ヒルベルトの無条件条件

数学において、ヒルベルトの零点定理（ドイツ語で「零点定理」、より正確には「零点位置定理」）は、幾何学と代数学の間の基本的な関係を確立する定理です。この関係は代数幾何学の基礎です。代数集合を代数的に閉じた体上の多項式環のイデアルに関連付けます。この関係は、ダヴィド・ヒルベルトによって発見されました。彼は、1893 年に不変量理論に関する 2 番目の主要な論文で零点定理を証明しました（1890 年の独創的な論文でヒルベルトの基底定理を証明した後）。

を体（有理数など）とし、をの代数的に閉じた体拡大（複素数など）とする。多項式環を考え、をこの環のイデアルとする。このイデアルによって定義される代数集合は、 のすべての-組から成り、のすべての-組に対してとなる。${\displaystyle k}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$。ヒルベルトの零点定理によれば、pが 内の多項式で代数集合 上で消える場合、つまり内のすべての に対して となるとき、となる自然数が存在する。^[1]${\displaystyle k[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle p^{r}}$${\displaystyle I}$

直ちに導かれる系は弱い零点定理である。すなわち、イデアルが1 を含むのは、 Iの多項式がK ⁿに共通の零点を持たない場合であり、その場合に限る。 の場合に特化すると、代数の基本定理の言い換えが直ちに得られる。すなわち、 の多項式Pがに根を持つのは、 deg P ≠ 0の場合であり、その場合に限る。このため、（弱い）零点定理は、多変数多項式に対する代数の基本定理の一般化と呼ばれている。^[2]弱い零点定理は、次のように定式化することもできる。I がの適切なイデアルである場合、 V( I ) は空にはなり得ない、すなわち、 kのすべての代数的に閉じた拡大において、イデアルのすべての多項式に共通の零点が存在する。これが定理の名前の由来であり、その完全版はラビノヴィッチのトリックを使って「弱い」形式から簡単に証明できる。代数的に閉じた体で共通の零点を考えるという仮定はここでは不可欠である。例えば、の真イデアル（X ² + 1）の元は、の共通の零点を持たない。${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle k=K=\mathbb {C} ,n=1}$${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle k[X_{1},\ldots,X_{n}],}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

代数幾何学で一般的な記法を用いると、零点定式化は次のようにも表される。

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

あらゆるイデアルJに対して成り立ちます。ここで、はJの根号を表し、 I( U ) は集合U上で消えるすべての多項式のイデアルです。 ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

このようにして、 をとると、K ⁿの代数集合との根基イデアルとの間に順序が逆転した全単射対応が得られます。実際、より一般的には、空間のサブセットと代数のサブセットの間にガロア接続があり、ここで「ザリスキー閉包」と「生成されたイデアルの根基」は閉包演算子です。 ${\displaystyle k=K}$${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

具体的な例として、点 を考えてみましょう。すると となります。より一般的には、 ${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

逆に、多項式環（ は代数的に閉じていることに注意）の任意の極大イデアルは、ある に対して の形になります。 ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$

別の例として、 K ⁿの代数的部分集合W は、(ザリスキ位相において)が素イデアルである場合に限り、既約である。 ${\displaystyle I(W)}$

この定理の証明は数多く知られています。最初のもののように、非構成的なものもあります。その他は、 1またはp ^{r を}イデアルの生成元の 線形結合として表現するアルゴリズムに基づく構成的なものです。

ザリスキの補題は、体k上の結合代数として有限生成される体であれば、それはkの有限体拡大である（つまり、ベクトル空間としても有限生成される）ことを主張している。

この補題を用いた証明の概要は次の通りである。^[3]

( k代数的に閉体)、IをAのイデアル、V をIの における共通零点とします。明らかに、です。 とします。すると、Aのある素イデアル に対して となります。と における極大イデアルとします。ザリスキの補題により、はkの有限拡大です。したがって、k は代数的に閉なので、はkです。を通る自然写像の下での の像を とします。したがって、 およびとなります。 ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$${\displaystyle k^{n}}$${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle A\to k}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$

次の弱形式の構成的証明は、最も古い証明の 1 つです (強形式は、同様に構成的であるRabinowitsch トリックから得られます)。

変数xと他の変数に依存する 2 つの多項式の結果は、他の変数の多項式であり、2 つの多項式によって生成されるイデアルにあり、次の特性を持ちます。多項式の 1 つがxに関してモニックである場合、結果のすべてのゼロ (他の変数のゼロ) は、2 つの多項式の共通のゼロに拡張できます。

