チャウチャウ

数学、特に代数幾何学の分野において、チョウ多様体とは、与えられた射影空間上の固定された次元と次数の有効代数サイクルに対応する点を持つ代数多様体である。より正確には、チョウ多様体^[1]は、における次元と次数のすべての有効代数サイクルをパラメータ化する細かいモジュライ多様体である。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

チャウ多様体は、十分に大きな射影空間へのチャウ埋め込みを介して構成できます。グラスマン多様体はチャウ多様体の場合であるため、これは、プリュッカー埋め込みを介したグラスマン多様体の構成を直接一般化したものです。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$${\displaystyle d=1}$

チョウ多様体は、有理同値性まで多様体（必ずしも射影空間ではない）上のすべての代数的サイクルのアーベル群であるチョウ群とは異なります。どちらも、代数的サイクルの研究の先駆者である周煒良（ Wei-Liang Chow ）にちなんで名付けられました。

X がの次元の閉部分多様体である場合、 X の次数は、X と の一般的な^[2]次元射影部分空間^[3]との交点の数です。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle (nk)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

^{特定の退化した極限を除いて、部分多様体の族[4]}では次数は一定です。これを確認するには、tでパラメータ化された次の族を考えます。

${\displaystyle X_{t}:=V(x^{2}-tyz)\subset \mathbb {P}^{2}}$。

は、常に、円錐曲線（次数 2 の既約な部分多様体）ですが、直線（次数 1）に退化します。この問題を調整するにはいくつかの方法がありますが、最も単純なのは、代数サイクルの言語を使用して、 が重複度 2 の直線であると宣言することです（より一般的には、重複度を部分多様体に関連付けます）。 ${\displaystyle t\neq 0}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle X_{0}}$

次元代数サイクルは有限の形式的線形結合である。 ${\displaystyle (k-1)}$

${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$。

ここで、s はの- 次元既約閉部分多様体であり、s は整数である。代数的サイクルは、各 のときに有効である。代数的サイクルの次数は次のように定義される。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle m_{i}\geq 0}$

${\displaystyle \deg(X):=\sum _{i}m_{i}\deg(X_{i})}$。

n 変数の同次多項式または同次イデアルは、 における有効代数サイクルを定義します。このサイクルでは、各既約成分の重複度はその成分で消える順序です。 によって定義される代数サイクルの族では、サイクルは次数 2 の直線 の 2 倍です 。より一般的には、代数サイクルの次数は族内で一定であるため、次元と次数が固定された有効代数サイクルのモジュライ問題を検討することは理にかなっています。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle x^{2}-tyz}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=0}$

チャウチャウの品種には、特に単純な構造を持つ 3 つの特別なクラスがあります。

次元 k-1、次数 1の有効な代数的サイクルは、n 次元アフィン空間の k 次元部分空間の射影化である。これにより、グラスマン多様体への同型が得られる。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,1,n)\simeq \operatorname {Gr} (k,n)}$

後者の空間には、プルッカー座標によって与えられる独特の同次座標系があります。

次元 0、次数 d のにおける有効な代数的サイクルは、 における点の (順序付けられていない) d 組であり、重複する可能性もあります。これはの対称べき乗に同型性を与えます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (1,d,n)\simeq \operatorname {Sym} _{d}\mathbb {P} ^{n-1}}$。

次元が1 ^[5] 、次数がdの有効代数的サイクルは、n変数の次数dの多項式が1つ消えることで定義でき、この多項式は再スケーリングを除いて一意である。n変数の次数dの多項式のベクトル空間を とすると、これは射影空間への同型を与える。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle V_{d,n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-1,d,n)\simeq \mathbb {P} V_{d,n}}$。

後者の空間には、固定された単項式の係数に多項式を送る、 同次座標の独特なシステムがあることに注意してください。

チャウ多様体は、の次元 1、次数 2 のサイクルをパラメータ化します。このチャウ多様体には 2 つの既約成分があります。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

