)}$${\displaystyle f}$

に特異点がある場合、「因子」の概念は本質的に曖昧であることに注意してください(カルティエ因子、ヴェイユ因子:因子 (代数幾何学)を参照)。その場合の定義は通常、より慎重に行われます (可逆層または正則直線束を使用)。以下を参照してください。 ${\displaystyle X}$

上の完全線型系は、ある与えられた因子 と線型同値なすべての有効因子の集合として定義されます。これは と表記されます。を に関連付けられた直線束とします。 が非特異射影多様体である場合、 の元をの非零倍数の集合に関連付けることにより、集合は^[2]と自然一対一になります(2 つの非零有理関数が同じ因子を持つのは、それらが互いの非零倍数である場合のみであるため、これは明確に定義されます)。したがって、完全線型系は射影空間です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle D\in {\text{Div}}(X)}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}$${\displaystyle E=D+(f)}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |D|}$

線形システムは 完全線形システムの射影部分空間なので、のベクトル部分空間Wに対応します。線形システムの次元は射影空間としての次元です。したがって。 ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}$

線型システムは、直線束または可逆層言語によっても導入できます。これらの用語では、因子(正確にはカルティエ因子) は直線束に対応し、2 つの因子の線型同値は、対応する直線束が同型であることを意味します。 ${\displaystyle D}$

2次曲面を定義する 線束を考える。付随する因子 は、有理関数^{[2] を}用いてある の消失軌跡によって定義される他の任意の因子と線型的に同値である(命題 7.2)。例えば、の消失軌跡に付随する因子は、 の消失軌跡に付随する因子と線型的に同値である。すると、因子の同値性が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle D_{s}=Z(s)}$${\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle \left(t/s\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}$

種数の代数曲線上の重要な完全線型システムの1つは、標準因子 に関連付けられた完全線型システムで与えられ、 と表記されます。この定義は、線型システムのすべての有効因子が のあるセクションの零点から得られるため、 Hartshorne ^[2]の命題 II.7.7 に従います。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$${\displaystyle \omega _{C}}$

線形システムの応用例の 1 つは、代数曲線の分類です。超楕円曲線は、次数射を持つ曲線です。^[2]の場合、すべての曲線は超楕円です。リーマン・ロッホの定理により、 の次数はであり、 であるため、への次数写像が存在します。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle K_{C}}$${\displaystyle 2g-2=2}$${\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$

A は次数、次元の曲線上の線型システムです。たとえば、超楕円曲線は-写像によって誘導される を持ちます。実際、命題 5.3 から、超楕円曲線は一意の^[2]を持ちます。別の近い例として、 を持つ曲線があり、これは三角曲線と呼ばれます。実際、任意の曲線は に対して を持ちます。[ ^3]${\displaystyle g_{d}^{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle 2:1}$${\displaystyle C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle g_{1}^{3}}$${\displaystyle g_{1}^{d}}$${\displaystyle d\geq (1/2)g+1}$

上の直線束を考えてみましょう。大域切断をとれば、その射影化をとることができます。これは、 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1}$

次に、任意の埋め込みを使用して、次元の線形システムを構築できます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle k}$

代数曲面Y上の曲線族の特性線型系とは、曲線族内の曲線Cに対して、曲線族内でCに無限に近い曲線によって形成される線型系である。^[4]

現代的な言葉で言えば、それはへの正規バンドルに関連付けられた線型システムのサブシステムです。特性システムは完全である必要はないことに注意してください。実際、完全性の問題はイタリア学派によって広範囲に研究されましたが、満足のいく結論は出ていません。今日では、小平-スペンサー理論を使用して完全性の質問に答えることができます。 ${\displaystyle C\hookrightarrow Y}$

ケーリー・バカラックの定理は、立方体鉛筆の特性であり、底辺軌跡が「8 は 9 を意味する」という特性を満たすことを示しています。つまり、8 つの点を含む立方体には、必ず 9 番目の点が含まれます。

一般に、線形システムはイタリア代数幾何学学派が実践する双有理幾何学の基本的なツールとなった。技術的要求は非常に厳しくなり、後の発展で多くの問題が明確になった。関連する次元の計算、いわゆるリーマン・ロッホ問題は、ホモロジー代数の観点から表現した方がよい。特異点を持つ多様体に取り組むことの影響は、（余次元が 1 の部分多様体によって生成される自由アーベル群内の）ヴェイユ因子と可逆層のセクションから生じるカルティエ因子の違いを明らかにすることである。

