複素多様体

微分幾何学と複素幾何学において、複素多様体とは複素構造を持つ多様体であり、複素座標空間における開単位円板^[1]への地図帳であり、遷移写像が正則となるものである。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

「複素多様体」という用語は、上記の意味での複素多様体（積分可能な複素多様体として指定できる）またはほぼ複素多様体を意味するためにさまざまに使用されます。

正則関数は滑らかな関数よりもはるかに厳密であるため、滑らかな多様体と複素多様体の理論は非常に異なる特徴を持ちます。コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも 代数多様体に非常に近いです。

たとえば、ホイットニーの埋め込み定理によれば、すべての滑らかなn次元多様体はR ^{2 n}の滑らかな部分多様体として埋め込むことができますが、複素多様体がC ⁿへの正則埋め込みを持つことは「まれ」です。たとえば、任意のコンパクト連結複素多様体M を考えてみましょう。その上の任意の正則関数は、最大モジュラス原理により定数です。ここで、MのC ⁿへの正則埋め込みがあるとすると、 C ⁿの座標関数はM上の非定数正則関数に制限され、 M が単なる点である場合を除いて、コンパクト性と矛盾します。 C ⁿに埋め込むことができる複素多様体はシュタイン多様体と呼ばれ、たとえば滑らかな複素アフィン代数多様体を含む非常に特殊なクラスの多様体を形成します。

複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりもはるかに微妙です。たとえば、4 次元以外では、与えられた位相多様体は最大でも有限個の滑らかな構造を持ちますが、複素構造をサポートする位相多様体は、無数個の複素構造をサポートできますし、実際にサポートしていることも少なくありません。複素構造を備えた 2 次元多様体であるリーマン面は、種数によって位相的に分類され、この現象の重要な例です。与えられた有向面上の複素構造の集合は、双正則同値性を法として、それ自体がモジュライ空間と呼ばれる複素代数多様体を形成し、その構造は今でも活発に研究されている分野です。

チャート間の遷移写像は双正則写像であるため、複素多様体は特に滑らかで正準的に向きが付けられます（向き付け可能であるだけでなく、双正則写像は向きを保存するため、 C ⁿ（のサブセット）への双正則写像は向きを与えます）。

• リーマン面。
• カラビ・ヤウ多様体。
• 2 つの複素多様体の直積。
• 正則写像の任意の非臨界値の逆像。

滑らかな複素代数多様体は複素多様体であり、次のようなものが含まれます。

• 複素ベクトル空間。
• 複素射影空間、^[2] P ⁿ ( C )。
• 複素グラスマン多様体。
• GL( n , C )やSp( n , C )などの複素リー群。

単連結な1 次元複素多様体は、次のいずれかに同型です 。

• Δ、 Cの単位円
• C、複素平面
• Ĉ、リーマン球面

これらの間には Δ ⊆ C ⊆ Ĉのような包含関係があるが、リウヴィルの定理により、逆方向には非定数正則写像は存在しないことに 注意する。

次の空間は複素多様体としては異なり、複素多様体のより厳格な幾何学的特徴を示しています (滑らかな多様体と比較して)。

• 複素空間。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• ユニットディスクまたはオープンボール

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• ポリディスク

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

実2n次元多様体上のほぼ複素構造はGL( n , C )構造（ G構造の意味で）である。つまり、接バンドルは線型複素構造を備えている。

具体的には、これは平方が − Iである接線バンドルの自己準同型です。この自己準同型は虚数iによる乗算に類似しており、Jと表記されます（単位行列Iとの混同を避けるため）。概複素多様体は必然的に偶数次元です。

ほぼ複素構造は複素構造よりも弱い。つまり、任意の複素多様体はほぼ複素構造を持つが、すべてのほぼ複素構造が複素構造から派生するわけではない。すべての偶数次元の実多様体は、局所座標チャートから局所的に定義されたほぼ複素構造を持つ。問題は、このほぼ複素構造がグローバルに定義できるかどうかである。複素構造から派生したほぼ複素構造は積分可能と呼ばれ、ほぼ複素構造ではなく複素構造を指定したい場合は、積分可能な複素構造と言う。積分可能な複素構造の場合、いわゆるニージェンホイステンソルは消滅する。このテンソルは、ベクトル場X、Yのペア上で次のように 定義される。

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

例えば、6次元球面 S ^{6 は、}八元数の単位球面におけるiの直交補数であるという事実から生じる自然なほぼ複素構造を持ちますが、これは複素構造ではありません。(複素構造を持つかどうかという問題は、ハインツ・ホップにちなんでホップ問題として知られています。^[3] ) ほぼ複素構造を使用すると、正則写像を理解し、多様体上の正則座標の存在について尋ねることができます。正則座標の存在は、多様体が複素数であると言うことと同等です(これはチャート定義で言っていることです)。

接線バンドルを複素数でテンソル化すると、複素数化接線バンドルが得られ、これに対して複素数を掛け合わせることは意味をなします (実多様体から始めた場合でも)。ほぼ複素構造の固有値は ± iであり、固有空間はT ^0,1 MおよびT ^1,0 Mで表されるサブバンドルを形成します。ニューランダー・ニーレンバーグの定理は、これらのサブバンドルが内向的である場合、つまりベクトル場のリー括弧の下で閉じている場合に、ほぼ複素構造が実際に複素構造であることを示しています。このようなほぼ複素構造は積分可能と呼ばれます。

リーマン計量に相当するものを複素多様体に対して定義することができ、エルミート計量と呼ばれます。リーマン計量と同様に、エルミート計量は、各点における接空間上の複素構造に関してエルミートである、滑らかに変化する接バンドル上の正定値内積で構成されます。リーマン計量の場合と同様に、このような計量はどの複素多様体にも常に豊富に存在します。このような計量の歪対称部分がシンプレクティック、つまり閉じていて非退化である場合、計量はケーラー計量と呼ばれます。ケーラー構造は見つけるのがはるかに難しく、はるかに剛性です。

ケーラー多様体の例としては、滑らかな射影多様体や、より一般的にはケーラー多様体の任意の複素部分多様体があります。ホップ多様体はケーラーではない複素多様体の例です。ホップ多様体を構築するには、複素ベクトル空間から原点を引いて、この空間に対する整数群の作用を exp( n ) で乗算して考えます。商は第 1ベッティ数が 1 である複素多様体なので、ホッジ理論によればケーラー多様体ではありません。

カラビ・ヤウ多様体は、コンパクトなリッチ平坦ケーラー多様体、または同等に第 1チャーン類が消える多様体として定義できます。

• 複雑な次元
• 複素解析多様体
• 四元数多様体
• 実複素多様体

• 小平 邦彦(2004 年 11 月 17 日)。複素多様体と複素構造の変形。数学の古典。Springer。ISBN 3-540-22614-1。