線型代数群

数学において、線型代数群は、多項式方程式によって定義される可逆行列群（行列乗算 の下で）の部分群です。例としては、の 関係によって定義される直交群 があります。 ここで、は の転置です。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$${\displaystyle M^{T}}$${\displaystyle M}$

多くのリー群は、実数体または複素数体上の線型代数群として見ることができます。(たとえば、すべてのコンパクト リー群は、R上の線型代数群(必然的にR異方性で簡約)と見なすことができ、単純リー群SL( n , R )などの多くの非コンパクト群も同様です。) 単純リー群は、1880 年代と 1890 年代にWilhelm KillingとÉlie Cartanによって分類されました。当時は、群の構造が多項式で定義できる、つまりこれらが代数群であるという事実は特に利用されていませんでした。代数群の理論の創始者には、Maurer、Chevalley、Kolchin  (1948) がいます。1950 年代には、Armand Borel が今日存在する代数群の理論の多くを構築しました。

この理論の最初の用途の 1 つは、シュヴァレー群を定義することでした。

正の整数 に対して、体 上の一般線型群は、すべての可逆行列から成り、 上の線型代数群である。これには以下の部分群が含まれる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle GL(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

それぞれ次の形式の行列からなる。

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$そして。${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$

群は単能線型代数群の一例であり、群はのボレル部分群と呼ばれる可解代数群の一例です。リー・コルチンの定理によれば、 の連結な可解部分群はいずれもに共役します。単能部分群はいずれも に共役できます。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle B}$${\displaystyle GL(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$

の別の代数的部分群は、行列式が 1 である行列の特殊線型群です。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$

群は乗法群と呼ばれ、通常は と表記されます。 -点の群は、体 の非ゼロ元の乗法群です。加法群は、その-点が の加法群と同型であり、行列群、たとえばの部分群として表現することもできます 。 ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$${\displaystyle k^{*}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

可換線型代数群のこれら 2 つの基本的な例である乗法群と加法群は、線型表現(代数群として)に関して非常に異なる動作をします。乗法群のすべての表現は、既約表現の直和です。 (その既約表現はすべて次元 1 を持ち、整数 の形式です。) 対照的に、加法群の唯一の既約表現は自明表現です。したがって、 のすべての表現(上記の 2 次元表現など) は、自明表現の反復拡張であり、直和ではありません (表現が自明でない限り)。線型代数群の構造理論は、以下で説明するように、これらの 2 つの基本群とそれらの一般化であるトーラス群と単能群に関して、任意の線型代数群を分析します。 ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$

代数的に閉体 kに対して、 k上の代数多様体 Xの構造の多くは、 k -有理点の集合X ( k )に符号化されており、これにより線型代数群の基本的な定義が可能になります。まず、抽象群GL ( n , k )からkへの関数が、n × n行列Aの要素と 1/det( A )の要素の多項式として表すことができる場合、その関数が正則であると定義します。ここで、 det は行列式です。次に、代数的に閉体k上の線型代数群Gは、 G ( k ) が正則関数のいくつかの集合の消滅によって定義されるような自然数nに対する抽象群GL ( n , k ) の部分群G ( k ) です。

任意の体kに対して、k上の代数多様体はk上のスキームの特殊なケースとして定義されます。その言語では、体k上の線型代数群G は、ある自然数nに対するk上のGL ( n )の滑らかな閉部分群スキームです。特に、Gはk上のGL ( n ) 上のいくつかの正則関数の集合の消滅によって定義され、これらの関数は、すべての可換k代数Rに対して、G ( R ) は抽象群GL ( n , R ) の部分群であるという性質を持つ必要があります。(したがって、 k上の代数群G は単なる抽象群G ( k ) ではなく、可換k代数Rに対する群G ( R )の族全体です。これが、点の関数によってスキームを記述する哲学です。)

どちらの言語でも、線型代数群の準同型という概念があります。たとえば、kが代数的に閉じている場合、G ⊂ GL ( m )からH ⊂ GL ( n ) への準同型は、 G上の正則関数によって定義される抽象群G ( k ) → H ( k )の準同型です。これにより、 k上の線型代数群がカテゴリになります。特に、これは 2 つの線型代数群が同型であるという意味を定義します。

