双対性（射影幾何学）

射影幾何学において、双対性または平面双対性は、射影平面の定義と定理において点と線が果たす役割の顕著な対称性を形式化したものである。双対性の主題に対するアプローチには 2 つあり、1 つは言語によるもの (§ 双対性の原理)、もう 1 つは特殊なマッピングによるより機能的なアプローチである。これらは完全に同等であり、どちらの処理も、検討中の幾何学の公理バージョンを出発点としている。機能的なアプローチでは、関連する幾何学の間に双対性と呼ばれる写像がある。このような写像はさまざまな方法で構築できる。平面双対性の概念は、空間双対性に容易に拡張され、さらに任意の有限次元射影幾何学における双対性にまで拡張される。

二重性の原理

射影平面 C $は、$ 点の集合 $P$ 、直線の集合 $L$ 、およびどの点がどの直線上にあるかを決定する接続関係 $Iに基づいて、$ 接続構造として公理的に定義できます。これらの集合を使用して、平面の双対構造を定義できます。

「点」と「線」の役割を入れ替える

C = (P 、 L 、 I )

二重構造を得る

C * = (L, P, I *)

、

ここで、 $I *$ $はI$ の逆関係です。 $C$ $*$ も射影平面であり、 $C$ の双対平面と呼ばれます。

$C$ と $C *$ が同型である場合、 $C は$ 自己双対と呼ばれます。任意の体 (または、より一般的には、その双対に同型なすべての分割環(スキュー体)) $K$ $の射影平面$ $PG (2$ $, K )$ は自己双対です。特に、有限位数のデザルグ平面は常に自己双対です。ただし、ホール平面などの自己双対ではない非デザルグ平面と、ヒューズ平面などの自己双対である非デザルグ平面があります。

射影平面において、点、線、およびそれらの間の結線を含むステートメントは、別のステートメントから「点」と「線」という単語を入れ替え、必要な文法上の調整を行うことで得られ、最初のステートメントの平面双対ステートメントと呼ばれます。「2 つの点は一意の線上にある」という平面双対ステートメントは、「2 つの線は一意の点で交わる」です。ステートメントの平面双対を形成することを、ステートメントの 双対化と呼びます。

$射影平面C$ でステートメントが真である場合、そのステートメントの平面双対は双対平面 $C *で真でなければなりません。これは、「$ $C内」の証明の各ステートメントを双対化すると、「$ $C *$ 内」の証明の対応するステートメントが得られることからわかります。

平面双対性の原理は、自己双対射影平面 $C上の任意の定理を双対化すると、$ $C$ 上で有効な別の定理が生成されるというものである。^[1]

上記の概念は、空間の二重性について話すために一般化することができ、そこでは「点」と「平面」という用語が入れ替わります（線は線のままです）。これは空間の二重性の原理につながります。^[1]

これらの原理は、入射関係に「対称的な」用語を使用することを好む十分な理由を提供します。したがって、「点は直線上にある」と言う代わりに、「点は直線に入射する」と言うべきです。後者を双対化することは、点と直線を交換することだけを意味するからです（「直線は点に入射する」）。^[2]

平面双対性の原理の妥当性は、射影平面の公理的定義から導かれる。この定義の 3 つの公理は、射影平面の双対も射影平面であることを意味する自己双対ステートメントとして記述することができる。したがって、射影平面の真のステートメントの双対は、双対射影平面の真のステートメントであり、自己双対平面の場合、その平面の真のステートメントの双対も、その平面の真のステートメントであるという含意がある。^[3]

双対定理

実射影平面PG $(2, R)$ は自己双対なので、互いに双対となるよく知られた結果のペアが多数存在します。これらのいくつかは次のとおりです。

デュアル構成

文だけでなく、点と線のシステムも二重化できます。

$m$ 点と $n本の$ $直線$ の集合は、 $n$ $本$ の直線のうち $c 本$ $が$ 各点を通り、 $m$ 点のうち $d点$ $が$ 各直線上にある場合、 $(mc, nd)$ 構成と $呼ば$ れます。 $($ $mc$ $,$ $nd$ $)構成の双対は$ $($ $nd$ $,$ $mc$ $)$ 構成です。したがって、4 点と 6 本の直線からなる (4 ₃ $,$ 6 ₂ ) 構成である四角形の双対は、6 点と 4 本の直線からなる (6 ₂ , 4 ₃ ) 構成である四辺形です。^[4]

直線上のすべての点の集合は射影範囲と呼ばれ、その双対として2次元では直線束、つまり点上のすべての直線の集合、または高次元では超平面束を持ちます。射影直線上の線分は、その双対としてこれらの直線または超平面によって描かれた形状、つまり二重くさびを持ちます。^[5]