証明は次のとおりです。

イデアルが主であり、 xに依存する非定数多項式pによって生成される場合、他の変数には任意の値を選択します。代数の基本定理は、この選択がpのゼロに拡張できることを主張しています。

複数の多項式の場合、変数の線形変換により、最初の変数xに関して単項であると仮定できます。次に、新しい変数を導入し、結果として生じる ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n},}$

${\displaystyle R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).}$

R がによって生成されるイデアル内にあるので、の単項式のR内の係数についても同じことが言えます。したがって、1 がこれらの係数によって生成されるイデアル内にある場合、それは によって生成されるイデアル内にもあります。一方、これらの係数が共通のゼロを持つ場合、このゼロは、結果の上記の性質によって の共通のゼロに拡張できます。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n}.}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}.}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$

これは変数の数に関する帰納法によって弱い零点定理を証明します。

グレブナー基底は、1973 年にブルーノ・ブッフベルガーによって導入されたアルゴリズムの概念です。現在では計算幾何学の基礎となっています。グレブナー基底は、イデアルのほとんどの特性を簡単に抽出できるイデアルの特殊な生成集合です。零点定理に関連するものは次のとおりです。

• イデアルに1 が含まれるのは、その簡約グレブナー基底（任意の単項式順序付けに対して）が1である場合に限ります。
• グレブナー基底の多項式の共通零点の数は、基底によって既約な単項式の数と強く関連しています。つまり、共通零点の数が無限であるのは、既約な単項式についても同じことが当てはまる場合のみです。2 つの数が有限である場合、既約な単項式の数は、重複度で数えた (代数的に閉じた体における) 零点の数に等しくなります。
• 辞書式単項式順序では、一変量多項式を反復的に解くことによって共通のゼロを計算できます(より優れたアルゴリズムがわかっているため、実際にはこの方法は使用されません)。
• 強い零点定理: pのべき乗がイデアルIに属するのは、 Iのpによる飽和がグレブナー基底1を生成する場合のみです。したがって、強い零点定理は飽和の定義からほぼ直ちに生じます。

零定理は、ヤコブソン環の理論の体系的な展開に包含される。ヤコブソン環とは、すべての根基イデアルが極大イデアルの交差となる環である。ザリスキの補題を前提とすると、零定理を証明することは、k が体であれば、すべての有限生成k代数 R (必ず の形になる) がヤコブソンであることを示すことに等しい。より一般的には、次の定理が成り立つ。 ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$

をヤコブソン環とする。 が有限生成R代数であれば、 はヤコブソン環である。 さらに、 が極大イデアルであれば、 は の極大イデアルであり、 はの有限拡大である。^[4]${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$${\textstyle R}$${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

他の一般化は、スキーム理論の用語で零定理を見ると、任意の体kと非零の有限生成k代数Rに対して、射はエタール局所的に切断を許容する（同等に、ある有限体拡大 に沿った基底変更後）と言っていることになる。この流れで、次の定理が成り立つ。 ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$${\textstyle L/k}$

局所的に有限表示のスキームの任意の忠実平坦射は、準切断を許容します。これは、局所的に有限表示の忠実平坦かつ局所的に準有限射が存在し、 に沿ったの基底変更が切断を許容するという意味です。 ^[5]さらに、が準コンパクト(それぞれ準コンパクトかつ準分離) である場合、 はアフィン (それぞれアフィンかつ準有限 )であると見なすことができ、 が滑らかな射影である場合、 はエタールであると見なすことができます。^[6]${\textstyle f:Y\to X}$ ${\textstyle g:X'\to X}$${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle X}$${\textstyle X'}$${\textstyle X'}$${\textstyle g}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$

セルジュ・ラングは、 Nullstellensatz を無限の数の生成元がある場合に拡張しました。

を無限基数とし、をその素部分体上の超越次数が よりも確実に大きい代数閉体とします。すると、任意の基数 の集合に対して、多項式環はNullstellensatz を満たします。つまり、任意のイデアルに対してが成り立ちます。^[7]${\textstyle \kappa }$${\textstyle K}$${\displaystyle \kappa }$${\textstyle S}$${\textstyle \kappa }$${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$${\textstyle J\subset A}$${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$

ヒルベルトの零点定理は、そのすべての変種において、ある多項式g が、例えばf ₁、...、f _kによって生成されるイデアルに属するか否かを主張します。強いバージョンではg = f ^r 、弱い形式ではg = 1です。これは、 g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _kとなる多項式g ₁、...、g _kが存在するか存在しないかを意味します。零点定理の通常の証明は、 g _iを計算する方法を与えないという意味で、構成的ではなく、非効率的です。