スキームの言語では、体k上の線型代数群Gは特にk上の群スキームであり、 k上のスキームとk点1∈G ( k ) および射

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

は、群の乗法と逆写像に関する通常の公理 (結合性、恒等性、逆写像) を満たすk上の線形代数群である。線形代数群は、 k上で滑らかで有限型でもあり、アフィン(スキームとして) である。逆に、体k上の有限型の任意のアフィン群スキームG は、あるnに対してk上のGL ( n )への忠実な表現を持つ。^{[1]一例として、前述のように、加法群}G _aをGL (2)に埋め込むことがあげられる。結果として、線形代数群は、行列群として考えることも、より抽象的に体上の滑らかなアフィン群スキームとして考えることもできる (一部の著者は、「線形代数群」を体上の有限型の任意のアフィン群スキームの意味で使用している)。

線型代数群を完全に理解するには、より一般的な（滑らかでない）群スキームを考慮する必要があります。たとえば、k を特性 p > 0の代数的に閉じた体とします。すると、 x ↦ x ^pによって定義される準同型f : G _m → G _mは抽象群k * → k *の同型を誘導しますが、f は代数群の同型ではありません（x ^{1/ p}は正則関数ではないため）。群スキームの言語では、 fが同型でない理由がより明確です。 f は射影的ですが、非自明な核、つまりp乗根の 1の群スキーム μ _pを持ちます。この問題は特性 0 では発生しません。実際、特性 0 の体k上の有限型の群スキームはすべてk上で滑らかです。^{[2]任意の体}k上の有限型の群スキームがk上で滑らかであるための必要十分条件は、それが幾何学的に簡約される場合、つまり基底変換が簡約される場合である。ここで、はkの代数的閉包である。^[3] ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

アフィンスキームXはその正則関数の環 O ( X )によって決定されるので、体k上のアフィン群スキームGは、ホップ代数の構造を持つ環O ( G ) によって決定される（ G上の乗法と逆写像から来る）。これにより、 k上のアフィン群スキームとk上の可換ホップ代数の間にカテゴリ（矢印の反転）の同値性が与えられる。たとえば、乗法群G _m = GL (1)に対応するホップ代数は、ローラン多項式環k [ x , x ⁻¹ ]であり、共乗法は次のように与えられる。

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

体k上の線型代数群Gに対して、単位元G ^o（点1を含む連結成分）は有限指数の正規部分群である。したがって、群の拡大が存在する。

${\displaystyle 1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,}$

ここで、F は有限代数群です。( k が代数的に閉じている場合、F は抽象有限群と同一視できます。) このため、代数群の研究は主に連結群に焦点を当てています。

抽象群論のさまざまな概念を線型代数群に拡張できます。線型代数群が可換、冪零、または可解であるとはどういうことかは、抽象群論の定義からの類推によって簡単に定義できます。たとえば、線型代数群が可解であるとは、商群が可換であるような線型代数部分群の合成級数を持つ場合です。また、線型代数群Gの閉部分群Hの正規化子、中心、および中心化子は、自然にGの閉部分群スキームと見なすことができます。これらがk上で滑らかであれば、上で定義した線型代数群です。

体k上の連結な線型代数群Gの性質が抽象群G ( k ) によってどの程度決定されるか、という疑問が生じるかもしれない。この方向での有用な結果は、体kが完全体(たとえば、特性が 0 の体) であるか、またはGが簡約的 (以下に定義) である場合、 G はk上で有理数である、というものである。したがって、さらにkが無限大である場合、群G ( k ) はGにおいてザリスキ稠密である。^[4]たとえば、前述の仮定の下では、G ( k ) が対応する性質を持つ場合のみ、Gは可換、冪零、または可解である。

これらの結果では連結性の仮定を省略することはできない。例えば、G を有理数Q上の 1 の 3 乗根の群 μ ₃ ⊂ GL (1) とする。すると、G はQ上の線型代数群であり、G ( Q ) = 1 はGにおいてザリスキ稠密ではない。なぜなら、 Gは位数 3 の群だからである。 ${\displaystyle G({\overline {\mathbf {Q} }})}$