マッピングとしての二重性

平面の双対性

平面双対性は、射影平面 $C = (P, L, I)$ からその双対平面 $C * = (L, P, I *)$ (上記の § 双対性の原理を参照)への、入射を保存する写像です。つまり、平面双対性 $σ は$ 、点 Q が直線m ( Q I m と表記) 上にある $場合$ $、$ $Q I$ $m$ ≡ m $σ$ $I$ $*$ $Q$ $σ$ $と$ $なる$ $よう$ $な$ $方法$ $で$ 、点を $直線に、直線を点に写像します ($ $P$ $σ$ $= L$ かつ $L σ = P$ ) 。同型である平面双対性は相関と呼ばれます。^[6]相関の存在は、射影平面 $C$ が自己双対であることを意味します。

この定義における射影平面 $C は$ デザルグ平面である必要はありません。しかし、デザルグ平面である場合、つまり、 $K が$ 分割環（歪体）である $C = PG(2, K)$ である場合、一般射影空間に対して以下に定義される双対性により、上記の定義を満たす $C$ 上の平面双対性が得られます。

一般的な射影空間では

射影空間の双対性 $δ は$ $、 PG($ $n$ $,$ $K$ $) ($ $KPn$ とも表記 $)$ の部分空間の置換であり $、$ $K$ $は$ 包含関係を反転する体(またはより一般的には歪体(分割環))である^[7]。

S\subseteqT は

PG(

n

,

K

)

の

すべて

の

部分空間

S

,

Tに対してSδ\supseteqTδ

を 意味

する

。

[

8

^]

その結果、双対性は次元 $r$ のオブジェクトを次元 $n - 1 - r$ ( =余次元 $r + 1$ ) のオブジェクトと交換します。つまり、次元 $n$ の射影空間では、点 (次元 0) は超平面(余次元 1) に対応し、2 つの点 (次元 1) を結ぶ線は 2 つの超平面 (余次元 2) の交点に対応します。

双対性の分類

歪体 $K$ 上の有限次元（右）ベクトル空間 $V$ の双対 $V$ $*$ は、反対の歪体 $K$ $o$ 上の同じ次元の（右）ベクトル空間とみなすことができます。したがって、射影空間 $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ と $PG($ $n$ $,$ $K$ $o$ $)$ の間には包含反転一対一が存在します。 $K$ と $K$ $o$ $が同型であれば、 PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ 上に双対性があります。逆に、 $PG($ $n$ $,$ $K$ $)が$ $n$ $> 1$ に対して双対性を許容する場合、 $K$ と $K$ $o は$ 同型です。

$π を$ $n$ $> 1$ に対して $PG(n, K)$ の双対性とする。 $π が$ $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ と $PG( n$ $,$ $K$ $o$ $)$ の間の自然同型性と合成される場合、合成 $θ$ $はPG($ $n$ $,$ $K$ $)$ と $PG($ $n$ $,$ $K$ $o$ $)$ の間の接続保存単射となる。射影幾何学の基本定理により、 $θ は$ $、$ 関連する同型 $σ$ $:$ $K$ $\to$ $K$ $o$ を持つ半線型写像 $T$ $:$ $V$ $\to$ $V$ $*$ によって誘導され、これは $K$ の反自己同型と見なすことができる。古典文献では、 $π は一般に$ 相互性と呼ばれ、 $σ$ $= id の場合は$ 相関と呼ばれる（そして $K は$ 必然的に体となる）。一部の著者は、自然同型性の役割を抑制し、 $θ を$ 双対性と呼んでいる。^[9]こうすると、双対性は特別に関連する一対の射影空間間の共線性として考えられ、相互性と呼ばれる。この共線性が射影性である場合、相関性と呼ばれる。

$T w = T (w)を、$ $V$ のベクトル $wに関連付けられた$ $V$ $*$ の線形関数とします。 $φ$ $:$ $V$ $\times$ $V$ $\to$ $K$ の形式を次のように定義します。

\varphi (v,w)=T_{w}(v).