これら 2 つの 8 次元成分は、共平面の直線対のモジュライで交差し、これが の特異点となります。これは、上記の特殊なケースとは対照的に、Chow 多様体は必ずしも滑らかであったり既約である必要がないことを示しています。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,2,4)}$

X を次元 k-1、次数 d の の既約部分多様体とします。次数の定義により、 の次元射影部分空間のほとんどはX と d 個の点で交差します。対照的に、 の次元射影部分空間のほとんどはX でまったく交差しません。これは次のように明確化できます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle (nk)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle (nk-1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

補題^[6] Xと非自明に交差する部分空間をパラメータ化する集合は、次数^[7] dの既約超曲面である。 ${\displaystyle Z(X)\subset \operatorname {Gr} (nk,n)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

その結果、 が 上で正確に消える d 次形式 [8] が存在し、この^形式 はスケーリングを除いて一意です。 この構成は、と宣言することで代数的サイクルに拡張できます。 各 d 次代数的サイクルに、スケーリングを除いて明確に定義されている X のChow 形式と呼ばれるd 次形式がに関連付けられます。 ${\displaystyle R_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$${\displaystyle Z(X)}$${\displaystyle X=\sum _{i}m_{i}X_{i}}$${\displaystyle R_{X}:=\prod _{i}R_{X_{i}}^{m_{i}}}$${\displaystyle R_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (nk,n)}$

上の d 次形式のベクトル空間を と表します。 ${\displaystyle V_{k,d,n}}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)}$

チョウ・ファン・デル・ワールデン定理。^[9]送信する写像は多様体の閉じた埋め込みである。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)\hookrightarrow \mathbb {P} V_{k,d,n}}$${\displaystyle X\mapsto R_{X}}$

特に、有効な代数サイクル X はその Chow 形式によって決定されます。 ${\displaystyle R_{X}}$

の基底 が選択されている場合、この基底の の係数を に送ると、のChow 座標と呼ばれる、Chow 多様体 上の同次座標系が得られます。ただし、 の「最良」の基底に関するコンセンサスはないため、この用語はあいまいになる可能性があります。 ${\displaystyle V_{k,d,n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{k,d,n}}$

基礎的な観点から、上記の定理は通常 の定義として使用されます。つまり、Chow 多様体は通常 のサブ多様体として定義され、その場合にのみ、問題のモジュライ問題に対する良好なモジュライ空間であることが示されます。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$${\displaystyle \mathbb {P} V_{k,d,n}}$

退化した部分多様体の次数を「正しく」数えるという問題に対するより洗練された解決策は、部分多様体ではなく部分スキームを扱うことです。スキームは、多様体や代数サイクルでは追跡できない微小な情報を追跡できます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

たとえば、代数族内で多様体内の 2 つの点が互いに近づく場合、極限部分多様体は 1 つの点、極限代数サイクルは重複度 2 の点、極限部分スキームは 2 つの点が衝突した接線方向を含む「太い点」です。

ヒルベルトスキームは 、内部のk-1次元、d次の閉部分スキームの細かいモジュライスキームである。^[10]各閉部分スキームは有効な代数サイクルを決定し、誘導写像 ${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {Hilb} (k,d,n)\longrightarrow \operatorname {Gr} (k,d,n)}$。

はサイクル写像またはヒルベルト-チョウ写像と呼ばれます。この写像は一般に、次数 d の既約部分多様体に対応する の点上の同型ですが、単純でない代数サイクル上のファイバーの方が興味深い場合があります。 ${\displaystyle \operatorname {Gr} (k,d,n)}$

チャウ商は、一般的な軌道の閉包をパラメータ化します。これは、チャウ多様体の閉じた部分多様体として構築されます。

カプラノフの定理によれば、n 個のマークされた点を持つ安定な種数 0 の曲線のモジュライ空間は 、グラスマン多様体と標準最大トーラス の Chow 商になります。${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}}$${\displaystyle \operatorname {Gr} (2,\mathbb {C} ^{n})}$

• ピカール種
• GIT 指数

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