代数的に閉じた体上では、代数群が代数多様体であるというより強い結果が得られる。つまり、代数的に閉じた体上の連結な線型代数群はすべて有理多様体である。^[5]

代数群Gのリー代数は、 いくつかの同値な方法で定義できる。単位元 1 ∈ G ( k ) における接空間T ₁ ( G ) として、または左不変微分空間として定義できる。kが代数的に閉じている場合、 Gの座標環のk上の微分D : O ( G ) → O ( G )は、次の条件を満たす場合、左不変である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

G ( k )の任意のxに対して、 λ _x : O ( G ) → O ( G ) はxの左乗算によって誘導されます。任意の体kに対して、微分法の左不変性は、2つの線型写像O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G )の類似の等式として定義されます。^{[6] 2つの微分法のリー括弧は [} D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁で定義されます。

Gからへの移行は、したがって微分化のプロセスです。元x ∈ G ( k ) に対して、共役写像G → G、g ↦ xgx ^{−1の 1 ∈} G ( k )における導関数はの自己同型であり、随伴表現 を与えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

特性ゼロの体上では、線型代数群Gの連結部分群Hはそのリー代数によって一意に決定される。^{[7]しかし、} C上のトーラスG = ( G _m ) ²の例に見られるように、のすべてのリー部分代数がGの代数部分群に対応するわけではない。正の特性では、同じリー代数を持つ群Gの多くの異なる連結部分群が存在する可能性がある（この場合も、トーラスG = ( G _m ) ²が例となる）。これらの理由から、代数群のリー代数は重要であるが、代数群の構造理論にはより大域的なツールが必要である。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

代数的に閉じた体kについて、 GL ( n , k )の行列gは、対角化可能である場合は半単純、行列g − 1が冪零である場合は単零と呼ばれます。同様に、gのすべての固有値が 1 に等しい場合、 gは単零です。行列のジョルダン標準形は、 GL ( n , k )のすべての要素gが、 g _ssが半単純、g _uが単零、g _ssとg _{u が}互いに 可換であるような積g = g _{ss g} uとして一意に表せることを意味_します。

任意の体kについて、 GL ( n , k )の元g は、 kの代数閉包上で対角化可能になるとき半単純であるといわれる。体k が完全であれば、 gの半単純部分と単零部分もGL ( n , k )に含まれる。最後に、体k上の任意の線型代数群G ⊂ GL ( n ) について、Gのk点がGL ( n , k )上で半単純または単零である場合、その k 点を半単純または単零であると定義する。(これらの特性は、実際にはGの忠実な表現の選択とは無関係である。)体kが完全であれば、 Gのk点の半単純部分と単零部分は自動的にGに含まれる。すなわち（ジョルダン分解）： G ( k )のあらゆる元gは、 G ( k )の積g = g _ss g _uとして一意に表すことができ、 g _ssは半単純、g _uは単能、g _ssとg _uは互いに可換である。^{[8]これにより、} G ( k )の共役類を記述する問題が、半単純と単能の場合に縮小される。

代数的に閉体k上のトーラスとは、ある自然数nに対して、k上の乗法群のn個のコピーの積である ( G _m ) ⁿに同型な群のことである。線型代数群Gの場合、G内の最大トーラスとは、それより大きなトーラスに含まれないG内のトーラスのことである。たとえば、k上のGL ( n )内の対角行列の群は、 GL ( n )内の最大トーラスであり、 ( G _m ) ⁿに同型である。理論の基本的な結果は、代数的に閉体k上の群G内の任意の 2 つの最大トーラスは、 G ( k )の何らかの元と共役である、ということである。 ^[9] Gのランクは、任意の最大トーラスの次元を意味する。

任意の体kに対して、k上のトーラス Tとは、ある自然数nに対して、 kの代数閉包への基底変換が k上の ( G _m ) ⁿに同型であるようなk上の線型代数群のことである。k上の分割トーラスとは、あるnに対して、 k上の( G _m ) ⁿに同型な群のことである。実数R上の非分割トーラスの例は以下の通りである。 ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

群構造は複素数x + iyの乗算公式で与えられます。ここでT はR上の次元 1 のトーラスです。実数群T ( R ) は円群であり、抽象群としてもG _m ( R ) = R * と同型ではないため、分割されません。