$φ は$ 、伴う反自己同型 $σ$ を持つ非退化セクスティリニア形式です。

$n$ $> 1$ の場合の $PG(n, K)$ の任意の双対性は、基になるベクトル空間上の非退化セスクイリニア形式 (付随する反自己同型を含む) によって誘導され、その逆も同様です。

同次座標定式化

同次座標は、双対性の代数的記述に使用できます。この議論を簡略化するために、 $K は$ 体であると仮定しますが、乗算が必ずしも可換演算である必要がないという事実に注意を払う限り、 $K が$ 歪体である場合もすべて同じように行うことができます。

$PG(n, K)$ の点は、 $K$ 上の( $n + 1$ ) 次元ベクトル空間の非ゼロベクトルと見なすことができます。ここでは、スカラー係数だけ異なる 2 つのベクトルを識別します。別の言い方をすると、 $n$ 次元射影空間の点は 1 次元ベクトル部分空間であり、 $K$ $n$ $+1$ の原点を通る線として視覚化できます。^[10]また、 $K$ $n$ $+1の$ $n$ - (ベクトル) 次元部分空間は、 $K上の射影$ $n$ 空間の( $n$ $- 1$ ) - (幾何学的) 次元超平面、つまり $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ を表します。

$K$ $n$ $+1$ の非零ベクトル $u = (u 0, u 1, ..., u n)$ は、 $($ $n$ $- 1)$ 次元の幾何的部分空間 (超平面) $H$ $u$ も決定します。

H u = {(x 0, x 1, ..., x n): u 0 x 0 + ... + u n x n = 0}

です。

ベクトル $u$ がこのように超平面を定義するために使用される場合、それは $u H$ と表記され、点を指定する場合は $u P を$ 使用します。これらはそれぞれ点座標または超平面座標と呼ばれます（重要な2次元の場合、超平面座標は線座標と呼ばれます）。著者によっては、超平面座標を水平（行）ベクトルとして書き、点座標を垂直（列）ベクトルとして書くことで、ベクトルの解釈方法を区別しています。したがって、 $u$ が列ベクトルの場合、 $u P = u で$ あるのに対し、 $u H = u T$ となります。通常のドット積では、 $H u = {x P : u H \cdot x P = 0}$ です。 $K$ は体なので、ドット積は対称的であり、 $u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n = x 0 u 0 + x 1 u 1 + ... + x n u n = x H \cdot u P$ となります。

基本的な例

単純な相互性（実際は相関関係）は、点と超平面の間の $u P \leftrightarrow u H$ によって表すことができます。これは、2 つの点によって生成される直線と、2 つの超平面の交点の間の相互性などに拡張されます。

具体的には、 $K$ を体とする射影平面PG $(2, K)$ では、相関関係は次のように表されます。同次座標 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $) の点 \leftrightarrow$ 方程式 $ax$ $+$ $by$ $+$ $cz$ $=$ $0$ の線。射影空間 $PG(3,$ $K$ $)$ では、相関関係は次のように表されます。同次座標 $($ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $、$ $d$ $) の点 \leftrightarrow$ 方程式 $ax$ $+$ $by$ $+$ $cz$ $+$ $dw$ $= 0$ の面。この相関関係は、2 つの点 $($ $a$ $1$ $、$ $b$ $1$ $、$ $c$ $1$ $、$ $d$ $1$ $)$ と $($ $a$ $2$ $、$ $b$ $2$ $、$ $c$ $2$ $、$ $d$ $2$ $)によって決定される直線を、方程式$ $a$ $1$ $x$ $+$ $b$ $1$ $y$ $+$ $c$ $1$ $z$ $+$ $d$ $1$ $w$ $= 0$ および $a$ $2$ $x$ $+$ $b$ $2$ $y$ $+$ $c$ $2$ $z$ $+$ $d$ $2$ $w$ $= 0 を$ 持つ2 つの平面の交線にマッピングします。

この相関関係に関連する二等分線形式は次のとおりです。

φ (u, x) = u H \cdot x P = u 0 x 0 + u 1 x 1 + ... + u n x n

、

ここで、対となる反自己同型 $σ = id$ 。したがって、これは双線型形式です（ $K は$ 体でなければならないことに注意してください）。これは、行列形式（標準基底に関して）で次のように表すことができます。

φ (u, x) = u H G x P

、

ここで、 $Gは$ $(n +1)\times(n +1)$ 単位行列であり、 $uH は行$ ベクトル、 $xP は$ 列ベクトルという規則に従います。

相関関係は次のように表されます。

\pi (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.

実射影平面における幾何学的解釈

$PG(2, R)$ の場合のこの相関は、実射影平面のモデル、つまり「対蹠点^[11]が特定された単位球」、または同等に、ベクトル空間 $R$ $3$ の原点を通る直線と平面のモデルを使用して幾何学的に記述できます。原点を通る任意の直線に、その直線に垂直 (直交) な原点を通る唯一の平面を関連付けます。モデルでこれらの直線を点、平面を射影平面 $PG(2,$ $R$ $)$ の直線と見なすと、この関連付けは射影平面の相関 (実際には極性) になります。球モデルは、原点を通る直線と平面を、原点を中心とする単位球と交差させることで得られます。直線は対蹠点で球と交わり、対蹠点は射影平面の点を取得するために特定する必要があります。また、平面は大円で球と交わり、大円は射影平面の線になります。

