ファノ品種

代数幾何学において、ジーノ・ファーノ( Fano  1934, 1942)によって導入されたファノ多様体は、次数の総和が周囲の射影空間の全次元以下であるような代数超曲面の完全交差の特定の側面を一般化する代数多様体である。このような完全交差は、典型的には有理点(その基本的な例としてはシュヴァレー・ワーニングの定理)を許容するため、幾何学や数論において重要な応用がある。ファノ多様体は、合理性の問題が依然として扱いやすいことが多いこれらの基本的な例の抽象的な一般化を提供する。

正式には、ファノ多様体とは、反標準バンドルK _X ^*が十分である完備多様体 X のことである。この定義では、 X は体上で滑らかであると仮定できるが、極小モデルプログラムは、終端特異点やklt特異点などのさまざまな種類の特異点を持つファノ多様体の研究にもつながっている。最近、微分幾何学の手法が複素数上のファノ多様体の研究に適用され、ファノ多様体の K 安定性の研究を通じて、ファノ多様体のモジュライ空間の構築と、その上のケーラー・アインシュタイン計量の存在の証明に成功している。

• ファノ多様体の基本的な例は射影空間である。体k上のP ⁿの反標準直線束はO ( n +1)であり、これは非常に大きい(複素数上では、その曲率はフビニ・スタディシンプレクティック形式のn+1倍である)。
• D をP ⁿの滑らかな余次元 1 の部分多様体とします。この付加公式は、K _D = ( K _X + D )| _D = (−( n +1) H + deg( D )H)| _{D を}意味します。ここで、H は超平面の類です。したがって、超曲面 Dは、 deg( D ) < n +1の場合にのみファノです。
• より一般的には、n次元射影空間における超曲面の滑らかな完全交差は、それらの次数の合計が最大でnである場合にのみファノである。
• 重み付き射影空間 P ( a ₀ ,..., a _n ) は特異 ( klt ) ファノ多様体です。これは、生成元が次数a ₀ ,..., a _nである次数付き多項式環に関連付けられた射影スキームです。これが、数aのnがいずれも 1 より大きい共通因数を持たないという意味で整形式である場合、次数の合計がa ₀ +...+ a _n未満である超曲面の完全な交差は、ファノ多様体です。
• 線型代数群の下で同次である特性0 の射影多様体はすべてファノ多様体である。

X上のある十分な直線束の存在は、Xが射影多様体であることと同値なので、ファノ多様体は常に射影的である。複素数上のファノ多様体Xに対して、小平消失定理は、構造層の層コホモロジー群がに対して消失することを意味する。特に、トッド種数は自動的に 1 に等しくなる。この消失定理の事例は、最初のチャーン類が同型 を誘導することも示している。 ${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle j>0}$ ${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}})=\sum (-1)^{j}h^{j}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle j=1,2}$${\displaystyle c_{1}:Pic(X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$

ヤウによるカラビ予想の解決によれば、滑らかな複素多様体は、それがファノである場合に限り、正のリッチ曲率のケーラー計量を許容する。したがって、マイヤーズの定理 によれば、ファノ多様体の普遍被覆は コンパクトであり、したがって有限被覆にしかなり得ない。しかし、ファノ多様体のトッド種数は 1 に等しくなければならないことは先ほど見た。これは多様体の普遍被覆にも当てはまり、トッド種数は有限被覆の下で乗法的であるため、任意のファノ多様体は単連結であることがわかる。

もっと簡単な事実は、すべてのファノ多様体は小平次元が−∞ であるということです。

Campana とKollár – Miyaoka – Mori は、代数的に閉体上の滑らかなファノ多様体は有理的に連鎖連結であることを示した。つまり、任意の 2 つの閉点は有理曲線の連鎖で連結できる。^[1] Kollár–Miyaoka–Mori はまた、標数 0 の代数的に閉体上の与えられた次元の滑らかなファノ多様体は有界族を形成することを示した。つまり、それらは有限個の代数多様体の点によって分類される。^{[2]特に、各次元のファノ多様体の変形類は有限個しかない。この意味で、ファノ多様体は、}一般型の多様体などの他の多様体のクラスよりもはるかに特殊である。

以下の議論は複素数上の滑らかなファノ多様体に関するものです。

ファノ曲線は射影直線と同型です。

ファノ面はデルペッツォ面とも呼ばれます。すべてのデルペッツォ面は、P ¹ × P ¹または最大 8 点に拡大された射影平面と同型であり、これらの点は一般的な位置になければなりません。結果として、それらはすべて有理数です。

次元 3 には、有理数ではない滑らかな複素ファノ多様体があります。たとえば、P ⁴の 3 次 3 次元多様体( Clemens - Griffithsによる) やP ⁴の 4 次 3 次元多様体( Iskovskikh - Maninによる) などです。Iskovskih (1977, 1978, 1979) は、第 2ベッティ数が 1 である滑らかなファノ 3 次元多様体を17 のクラスに分類し、Mori & Mukai (1981) は、第 2 ベッティ数が 2 以上の滑らかなファノ 3 次元多様体を分類し、88 の変形クラスを見つけました。滑らかなファノ 3 次元多様体の分類の詳細な概要は、Iskovskikh & Prokhorov (1999) に記載されています。

• 形状周期表は、すべてのファノ多様体を 3 次元、4 次元、5 次元に分類するプロジェクトです。

• Fanography - 3 次元の Fano 多様体の分類を視覚的に研究するためのツール。

• ファノ、ジーノ(1934)、「さまざまな代数を計算するための次元の計算」、Proc.インターナショナル。 Congress Mathematicians (ボローニャ)、4、Zanichelli、pp. 115–119
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• Iskovskih, VA (1977)、「Fano threefolds. I」、Math. USSR Izv.、11 (3): 485–527、doi :10.1070/IM1977v011n03ABEH001733、ISSN  0373-2436、MR  0463151
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• Iskovskih, VA (1979)、「3次元代数多様体の反正準モデル」、Current Problems in Mathematical、第12巻（ロシア語）、VINITI、モスクワ、pp. 59–157、MR  0537685
  • Iskovskikh, VA (1980). 「3次元代数多様体の反正準モデル」.ソビエト数学ジャーナル. 13 (6): 745–814. doi : 10.1007/BF01084563 . S2CID  119602399.
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