体k上のトーラスのすべての点は半単純である。逆に、Gが連結線型代数群でそのすべての元が半単純である場合、Gはトーラスである。^[10]${\displaystyle G({\overline {k}})}$

一般体k上の線型代数群Gについて、 k上のGのすべての極大トーラスがG ( k )の元と共役であるとは期待できない。たとえば、上記の乗法群G _mと円群T は両方ともR上のSL (2)の最大トーラスとして現れる。しかし、k上のGの任意の 2 つの極大分割トーラス(つまり、より大きな分割トーラスに含まれないGの分割トーラス) は、 G ( k )の何らかの元と共役であるということは常に真である。^[11]結果として、k上の群Gのkランクまたは分割ランクをk上のGの任意の極大分割トーラスの次元として定義することは理にかなっている。

体k上の線型代数群Gの任意の極大トーラスTに対して、グロタンディークは、が体k上の極大トーラスであることを示した。[12]従って、体k上のGの任意の²つの極大トーラスは同じ次元を持つが、同型である必要はない。 ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

U _{n を、}体k上の、対角要素が 1 であるGL ( n ) の上三角行列の群とします。体k上の群スキーム(たとえば、線型代数群)は、あるnに対してU _nの閉じた部分群スキームと同型である場合に、単能であると呼ばれます。群U _nが冪零であることは簡単に確認できます。結果として、すべての単能群スキームは冪零です。

体k上の線型代数群Gが単元的であるための必要十分条件は、そのすべての元が単元的であるときである。^[13]${\displaystyle G({\overline {k}})}$

GL ( n )の上三角行列の群Bn_は半直積である。

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

ここでT _{n は}対角トーラス( G _m ) ⁿである。より一般的には、連結な可解な線型代数群はすべてトーラスと単能群T ⋉ Uの半直積である。^[14]

完全体k（例えば代数的に閉じた体）上の滑らかに連結した単元群は、すべて_の商群が加法群Gaと同型である合成級数を持つ。^[15]

ボレル部分群は、線型代数群の構造理論にとって重要です。代数的に閉じた体k上の線型代数群Gの場合、 Gのボレル部分群は、最大滑らかに接続された可解な部分群を意味します。たとえば、GL ( n ) の 1 つのボレル部分群は、上三角行列の部分群Bです(対角線の下の要素はすべて 0 です)。

理論の基本的な結果は、代数的に閉体k上の連結群Gの任意の 2 つのボレル部分群は、 G ( k )の何らかの元によって共役である、ということである。 ^[16]（標準的な証明では、ボレルの不動点定理を使用する。代数的に閉体k上の真多様体Xに作用する連結な可解群Gに対して、 Gの作用によって固定されるXのk点が存在する。） GL ( n )のボレル部分群の共役性は、リー・コルチンの定理に相当する。 GL ( n )のすべての滑らかに連結な可解部分群は、GL ( n )の上三角部分群の部分群と共役である。

任意の体kに対して、 Gのボレル部分群B は、kの代数閉包上で のボレル部分群となるようなk上の部分群として定義されます。したがって、G はk上のボレル部分群を持つことも持たないこともあります。 ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle B_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Gの閉じた部分群スキームHに対して、商空間G / Hはk上の滑らかな準射影スキームである。^[17]連結群Gの滑らかな部分群P は、 G / P がk上射影的（または同値で、 k上真）である場合に放物型と呼ばれる。ボレル部分群Bの重要な性質は、 G / B がGの旗多様体と呼ばれる射影多様体であるということである。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より正確には、k が代数的に閉じている場合、ボレル部分群はGの極小放物型部分群とまったく同じである。逆に、ボレル部分群を含むすべての部分群は放物型である。^{[18]したがって、固定されたボレル部分群を含む}Gのすべての線型代数部分群をリストすることによって、 Gのすべての放物型部分群（ G ( k )による共役まで）をリストすることができる。例えば、上三角行列のボレル部分群Bを含むk上の部分群P⊂GL (3)は、 B自身、全体群GL (3)、および中間部分群 である。

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$そして${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