この関連付けが入射を「保持」することは、線と平面のモデルから最も簡単にわかります。射影平面内の線に入射する点は、モデル内の原点を通る平面にある原点を通る線に対応します。関連付けを適用すると、平面は関連付けられている平面に垂直な原点を通る線になります。このイメージ線は、原点を通る平面のすべての線、特に元の線 (射影平面の点) に垂直です。原点で元の線に垂直なすべての線は、元の線に直交する唯一の平面、つまり関連付けの下のイメージ平面にあります。したがって、イメージ線はイメージ平面にあり、関連付けは入射を保持します。

マトリックス形式

上記の例のように、行列は双対性を表すために使用できます。π $を$ $n$ $> 1$ の $PG(n, K)$ の双対性とし、 $φ を$ 基底 ( $n$ $+ 1$ ) 次元ベクトル空間 $V$ 上の関連するセスクイリニア形式 (伴う反自己同型 $σ$ を含む) とします。Vの基底 ${$ $e$ $i$ $}$ $が$ 与えられている場合、この形式を次のように表すことができます。

\varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),

ここで、 $Gは$ $K$ 上の非特異 $(n + 1) \times (n + 1)$ 行列であり、ベクトルは列ベクトルとして記述されます。表記 $x$ $σ$ $は、反自己同型σ$ がベクトル $x$ の各座標に適用されることを意味します。

ここで、点座標に関して双対性を定義します。

\pi (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.

極性

反転である双対性（位数が 2）は極性と呼ばれます。一般的な射影空間の極性と、もう少し一般的な平面双対性の定義から生じる極性を区別する必要があります。有限幾何学の場合はより正確な記述を行うことも可能なので、有限射影平面の結果に重点を置きます。

一般射影空間の極性

$π が$ $PG(n, K)$ の双対性で、 $K$ が歪体である場合、 $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ の部分空間 $Sに対して$ $π (S) = S ⊥$ と共通の表記が定義されます。したがって、極性は、 $PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ のすべての部分空間 $S$ に対して $S$ $⊥⊥$ $=$ $S$ となる双対性です。双対空間について言及せずに、関連するセスクイリニア形式を使って次のように書くこともよくあります。

S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ in }}V\colon \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=0{\text{ すべて}}\mathbf {x} {\text{ }}S\}.

$φ$ $($ $u$ $,$ $x$ $) = 0が$ $φ$ $($ $x$ $,$ $u$ $) = 0$ を意味する場合、セクシュアル形式 $φ$ は反射的です。

双対性は、それを定義する（非退化の）セスクイリニア形式が反射的である場合にのみ極性である。^[12]

極性は分類されており、バーコフとフォン・ノイマン (1936) の結果は何度も再証明されている。^[12]^[13]^[14] $V を歪体$ $K$ 上の (左) ベクトル空間とし、φ $を$ $V$ 上の反射的非退化セスクイリニア形式とし、その伴う反自己同型性 $σ$ とする。 $φ が$ 極性に関連付けられたセスクイリニア形式である場合、次のいずれかが成り立つ。

$σ = id$ (したがって、 $K$ は体)、 $φ (u 、 x) = φ (x 、 u) ($ $V$ 内の $すべてのu 、 x$ に対して、つまり $φ は$ 双線型形式です。この場合、極性は直交(または通常)と呼ばれます。体 $Kの特性が 2 の場合、この場合であるためには$ $φ$ $($ $z$ $、$ $z$ $) \neq 0$ となるベクトル $z が$ 存在する必要があり、極性は擬似極性と呼ばれます。^[15]
$σ = id$ (したがって、 $K$ は体)、 $V$ 内の $すべてのu$ に対して $φ (u 、 u) = 0 です。この極性は$ ヌル極性(またはシンプレクティック極性)と呼ばれ $、射影次元n$ が奇数の場合にのみ存在します。
$σ 2 = id \neq σ$ （ここで $K は$ 体である必要はない）であり、 $V$ 内の $すべてのu$ $、$ $x$ に対して $φ (u 、 x) = φ (x 、 u) σ$ である。このような極性はユニタリ極性（またはエルミート極性）と呼ばれる。

$PG($ $n$ $,$ $K$ $)$ の点 $P は、$ $P$ $I$ $P$ $⊥$ のとき極性 $⊥$ に関して絶対点(自己共役点)です。同様に、超平面 $H は、$ $H$ $⊥$ $I$ $H$ のとき絶対超平面(自己共役超平面)です。別の言葉で表現すると、点 $x は、$ $φ$ $($ $x$ $,$ $x$ $) = 0$ で、 $φ が行列$ $G$ の項で表されている場合、 $x$ $T$ $G$ $x$ $σ$ $= 0 の$ とき、関連するセクスティリニア形式 $φ$ を持つ極性 $π$ の絶対点です。

