レフシェッツ超平面定理

数学、特に代数幾何学と代数位相幾何学において、レフシェッツの超平面定理は、代数多様体の形状とその部分多様体の形状との間の特定の関係を正確に述べたものである。より正確には、この定理は、射影空間に埋め込まれた多様体Xと超平面切断Yに対して、Xのホモロジー、コホモロジー、ホモトピー群がYのそれらを決定することを述べている。この種の結果は、複素代数多様体のホモロジー群についてソロモン・レフシェッツによって初めて述べられた。それ以来、同様の結果がホモトピー群、正特性、その他のホモロジー理論やコホモロジー理論に対して見出されている。

難しいレフシェッツ定理の広範囲にわたる一般化は、分解定理によって与えられます。

を 次元複素射影代数多様体とし、をが滑らかであるようなの超平面切断とします。レフシェッツの定理は、次のいずれかの命題を指します。^{[1] [2]}${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U=X\setminus Y}$

1. 特異ホモロジーにおける自然写像はの同型であり の射影的である。${\displaystyle H_{k}(Y,\mathbb{Z})\rightarrow H_{k}(X,\mathbb{Z})}$${\displaystyle k<n-1}$${\displaystyle k=n-1}$
2. 特異コホモロジーにおける自然写像はの同型であり、 に対して単射である。${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{k}(Y,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle k<n-1}$${\displaystyle k=n-1}$
3. 自然写像は の同型であり の射影的である。${\displaystyle \pi _{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow \pi _{k}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle k<n-1}$${\displaystyle k=n-1}$

長い正確なシーケンスを使用すると、これらの各ステートメントが特定の相対位相不変量に対する消失定理と同等であることを示すことができます。順番に説明します。

1. 相対特異ホモロジー群はに対してゼロです。${\displaystyle H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle k\leq n-1}$
2. 相対特異コホモロジー群はに対してゼロです。${\displaystyle H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle k\leq n-1}$
3. 相対ホモトピー群はに対してゼロです。${\displaystyle \pi_{k}(X,Y)}$${\displaystyle k\leq n-1}$

ソロモン・レフシェッツ^[3]は、レフシェッツ ペンシルというアイデアを使って定理を証明した。超平面断面 だけを考えるのではなく、彼はそれを の超平面断面の族 に置いた。ここで である。一般的な超平面断面は滑らかであるため、有限個を除いて はすべて滑らかな多様体である。これらの点を-平面から取り除き、追加の有限個のスリットを作ると、結果として得られる超平面断面の族は位相的に自明である。つまり、それは一般的なと-平面の開集合の積である。したがって、 は、スリットを横切って特異点において超平面断面がどのように識別されるかを理解すれば理解できる。特異点から離れると、識別は帰納的に記述できる。特異点では、モースの補題は、特に単純な形のの座標系を選択できることを意味する。この座標系は、定理を直接証明するために使用できる。^[4]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle Y=Y_{0}}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

アルド・アンドレオッティとセオドア・フランケル^{[5]は、レフシェッツの定理は}モース理論^[6 ]を使って書き直せることを認識した。ここで、パラメータはモース関数の役割を果たす。このアプローチの基本的なツールはアンドレオッティ・フランケルの定理であり、これは、複素次元（したがって実次元）の複素アフィン多様体は、 （実）次元のCW複体のホモトピー型を持つというものである。これは、におけるの相対ホモロジー群が未満の次数で自明であることを意味する。相対ホモロジーの長完全列は、定理を与える。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$

レフシェッツの証明もアンドレオッティとフランケルの証明も、ホモトピー群に対するレフシェッツ超平面定理を直接意味するものではない。それを表すアプローチは、1957年までにルネ・トムによって発見され、 1959年にラウル・ボットによって簡略化されて発表された。 ^[7]トムとボットは、を直線束のセクションのにおける消失点 として解釈する。このセクションにモース理論を適用すると、 次元以上の隣接セルによってから を構築できることがわかる。このことから、におけるの相対ホモロジー群とホモトピー群は次数 以上に集中しており、定理が導かれる。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$

小平邦彦とドナルド・C・スペンサーは、ある制限の下で、ホッジ群 に対してレフシェッツ型定理を証明できることを発見した。具体的には、 が滑らかで、直線束が十分であると仮定する。すると、 の場合には制限写像は同型であり、 の場合には単射である。^{[8] [9]}ホッジ理論によれば、これらのコホモロジー群は、層コホモロジー群およびに等しい。したがって、長完全列を使用して およびに秋月–中野消失定理を適用すると、定理が導かれる。 ${\displaystyle H^{p,q}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(Y)}$${\displaystyle H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)}$${\displaystyle p+q<n-1}$${\displaystyle p+q=n-1}$${\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X})}$${\displaystyle H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})}$${\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X}|_{Y})}$

この証明を普遍係数定理と組み合わせると、任意の特性ゼロの体における係数を持つコホモロジーに対する通常のレフシェッツ定理がほぼ得られます。ただし、 に関する追加の仮定があるため、若干弱くなります。 ${\displaystyle Y}$

マイケル・アルティンとアレクサンダー・グロタンディークは、コホモロジーの係数が体ではなく構成可能な層にある場合へのレフシェッツ超平面定理の一般化を発見した。彼らは、アフィン多様体上の構成可能な層に対して、コホモロジー群がのときは常に消滅することを証明した。^[10]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H^{k}(U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle k>n}$

アルティンとグロタンディークによる構成可能層の証明の背後にある動機は、エタールおよび -進コホモロジーの設定に適応できる証明を与えることでした。構成可能層に対するいくつかの制限を除けば、レフシェッツの定理は正特性の構成可能層に対しても当てはまります。 ${\displaystyle \ell }$

この定理は交差ホモロジーにも一般化できます。この設定では、この定理は高度に特異な空間に対して成立します。

レフシェッツ型定理はピカール群に対しても成立する。^[11]

を における - 次元の非特異複素射影多様体とします。このとき、のコホモロジー環において、超平面のコホモロジー類との - 倍積は、 と の間に同型を与えます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{n-k}(X)}$${\displaystyle H^{n+k}(X)}$

これはフランス語でグロタンディークによってより口語的にレフシェッツの定理と名付けられた難しいレフシェッツの定理である。^{[12] [13]} これはレフシェッツ超平面定理の単射性部分を直ちに意味する。

ハード レフシェッツ定理は、実際は任意のコンパクトケーラー多様体に対して成り立ち、ド ラーム コホモロジーにおける同型性はケーラー形式のクラスの累乗によって与えられます。この定理は、非ケーラー多様体に対しては成立しません。たとえば、ホップ面は第 2 コホモロジー群がゼロであるため、超平面セクションの第 2 コホモロジークラスに相当するものは存在しません。

硬いレフシェッツ定理は、ピエール・ドリーニュ(1980)によって、正特性の代数閉体上の滑らかな射影多様体の- 進コホモロジーに対して証明されました 。 ${\displaystyle \ell }$

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