多重同次ベズー定理

代数学と代数幾何学において、多重同次ベズー定理は、同次多項式の集合の孤立した共通零点の数を数えるベズーの定理を多重同次多項式に一般化したものである。この一般化はイゴール・シャファレヴィッチによるものである。^[1]

多項式方程式または多項式方程式系が与えられた場合、明示的に解を計算せずに解の数を計算したり、解の数を制限したりすることが有用な場合がよくあります。

単一方程式の場合、この問題は代数の基本定理によって解決されます。この定理は、解をその重複度で数えると、複素解の数は多項式の次数によって制限され、等しいと主張します。

n 個の未知数を持つn 個の多項式方程式のシステムの場合、問題はベズーの定理によって解決されます。ベズーの定理は、複素解の数が有限であれば、その数は多項式の次数の積によって制限されると主張します。さらに、無限遠での解の数も有限であれば、次数の積は、無限遠での解を含めて多重度で数えた解の数に等しくなります。

しかし、無限大における解の数が無限であることはむしろ一般的です。この場合、多項式の次数の積は根の数よりもはるかに大きくなる可能性があり、より適切な境界が役立ちます。

多項式ベズー定理は、未知数を複数の部分集合に分割し、各部分集合の各多項式の次数が多項式全体の次数よりも低くなるような場合に、よりよい解を与える。例えば、 が2 次多項式で、 n不定で 1 次、n 不定で 1 次（つまり多項式は双線型）であるとする。この場合、ベズー定理は解の数を次のように制限する。 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{2n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n},}$${\displaystyle y_{1},\ldots y_{n}.}$

${\displaystyle 2^{2n},}$

一方、多同次ベズー定理は（スターリング近似を用いて） 境界を与える。

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt { \ピン}}}.}$

多重同次多項式は、複数の変数セットに関して 同次である多項式です。

より正確には、k個の正の整数を考え、i = 1, ..., kに対して、不定値Aのこれらの不定値すべてにおける多項式は、それが次数同次である場合、多次同次多項式である。${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$${\displaystyle n_{i}+1}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.}}$

多重射影多様体は射影空間の積の射影部分多様体である。

${\displaystyle \mathbb {P} _{n_{1}}\times \cdots \times \mathbb {P} _{n_{k}},}$

ここで、 はn次元の射影空間を表します。多重射影多様体は、多重同次多項式のイデアルの共通の非自明な零点の集合として定義できます。ここで、「非自明」とは、 各iに対して、 が同時に 0 にならないことを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n}}$

ベズーの定理は、 n + 1不定量のn 次同次多項式が、正の次元の代数集合、または重複度で数えられた点からなる 0 次元の代数集合のいずれかを定義することを主張します。 ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$

ベズーの定理の一般化を述べるには、新しい不定量を導入し、多次数を線形形式で表すと便利です。以下では、「多次数」は次数のシーケンスではなく、この線形形式を指します。 ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k},}$${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}$${\displaystyle \mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.}$

多重同次ベズー定理の設定は以下の通りである。 ${\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k},}$

上記の表記法では、 n 個の多次多項式は、正の次元の多射影代数集合、または 重複度で数えられたB点からなる0次元代数集合のいずれかを定義します。ここで、 Bは${\displaystyle \mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{n}}$

${\displaystyle t_{1}^{n_{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}}$

線形形式の積において

${\displaystyle \mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.}$

解の数に関する多重同次ベズー境界は、多項式が総次数を増やすことなく（多重）同次化できる場合、非同次方程式系に使用できます。ただし、この場合、「無限大」に解が存在すると、境界が明確でない可能性があります。

研究対象の問題についての洞察がなければ、変数をグループ化して「適切な」多重同次化を行うのは難しいかもしれません。幸いにも、モデル化された問題から直接このようなグループ化がもたらされる問題はたくさんあります。たとえば、力学では、方程式は一般に長さと質量に関して同次またはほぼ同次です。