$それぞれの極性の絶対点の集合を記述することができる。ここでも議論はK$ が体である場合に限定する。 ^[16]

$K が$ 特性が 2 でない体である場合、直交極性の絶対点の集合は非特異な二次曲面を形成します( $K$ が無限大の場合、これは空になることがあります)。特性が 2 の場合、擬似極性の絶対点は超平面を形成します。
空間 $PG(2s + 1, K)$ のすべての点はゼロ極性の絶対点である。
エルミート極性の絶対点はエルミート多様体を形成し、 $K$ が無限大の場合、空になることがあります。

相関 $φ (x P) = x H$ (任意の次元)をそれ自身と合成すると恒等関数が生成されるため、これは極性です。この極性の絶対点の集合は、同次座標が次の式を満たす点になります。

x H \cdot x P = x 0 x 0 + x 1 x 1 + ... + x n x n = x 02 + x 12 + ... + x n 2 = 0

.

この点集合にどの点が含まれるかは、体 $K$ によって決まります。 $K = R$ の場合、集合は空で、絶対点 (および絶対超平面) は存在しません。一方、 $K = C$ の場合、絶対点の集合は非退化の二次曲面( 2 次元空間の円錐曲線) を形成します。 $K$ が奇数の標数の有限体の場合、絶対点も二次曲面を形成しますが、標数が偶数の場合、絶対点は超平面を形成します (これは擬似極性の例です)。

いかなる双対性においても、点 $P は$ 超平面 $P$ $⊥$ の極と呼ばれ、この超平面は点 $P$ の極と呼ばれます。この用語を使用すると、極性の絶対点はその極に接する点であり、絶対超平面は極に接する超平面です。

有限射影平面における極性

ウェダーバーンの定理によれば、すべての有限歪体は体であり、位数2の自己同型（恒等写像を除く）は位数が平方である有限体にのみ存在できる。これらの事実は有限デザルグ平面の一般的な状況を単純化するのに役立ちます。以下が成り立ちます。^[17]

$πが有限デザルグ射影平面$ $PG(2, q)$ の極性で、ある素数 $pに対して$ $q = p e で$ ある場合、 $π$ が直交している場合は $π$ の絶対点の数は $q$ $+ 1$ であり、 $π$ がユニタリの場合は $q$ $3/2$ $+ 1$ です。直交の場合、絶対点は $p$ が奇数の場合は円錐曲線上にあり、 $p$ $= 2$ の場合は直線を形成します。ユニタリの場合は、 $q$ が正方形の場合にのみ発生し、絶対点と絶対直線はユニタリを形成します。

双対性が平面双対性を意味する一般的な射影平面の場合、極性、絶対要素、極、極性の定義は同じままです。

$Pを$ $n$ 次の射影平面とすると、議論を数えると $P$ の極性 $π$ に対して次のことが証明される。^[17]

非絶対線（点）に接する非絶対点（線）の数は偶数です。

さらに、^[18]

極性 $π に$ は少なくとも $n + 1 個$ の絶対点があり、 $n$ が正方形でない場合は、正確に $n + 1 個$ の絶対点があります。π に正確に $n$ $+ 1$ 個の絶対点がある場合、

$n$ が奇数の場合、絶対点は楕円を形成し、その接線は絶対線となる。または
$n$ が偶数の場合、絶対点は非絶対線上で同一直線上にあります。

$n$ が平方である場合の絶対点の数の上限はSeib ^[19]によって与えられており、純粋に組み合わせ論的な議論によって次式が成立する: ^[20]

$正方位n$ $=$ $s$ $2$ の射影平面における極性 $π$ には、最大で $s$ $3$ $+ 1個$ の絶対点がある。さらに、絶対点の数が $s$ $3$ $+ 1個$ の場合、絶対点と絶対線は単位を形成する（つまり、平面上のすべての線は、この絶対点の集合と $1つ$ または $s$ $+ 1$ つの点で交わる）。^[21]

極と極地

円Cに対する極と極点。Pと*Q は*逆点であり、pはPの極点、*P は*pの極点です。

ユークリッド平面における相互関係

実射影平面の極性を構築するために使用できる方法は、その出発点として、ユークリッド平面における部分的な双対性の構築を持っています。

ユークリッド平面において、中心 $O$ 、半径 $r$ $の円$ $C$ を定める。O以外の各点 $Pに対して、$ $OP$ $\cdot$ $OQ$ $=$ $r$ $2$ となる像点 $Q$ $を定義する。P \to$ $Q$ $によって$ 定義される写像は、円 $C$ に関する反転と呼ばれる。直線 $OPに垂直な$ $Q を$ 通る直線 $p は、円$ $C$ に関する点 $P$ の極座標^[22]と呼ばれる。

