セグレ埋め込み

数学において、セグレ埋め込みは射影幾何学において、2つの射影空間の（集合の）直積を射影多様体として考えるために使用されます。これはコラード・セグレにちなんで名付けられました。

セグレ地図は次のように定義される。

${\displaystyle \sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

彼らの製品に 2つのポイントを取る${\displaystyle ([X],[Y])\in P^{n}\times P^{m}}$

${\displaystyle \sigma :([X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}],[Y_{0}:Y_{1}:\cdots :Y_{m}])\mapsto [X_{0}Y_{0}:X_{0}Y_{1}:\cdots :X_{i}Y_{j}:\cdots :X_{n}Y_{m}]\ }$

（X _i Y _{j は}辞書順に並べられます）。

ここで、およびは任意の体上の射影ベクトル空間であり、表記は ${\displaystyle P^{n}}$${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]\ }$

は空間上の同次座標の写像です。写像の像はセグレ多様体と呼ばれる多様体です。 と書かれることもあります。 ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$

線型代数の言語では、同じ体K上のベクトル空間 UとVが与えられている場合、それらの直積をテンソル積にマッピングする自然な方法があります。

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

一般に、これは単射である必要はない。なぜなら、、および任意の非ゼロのに対して、 ${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle c\in K}$

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

基底射影空間P ( U )とP ( V )を考慮すると、この写像は多様体の射影となる。

${\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

これは集合論的な意味で単射であるだけでなく、代数幾何学の意味で閉じた浸漬です。つまり、画像に対して方程式のセットを与えることができます。表記上の問題を除けば、そのような方程式が何であるかを言うのは簡単です。それらは、U から何かを V から何かを掛けるという2 つの異なる方法で得られたテンソル積から座標の積を因数分解する 2 つの方法を表します。

この写像または射影σはセグレ埋め込みである。次元を数えると、次元mとnの射影空間の積が次元 に埋め込まれる 様子がわかる。

${\displaystyle (m+1)(n+1)-1=mn+m+n.\ }$

古典的な用語では、積上の座標を多重同次空間と呼び、k因子k 方向射影空間に一般化された積と呼びます。

セグレ多様体は行列式多様体の一例であり、行列の2×2小行列式の零点である。つまり、セグレ多様体は2次多項式の共通零点である。${\displaystyle (Z_{i,j})}$

${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}-Z_{i,l}Z_{k,j}.\ }$

ここで、はセグレ地図の画像上の自然座標であると理解されます。 ${\displaystyle Z_{i,j}}$

セグレ多様体はとの圏積である。^[1] 射影 ${\displaystyle \Sigma _{n,m}}$${\displaystyle P^{n}\ }$${\displaystyle P^{m}}$

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

最初の因数への写像は、セグレ多様体を覆う開部分集合上の m+1 個の写像によって指定することができ、これらの写像は部分集合の共通部分で一致します。 を固定した場合、写像はを に送ることで与えられます。が成り立つ場合、方程式はこれらの写像が互いに一致することを保証します。 ${\displaystyle j_{0}}$${\displaystyle [Z_{i,j}]}$${\displaystyle [Z_{i,j_{0}}]}$${\displaystyle Z_{i,j}Z_{k,l}=Z_{i,l}Z_{k,j}\ }$${\displaystyle Z_{i_{0},j_{0}}\neq 0}$${\displaystyle [Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{0}}Z_{i,j_{1}}]=[Z_{i_{0},j_{1}}Z_{i,j_{0}}]=[Z_{i,j_{0}}]}$

積のファイバーは線形部分空間である。つまり、

${\displaystyle \pi _{X}:\Sigma _{n,m}\to P^{n}\ }$

を第１因子への投影とし、第２因子についても同様とする。すると、地図の画像は ${\displaystyle \pi _{Y}}$

${\displaystyle \sigma (\pi _{X}(\cdot ),\pi _{Y}(p)):\Sigma _{n,m}\to P^{(n+1)(m+1)-1}\ }$

不動点p は余域の線型部分空間です。

例えば、m = n = 1 のとき、射影直線の積をP ³に埋め込むことができます。この像は2次曲面であり、2つの1パラメータ直線族を含むことが簡単にわかります。複素数上では、これは非常に一般的な非特異2次曲面です。

${\displaystyle [Z_{0}:Z_{1}:Z_{2}:Z_{3}]\ }$

P ³上の同次座標をとれば、この二次曲面は行列式によって与えられる二次多項式の零点として与えられる。

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}Z_{0}&Z_{1}\\Z_{2}&Z_{3}\end{matrix}}\right)=Z_{0}Z_{3}-Z_{1}Z_{2}.\ }$

地図

${\displaystyle \sigma :P^{2}\times P^{1}\to P^{5}}$

はセグレ三重多様体として知られています。これは有理正規スクロールの一例です。セグレ三重多様体と三次元平面の交差はねじれた三次曲線です。 ${\displaystyle P^{3}}$

セグレ写像の下の対角線の像は、2次の ヴェロネーゼ多様体である。${\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}$

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

セグレ写像は射影空間のカテゴリカル積への写像であるため、量子力学と量子情報理論における非エンタングルメント状態を記述するための自然な写像である。より正確には、セグレ写像は射影ヒルベルト空間の積の取り方を記述する。^[2]

代数統計では、セグレ多様体は独立モデルに対応します。

P ⁸へのP ² × P ²のセグレ埋め込みは、次元 4 の 唯一のセベリ多様体です。

• ハリス、ジョー（1995）、代数幾何学：初級、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-97716-4
• ハセット、ブレンダン（2007）、代数幾何学入門、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、p. 154、doi：10.1017/CBO9780511755224、ISBN 978-0-521-69141-3、MR  2324354