イタリア学派は代数曲面上の幾何学を、三次元空間の曲面によって切り取られた線型システムの幾何学に還元することを好んだ。ザリスキは有名な著書『代数曲面』を執筆し、固定された基点を持つ線型システムを含む手法をまとめようとした。代数幾何学における「古い」観点と「新しい」観点の対立における最終的な問題の 1 つとして、代数曲面上の代数曲線族のアンリ・ポアンカレの特徴的な線型システムをめぐる論争があった。

多様体上の因子の線型システムの基底軌跡とは、線型システム内のすべての因子に「共通する」点の部分多様体を指します。幾何学的には、これは多様体の共通交差点に対応します。線型システムは基底軌跡を持つことも持たないこともあります。たとえば、アフィン直線の束には共通交差点はありませんが、複素射影平面に 2 つの (非退化) 円錐曲線がある場合、それらは 4 つの点 (重複度を含む) で交差し、したがってそれらが定義する束にはこれらの点が基底軌跡として存在します。 ${\displaystyle x=a}$

より正確には、 が何らかの多様体 上の完全な線型因子系であると仮定する。交点を考える。 ${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ }$

ここで は因子のサポートを表し、共通部分は線型システム内のすべての有効因子にわたって取られます。これがの基底軌跡です(少なくとも集合としては:の構造層がどうあるべきかについては、より微妙なスキーム理論上の考慮事項があるかもしれません)。 ${\displaystyle \operatorname {Supp} }$${\displaystyle D_{\text{eff}}}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle \operatorname {Bl} }$

基底軌跡の概念の応用例の 1 つは、カルティエ因子類 (つまり、完全な線型システム) のnef 性です。が多様体 上のそのような類で、上の既約曲線であるとします。が の基底軌跡に含まれていない場合、を含まない何らかの因子がクラス内に存在し、それと適切に交差します。交差理論の基本的な事実から、 が成り立つことがわかります。結論として、因子類の nef 性を確認するには、クラスの基底軌跡に含まれる曲線との交差数を計算すれば十分です。したがって、大まかに言えば、基底軌跡が「小さい」ほど、クラスが nef である可能性が「高くなります」。 ${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}$

代数幾何学の現代的な定式化では、多様体上の（カルティエ）因子の完全な線型システムは、上の線束として見られます。この観点から、基底軌跡は、 のすべてのセクションの共通零点の集合です。単純な帰結は、基底軌跡が空である場合にのみ、 バンドルが大域的に生成されるということです。${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

基底軌跡の概念は、非完全な線形システムでも意味を持ちます。その基底軌跡は、依然として、システム内のすべての有効な因子のサポートの交差点です。

2つの一般的なセクションによって与えられるレフシェッツ鉛筆 を考えてみましょう。これは、スキームによって与えられます。${\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}$

これには、を固定した各多項式が の約数となるため、関連する線型約数系があります。この約数系の基底軌跡は の消失軌跡によって与えられるスキームであるため、${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f,g}$

${\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}$

代数多様体上の各線型系は、次のように、基底軌跡の補集合から系の次元の射影空間への射影を決定する。（ある意味では、逆もまた真である。以下のセクションを参照）

L を代数多様体X上の線束と有限次元ベクトル部分空間とする。わかりやすくするために、まずVが基底点を持たない場合を考える。言い換えれば、自然写像は射影的である（ここでk = 基底体）。あるいは同値として、は射影的である。したがって、自明なベクトル束について書き、その射影を相対 Projに渡すと、閉じた浸漬が存在する。 ${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$${\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V_{X}=V\times X}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X}$

ここで、右辺は線束によるねじれに対する射影束の不変性である。iに射影を当てはめると、次の写像が得られる: ^[5]${\displaystyle \simeq }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Vの基底軌跡が空でない場合、直和を基底軌跡を定義するイデアル層に置き換え、X を（スキーム理論的な）基底軌跡Bに沿ったその膨張に置き換えても、上記の議論は成立します。正確には、上記のように、 Bのイデアル層である射影が存在し、そこから次の式が得られます 。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.}$

の開集合なので、写像は次のようになる。 ${\displaystyle X-B\simeq }$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$

${\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

最後に、 Vの基底が選択されると、上記の議論はより現実的になります (これは、Hartshorne の「代数幾何学」で使用されているスタイルです)。

代数多様体から射影空間への各射影は、多様体上の基底点のない線型系を決定します。このため、基底点のない線型系と射影空間への写像は、しばしば互換的に使用されます。

代数多様体の閉じた浸漬に対して、上の線型系のへ の引き戻しがあり、 ^[2]（158ページ） で定義される。${\displaystyle f:Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}$

に埋め込まれた射影多様体には、 から射影空間への写像を決定する自然な線型システムがあります。これにより、点は対応する点 に送られます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}$

• ブリル・ネーター理論
• レフシェッツ鉛筆
• 主要部分の束