$q を$ $O を$ 通らない直線とする。 $Oから$ $q$ に垂線を下ろし、 $q と$ 点 $P$ で交わる（これは $qの中で$ $O$ に最も近い点である）。 $C$ に関して反転した $P$ の像 $Qは$ $q$ の極^[22]と呼ばれる。点 $M$ が直線 $q上にある場合（$ $O を$ 通らない）、 $q$ の極は $M$ の極上にあり、その逆も同様である。点と直線が $C$ に関して極と極に変換される入射保存過程は、往復運動と呼ばれる。^[23]

このプロセスを相関関係に変えるには、無限遠直線とこの直線上にある無限遠点を追加して、ユークリッド平面（射影平面ではない）を拡張ユークリッド平面に拡張する必要があります。この拡張された平面では、点 $O$ の極を無限遠直線（および $O を無限遠直線の極）と定義し、$ $O$ を通る直線の極を無限遠点とします。ここで、直線の傾きが $s$ $（\neq 0）の場合、その極は傾きが$ $-1/$ $s$ である平行線クラスに関連付けられた無限遠点です。 $x$ 軸の極は垂直線の無限遠点であり、 $y$ 軸の極は水平線の無限遠点です。

上記の円内の反転に基づく相関関係の構築は、円錐曲線（拡張された実平面内）での反転を使用することで一般化できます。この方法で構築された相関関係は、2 次、つまり極性です。

代数的定式化

$C が$ 原点を中心とする単位円 (つまり $r = 1$ ) である場合に、上記の構成に従ってこの極性を代数的に記述します。

原点以外の直交座標 $（$ $a$ $、$ $b$ $）$ のアフィン点 $Pは$ 、単位円内の逆座標 $として$ 、

\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).

$Q$ を通り、線分 $OP$ $に垂直な線分の方程式はax + by = 1$ です。

埋め込み $(a, b) \mapsto (a, b, 1)$ を使用して同次座標に切り替えると、最後の座標を 0 にすることで実射影平面への拡張が得られます。点座標は列ベクトルとして記述され、線座標は行ベクトルとして記述されることを思い出すと、この極性は次のように表現できます。

\pi :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}

そのような

\pi \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).

あるいは、別の表記法を使うと、 $π ((x, y, z) P) = (x, y, - z) L$ となる。関連するセスクイリニア形式の行列（標準基底に関して）は次のようになる。

G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).

この極性の絶対点は、次の解によって与えられます。

0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},

ここで、 $P$ ^T $= (x, y, z)$ です。ユークリッド平面に制限すると (つまり、 $z = 1$ に設定)、これは単なる単位円、つまり反転円になることに注意してください。

総合的なアプローチ

円錐曲線上の四角形 $A$ $、$ $B$ $、$ $J$ $、$ $K$ の対角三角形 $P 、 Q 、 R$ 。対角点の極は点と同じ色になります。

射影平面における円錐曲線の極と極座標の理論は、座標やその他の計量概念を使用せずに展開できます。

$C を$ $PG(2, F)$ 上の円錐曲線とし、 $F を$ 標数 2 でない体とし、P $をこの平面上の$ $C$ 上にない点とする。円錐曲線の 2 つの異なる割線、たとえば $AB$ と $JK は$ 、円錐曲線上の 4 つの点 ( $A 、 B 、 J 、 K$ ) を決定し、四角形を形成する。点 $P$ はこの四角形の対角三角形の頂点である。 $C$ に関する $P$ の極は、対角三角形の $P と$ 反対側の辺である。^[24]

直線上の点の射影調和共役の理論もこの関係を定義するために使用できます。上記と同じ表記法を使用します。

$点Pを$ 通る変直線が円錐 $Cの正割線である場合、その正割線上の$ $C$ の2点に関する $P$ の調和共役線はすべて $P$ の極線上にある。^[25]

プロパティ

射影平面上の極性にはいくつかの性質がある。^[26]

極性 $π$ が与えられた場合、点 $P が点$ $Q$ の極である直線 $q上にあるのは、$ $Q が$ $P$ の極である $p$ 上にある場合のみです。

この関係にある点 $P$ と $Q$ $は、 π$ に関して共役点と呼ばれます。絶対点は、自身の極と交差するため、この定義に従って自己共役と呼ばれます。共役線は双対的に定義されます。