したがって、 g _i (および強形式の指数r )を計算する効果的な方法があるかどうか、またはそれらが存在しないことを証明する方法があるかどうかを尋ねるのは、むしろ自然な質問です。この問題を解決するには、 g _iの全次数の上限を提供すれば十分です。このような上限は、問題を通常の線型代数手法で解くことができる有限の線型方程式系に簡約します。このような上限は、有効な Nullstellensatzと呼ばれます。

関連する問題として、多項式がイデアルに属するかどうかをテストするイデアル メンバーシップ問題があります。この問題についても、 g _iの次数の上限によって解が与えられます。イデアル メンバーシップ問題の一般解は、少なくとも弱形式については、有効な Nullstellensatz を提供します。

1925 年、グレーテ・ヘルマンは、変数の数に対して二重指数関数的である理想メンバーシップ問題の上限を示しました。1982 年、マイヤーとマイヤーは、g _{i の}次数が少なくとも二重指数関数的である例を示し、理想メンバーシップ問題のすべての一般的な上限が変数の数に対して二重指数関数的であることを示しました。

当時の数学者の大半は、実効零点定理は少なくとも理想帰属と同じくらい難しいと想定していたため、二重指数関数よりも優れた境界を求める数学者はほとんどいなかった。しかし、1987年にW・デール・ブラウナウェルは、実効零点定理の上限が変数の数に対して単純に指数関数的であることを示した。^[8] ブラウナウェルの証明は、特性0にのみ有効な解析的手法に依存していたが、1年後、ヤノシュ・コラーは、任意の特性に対して有効な、わずかに優れた境界の純粋に代数的な証明を示した。

弱いNullstellensatzの場合、コラールの境界は次のようになる: ^[9]

f ₁ , ..., f _sをn ≥ 2変数の多項式とし、その総次数はd ₁ ≥ ... ≥ d _sとする。f 1 g ₁ + ... + f _s g _s = 1となる多項式g _iが存在する場合、それらは次_のように選択できる。

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

すべての次数が 2 より大きい場合、この境界は最適です。

dがf _iの次数の最大値である場合、この境界は次のように簡略化される。

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

M.ソンブラによる改善は^[10]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

関係する次数のうち少なくとも 2 つが 3 未満になると、彼の境界は Kollár の境界よりも向上します。

多項式の同次イデアルと射影空間の代数的部分集合との間の対応を定式化することができる。これは射影零点集合と呼ばれ、アフィン零点集合に類似している。そのためには、いくつかの表記法を導入する。同次イデアルを、 ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

は最大同次イデアルと呼ばれる（無関係イデアルも参照）。アフィンの場合と同様に、Rの部分集合と同次イデアルIに対して、 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

は、 Sの点のすべての同次座標に対してが成り立つことを意味します。これは、 fの同次成分もS上でゼロであり、したがって は同次イデアルであることを意味します。同様に、はS上で消える同次多項式fによって生成される同次イデアルです。さて、任意の同次イデアル に対して、通常の帰無定値により、次が成り立ちます。 ${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

そして、アフィンの場合と同様に、次の式が得られる: ^[11]

Rの真同次根基イデアルと の形の の部分集合の間には順序が逆転する一対一対応が存在する。この対応は次のように与えられる。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

零点定理は、複素n空間の点における正則関数の芽についても成り立ちます。正確には、各開部分集合に対して、 がU上の正則関数の環を表すとすると、は上の層になります。たとえば、原点における茎は、一意の因数分解領域であるノイザン局所環であることが示されます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

が正則関数で表される芽である場合、集合の同値類を と する。${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

ここで、2 つの部分集合は、 Uのある近傍が0 である場合に同等であるとみなされます。は代表の選択に依存しないことに注意してください。各イデアルについて、Iのある生成元に対して と表記します。これは明確に定義されています。つまり、 は生成元の選択に依存しません。 ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$${\displaystyle V_{0}(f)}$${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$${\displaystyle V_{0}(I)}$${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$

各部分集合について、 ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

がの理想であり、上で議論した意味で は であることは容易にわかります。${\displaystyle I_{0}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$${\displaystyle X\sim Y}$

解析的零点定理は次のように述べている: ^[12]各イデアルに対して、 ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

ここで、左辺はIの根号です。

• ステングルの肯定的な意見
• 差分ゼロ設定
• 組み合わせゼロ設定
• アルティン・テイトの補題
• 本当の過激派
• 制限された冪級数#テイト代数、ヒルベルトの零点定理の類似はテイト代数に対して成り立ちます。

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• アイゼンバッド、デイヴィッド（1999）。「代数幾何学に向けた可換代数」。数学の大学院テキスト。第150巻。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-94268-1。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
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