対応する射影同次多様体 GL (3)/ Pは（それぞれ）すべての線型部分空間の鎖の 旗多様体である。

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

ここで、i次元のV _i​​ 、点、A ³内の直線（1次元線型部分空間）の射影空間P ^{2 、および}A ³内の平面の双対射影空間P ²である。

代数的に閉体上の連結線型代数群Gは、 Gのすべての滑らかに連結した可解な正規部分群が自明であるとき、半単純と呼ばれます。より一般的には、代数的に閉体上の連結線型代数群 G は、G のすべての滑らかに連結したユニポレントな正規部分群が自明であるとき、簡約と呼ばれます。[ 19 ] ⁽著者によっては、簡約群が連結されていることを要求しない人もいます。) 半単純群は簡約です。任意の体k上の群Gは、が半単純または簡約である場合に、半単純または簡約と呼ばれます。たとえば、任意の体k上の行列式 1 を持つn × n行列の群SL ( n ) は半単純ですが、非自明なトーラスは簡約ですが半単純ではありません。同様に、GL ( n ) は簡約ですが半単純ではありません (その中心G _mが非自明な滑らかに連結した可解な正規部分群であるため)。 ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

すべてのコンパクト連結リー群は複素化を持ち、これは複素簡約代数群である。実際、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の間に同型性まで1対1の対応を与える。^[20]

体k上の線型代数群Gは、半単純、非自明であり、k上のGのすべての滑らかに接続された正規部分群が自明であるかGに等しい場合、単純(またはk -単純) と呼ばれます。^[21] (一部の著者は、この特性を「ほぼ単純」と呼んでいます。) これは、単純代数群が非自明な中心を持つ可能性があるという点で、抽象群の用語とは少し異なります (ただし、中心は有限である必要があります)。たとえば、少なくとも 2 の任意の整数nと任意の体kに対して、 k上の群SL ( n ) は単純であり、その中心は n 乗の 1 乗根の群スキームμ n_です。

完全体k上のすべての連結線型代数群Gは、（一意に）滑らかな連結ユニポテント群Uによる簡約群Rの拡張であり、これをGのユニポテント根基と呼びます。

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

kが特性0を持つ場合、より正確なレヴィ分解が得られる。すなわち、 k上の連結な線型代数群Gはすべて、簡約群と単能群の半直積となる。 ^[22]${\displaystyle R\ltimes U}$

簡約群には、古典群GL ( n )、SL ( n )、直交群 SO ( n )、シンプレクティック群 Sp (2 n ) など、実際に最も重要な線型代数群が含まれます。一方、簡約群の定義は「否定的」であり、それらについて多くを語れるかどうかは明らかではありません。注目すべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的に閉じた体上の簡約群の完全な分類を与えました。それらは根データによって決定されます。^[23]特に、代数的に閉じた体k上の単純群は、（有限中心部分群スキームによる商まで）それらのディンキン図によって分類されます。この分類がkの特性に依存しないことは驚くべきことです。たとえば、例外的なリー群 G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、およびE _{8は、任意の特性で定義できます（} Z上のグループスキームとしても）。有限単純群の分類によれば、ほとんどの有限単純群は有限体k上の単純代数群のk点の群として、またはその構成の小さな変形として生じます。

体上のあらゆる簡約群は、トーラスといくつかの単純群の積を有限中心部分群スキームで割ったものである。例えば、

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

任意の体kに対して、簡約群Gがk上の分割最大トーラス(つまり、kの代数閉包上で最大のままであるGの分割トーラス) を含む場合、その簡約群 G は分割と呼ばれます。たとえば、GL ( n ) は任意の体k上の分割簡約群です。Chevalley は、分割簡約群の分類は任意の体上で同じであることを示しました。対照的に、任意の簡約群の分類は、基底体によっては難しい場合があります。たとえば、体k上のすべての非退化二次形式q は簡約群SO ( q ) を決定し、k上のすべての中心単純代数A は簡約群SL ₁ ( A ) を決定します。結果として、k上の簡約群を分類する問題には、本質的に、 k上のすべての二次形式またはk上のすべての中心単純代数を分類する問題が含まれます。これらの問題は、 k が代数的に閉じている場合は簡単であり、数体などの他のいくつかの体の場合は理解されていますが、任意の体の場合は未解決の問題が多数あります。