2 つの自己共役点を結ぶ線は、自己共役線にはなり得ません。

線には 2 つ以上の自己共役点を含めることはできません。

極性は、自己共役でない任意の直線上の共役点の反転を誘発します。

各頂点が反対側の辺の極である三角形を自己極三角形と呼びます。

三角形の 3 つの頂点をそれぞれ反対側の辺にマッピングする相関関係は極性であり、この三角形はこの極性に関して自己極性です。

歴史

双対性の原理は、当時台頭しつつあった解析幾何学の分野の擁護者であり、数学だけに特化した最初の雑誌Annales de mathématiques pures et appliquéesの創刊者兼編集者であったジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌ (1771−1859) によるものです。ジェルゴンヌとシャルル・ジュリアン・ブリアンション(1785−1864) は平面双対性の概念を発展させました。ジェルゴンヌは「双対性」と「極性」という用語を作り出し (ただし「極」は F.-J. セルヴォワによるものです)、雑誌に双対の記述を並べて書くスタイルを採用しました。

ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ（1788−1867）は、射影幾何学に関する最初のテキスト『図形の射影特性に関する理論』の著者であり、円錐曲線に関する極と極の理論を体系的に展開した総合幾何学者でした。ポンスレは、双対性の原理は極と極の理論の結果であると主張しました。

ユリウス・プリュッカー（1801−1868）は、双対性の概念を3次元以上の射影空間に拡張した人物として知られています。

ポンスレとジェルゴンヌは、ジェルゴンヌ年報に掲載された論文で互いの異なる視点や手法を提示する、真剣だが友好的なライバル関係から始まった。二重性の原理を自分たちのものとして主張する際の優先権をめぐって対立が高まった。若きプリュッカーがこの確執に巻き込まれたのは、ジェルゴンヌに提出した論文が出版されるまでに大幅に編集されたため、ポンスレはプリュッカーが自分の論文を盗作したと誤解してしまったときだった。ポンスレの激しい攻撃に対してプリュッカーはジェルゴンヌの支援を受けて反撃し、最終的に責任はジェルゴンヌに押し付けられた。^[27]この確執について、ピエール・サミュエル^[28]は、両者ともフランス軍に所属し、ポンスレは将軍でジェルゴンヌは単なる大尉だったため、少なくとも同時代のフランス人の間ではポンスレの見解が優勢だったと皮肉っている。

参照

デュアルカーブ

注記

^ コクセター 1964、25 ページ
^ イブス 1963、312 ページ
^ イブス 1963、419 ページ
^ コクセター 1964、26 ページ
^ de Berg, Mark; Cheong, Otfried; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008)、計算幾何学：アルゴリズムとアプリケーション（第3版）、Springer、p. 178、ISBN 9783540779735。
^ デンボウスキー 1968、151 ページ
^ 一部の著者は、二重性に対して「相関」という用語を使用していますが、他の著者は、私たちと同様に、特定のタイプの二重性に対して相関を使用しています。
^ Dembowski 1968、p. 41 Dembowski は、双対性に対して「相関」という用語を使用しています。
^ 例えばヒルシュフェルド 1979、33 ページ
^ ここで次元は 2 つの異なる意味で使用されています。射影空間を指す場合、この用語は、線が 1 次元で平面が 2 次元のオブジェクトであるという一般的な幾何学的な意味で使用されます。ただし、ベクトル空間に適用される場合、次元は基底のベクトルの数を意味し、線として考えられたベクトル部分空間の基底には 2 つのベクトルが含まれますが、平面として考えられたベクトル空間の基底には 3 つのベクトルが含まれます。文脈から意味が明確でない場合は、射影または幾何学という用語は射影空間の概念に適用され、代数またはベクトルという用語はベクトル空間の概念に適用されます。両者の関係は単純に、代数次元 = 幾何学的次元 + 1 です。
^ 球面上の直径の反対側の端にある点は、対心点と呼ばれます。
^ ab デンボウスキー 1968、p. 42
^ ベア 2005、111 ページ
^ アルティン 1957、112-114 ページ
^ ヒルシュフェルド 1979、35 ページ
^ バーウィック＆エバート 2008、17～19ページ
^ ab デンボウスキー 1968、p. 153
^ Baer, R. (1946)、「有限射影平面における極性」、アメリカ数学会誌、52 (2): 77–93、doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7
^ Seib, M. (1970)、「Unitäre Polaritäten endlicher projectiver Ebenen」、Archiv der Mathematik、21 : 103–112、doi :10.1007/bf01220887
^ ヒューズ＆パイパー 1973、245-246ページ
^ バーウィック＆エバート 2008、p. 20
^ ab 二重性はまだ定義されていないが、二重性が存在することを予期してこれらの用語が使用されている。
^ コクセター＆グレイツァー 1967、133 ページ
^ コクセター 1964、75 ページ
^ イブス 1963、296 ページ
^ コクセター 1964、60-62 ページ
^ ボイヤー 2004、245 ページ
^ サミュエル 1988、36 ページ