簡約群の重要性の1つの理由は表現論から来ている。単能群の既約表現はすべて自明である。より一般的には、拡大として書かれた 任意の線型代数群Gに対して

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1}$

Uが単零でRが簡約なとき、R を通るG因子のすべての既約表現。^[24]これは、簡約群の表現論に注目を集める。（明確にするために、ここで検討されている表現は、代数群としてのGの表現である。したがって、体k上の群Gに対して、表現はkベクトル空間上にあり、 Gの作用は正則関数によって与えられる。実簡約群Gに対する群G ( R )の連続表現を分類すること、または他の体上の同様の問題は、重要だが別の問題である。）

シュヴァレーは、体k上の分割簡約群の既約表現は有限次元であり、支配的な重みによってインデックス付けされることを示した。^{[25]これは、コンパクト連結リー群の表現論、または複素}半単純リー代数の有限次元表現論で起こることと同じである。特性 0 のkに対して、これらすべての理論は本質的に同値である。特に、特性 0 の体上の簡約群Gのすべての表現は既約表現の直和であり、Gが分割されている場合、既約表現の指標はワイル指標公式によって与えられる。ボレル–ワイルの定理は、特性 0 の簡約群Gの既約表現の、旗多様体G / B上の直線束の切断の空間としての幾何学的構成を与える。

正の標数pの体上の簡約群 (トーラス以外) の表現論は、あまりよく理解されていません。この状況では、表現は既約表現の直和である必要はありません。また、既約表現は支配的な重みによってインデックス付けされますが、既約表現の次元と特性は一部の場合にのみ知られています。Andersen、Jantzen、および Soergel (1994) は、標数pが群のCoxeter 数と比較して十分に大きい場合に、これらの特性を決定しました ( Lusztigの予想を証明) 。小さな素数pについては、正確な予想さえありません。

体k上の多様体（またはスキーム）Xへの線型代数群Gの作用は射である。

${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

群作用の公理を満たす。他の種類の群論と同様に、群は幾何学的オブジェクトの対称性として自然に発生するため、群作用を研究することは重要です。

群作用の理論の一部に幾何不変量理論があり、これは商多様体X / Gを構築し、代数多様体としてX上の線型代数群Gの軌道の集合を記述することを目的としています。さまざまな複雑さが生じます。たとえば、X がアフィン多様体である場合、不変量環O ( X ) ^GのSpecとしてX / Gを構築しようとすることができます。しかし、永田正義は、不変量環はk代数として有限生成である必要はないことを示し（したがって、環の Spec はスキームではあるが多様体ではない）、ヒルベルトの第 14 の問題に対する否定的な回答を示しました。肯定的な方向では、ハブーシュの定理により、 Gが簡約である場合、不変量環は有限生成であり、これはヒルベルトと永田 によって標数 0 で証明されました。

幾何不変理論では、簡約群G が射影多様体Xに作用する場合に、さらに微妙な問題が生じます。特に、この理論では、Xの「安定」点と「半安定」点の開集合を定義し、商射は半安定点の集合上でのみ定義されます。

線型代数群は複数の方向への変種を許容する。逆写像の存在を放棄すると、線型代数モノイドの概念が得られる。^[26]${\displaystyle i\colon G\to G}$

実数R上の線型代数群Gの場合、実数点の群G ( R ) はリー群です。これは、 G上の乗算を記述する実多項式が滑らかな関数であるためです。同様に、 C上の線型代数群Gの場合、G ( C ) は複素リー群です。代数群の理論の多くは、リー群との類推によって展開されました。

リー群がR上の線型代数群の構造を持たない理由はいくつかあります。

• 無限の成分群 G/G ^oを持つリー群は、線型代数群として実現することはできません。
• R上の代数群G は代数群として連結である可能性があるが、リー群G ( R ) は連結ではない。単連結群についても同様である。たとえば、代数群SL (2) は任意の体上で単連結であるが、リー群SL (2, R )は整数Zと同型の基本群を持つ。SL (2, R )の二重被覆Hはメタプレクティック群として知られ、 R上の線型代数群として見ることができないリー群である。さらに強いことに、Hには忠実な有限次元表現がない。
• アナトリー・マルツェフは、すべての単連結な冪零リー群は一意にR上の単零代数群Gとして見ることができることを示した。 ^[27]（多様体として、G はR上のある次元のアフィン空間に同型である。）対照的に、実代数群として見ることができない単連結な可解リー群が存在する。例えば、半直積S ¹ ⋉ R ^2の普遍被覆H は、線型代数群ではないZと中心が同型であり、したがってH をR上の線型代数群として見ることはできない。

アフィンでない代数群は、非常に異なった振る舞いをする。特に、体上の射影多様体である滑らかな連結群スキームは、アーベル多様体と呼ばれる。線型代数群とは対照的に、すべてのアーベル多様体は可換である。それにもかかわらず、アーベル多様体は豊富な理論を持っている。楕円曲線（次元 1 のアーベル多様体）の場合でさえ、数論の中心であり、フェルマーの最終定理の証明などの応用がある。

代数群Gの有限次元表現は、表現のテンソル積とともに、タンナキアンカテゴリRep _Gを形成する。実際、体上の「ファイバー関数」を持つタンナキアンカテゴリは、アフィン群スキームと同値である。（体k上のすべてのアフィン群スキームは、 k上の有限型のアフィン群スキームの逆極限であるという意味で、代数的である。^[28]）たとえば、マンフォード-テイト群とモティヴィックガロア群は、この形式論を使用して構築される。（代数的）群Gの特定の特性はその表現のカテゴリから読み取ることができる。たとえば、特性ゼロの体上で、 Rep _Gが半単純カテゴリであるためには、 Gの恒等成分が代簡約的である必要がある。^[29]

• リー型群は有限体上の単純代数群から構成される有限単純群です。
• ラングの定理
• 一般化旗多様体、ブルハ分解、BN 対、ワイル群、カルタン部分群、随伴型群、放物型帰納法
• 実数形（リー理論）、佐竹図
• アデル代数群、玉川数に関するヴェイユ予想
• ラングランズ分類、ラングランズ計画、幾何学的ラングランズ計画
• トルソル、非可換コホモロジー、特殊群、コホモロジー不変量、本質次元、クネザー・ティッツ予想、セール予想 II
• 擬似還元群
• 微分ガロア理論
• 線型代数群上の分布

• Andersen, HH ; Jantzen, JC ; Soergel, W. (1994)、p番目の単位根における量子群の表現と特性pにおける半単純群の表現: pの独立性、アスタリスク、vol. 220、フランス数学協会、ISSN  0303-1179、MR  1272539
• ボレル、アルマン（1991）[1969]、線形代数群（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-97370-2、MR  1102012
• ブロッカー、テオドール。トム・ディーク、タンモ (1985)、コンパクト・リー群の表現、シュプリンガー・ネイチャー、ISBN 0-387-13678-9、MR  0781344
• Conrad、Brian (2014)、「還元グループ スキーム」(PDF)、Autour des schémas en groupes、vol. 1、パリ: Société Mathématique de France、pp. 93–444、ISBN 978-2-85629-794-0、MR  3309122
• ピエール・ドリーニュ、JS・ミルン（1982）「タンナキアン・カテゴリ」、ホッジ・サイクル、モチーフ、志村多様体、数学講義ノート、第900巻、シュプリンガー・ネイチャー、pp. 101–228、ISBN 3-540-11174-3、MR  0654325
• De Medts, Tom (2019)、線形代数群（コースノート）（PDF）、ゲント大学
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1975)、線形代数群、Springer、ISBN 0-387-90108-6、MR  0396773
• Kolchin, ER (1948)、「代数行列群と同次線型常微分方程式のピカール・ベシオ理論」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、49 (1): 1–42、doi :10.2307/1969111、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969111、MR  0024884
• ミルン、JS (2017)、代数群：体上の有限型の群スキームの理論、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-1107167483、MR  3729270
• Springer, Tonny A. (1998) [1981],線形代数群(第2版)、ニューヨーク: Birkhäuser、ISBN 0-8176-4021-5、MR  1642713

• 「線形代数群」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]