参考文献

Artin, E. (1957)。「1.4 双対性とペアリング」。幾何代数。ニューヨークおよびロンドン: インターサイエンス。
ベア、ラインホルド (2005) [1952].線形代数と射影幾何学. ミネオラ NY: ドーバー. ISBN 0-486-44565-8。
バーウィック、スーザン; エバート、ゲイリー (2008)、Unitals in Projective Planes、Springer、doi :10.1007/978-0-387-76366-8、ISBN 978-0-387-76364-4
バーコフ、G.; フォン・ノイマン、J. (1936)、「量子力学の論理」、数学年報、37 (4): 823–843、doi :10.2307/1968621、JSTOR 1968621
ボイヤー、カール B. (2004) [1956]、解析幾何学の歴史、ドーバー、ISBN 978-0-486-43832-0
コクセター、HSM（1964）、射影幾何学、ブレイズデル
コクセター、HSM、グレイツァー、SL（1967）、Geometry Revisited、ワシントンDC：アメリカ数学協会、ISBN 0-88385-600-X
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR 0233275
イヴス、ハワード（1963）、幾何学概論第1巻、アリン＆ベーコン
ヒルシュフェルド、JWP（1979）、有限体上の射影幾何学、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850295-1
ヒューズ、ダニエル R.; パイパー、フレッド C. (1973)、射影平面、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-90044-6
サミュエル、ピエール（1988年）。射影幾何学。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-96752-4。

さらに読む

アルバート、A. エイドリアン、サンドラー、ルーベン (1968)、有限射影平面入門、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン
F. Bachmann、1959 年。Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff、Springer、ベルリン。
ベネット、MK (1995)。アフィン幾何学と射影幾何学。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-11315-8。
Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998).射影幾何学: 基礎から応用までケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-48277-1。
Casse, Rey (2006)、射影幾何学入門、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-929886-6
セダーバーグ、ジュディス・N. (2001)。『現代幾何学講座』ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-98972-2。
Coxeter, HSM、1995年。The Real Projective Plane、第3版。Springer Verlag。
Coxeter, HSM、2003年。射影幾何学、第2版。Springer Verlag。ISBN 978-0-387-40623-7。
コクセター、HSM (1969)。幾何学入門。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-471-50458-0。
ガーナー、リン・E. (1981)。『射影幾何学の概要』ニューヨーク：ノースホランド。ISBN 0-444-00423-8。
Greenberg, MJ、2007 年。「ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学」、第 4 版。フリーマン。
ハーツホーン、ロビン（2009）、射影幾何学の基礎（第2版）、イシ・プレス、ISBN 978-4-87187-837-1
ハーツホーン、ロビン、2000年。『幾何学：ユークリッドとその先』シュプリンガー。
Hilbert, D.および Cohn-Vossen, S.、1999 年。『幾何学と想像力』、第 2 版。チェルシー。
Kárteszi, F. (1976)、Introduction to Finite Geometries、アムステルダム：North-Holland、ISBN 0-7204-2832-7
ミハレク、RJ（1972）。射影幾何学と代数構造。ニューヨーク：アカデミックプレス。ISBN 0-12-495550-9。
Ramanan, S. (1997年8月). 「射影幾何学」. Resonance . 2 (8). Springer India: 87–94. doi :10.1007/BF02835009. ISSN 0971-8044.
スティーブンソン、フレデリック W. (1972)、射影平面、サンフランシスコ: WH フリーマンアンドカンパニー、ISBN 0-7167-0443-9
ヴェブレン、オズワルド。ヤング、JWA (1938)。射影幾何学。ボストン: ジン & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「双対性原理」。MathWorld。

[Cox25-1] コクセター 1964、25 ページ

[2] イブス 1963、312 ページ

[3] イブス 1963、419 ページ

[4] コクセター 1964、26 ページ

[5] Berg, Mark; Cheong, Otfried; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark (2008)、計算幾何学：アルゴリズムとアプリケーション（第3版）、Springer、p. 178、ISBN 9783540779735。

[6] デンボウスキー 1968、151 ページ

[7] 一部の著者は、二重性に対して「相関」という用語を使用していますが、他の著者は、私たちと同様に、特定のタイプの二重性に対して相関を使用しています。

[8] Dembowski 1968、p. 41 Dembowski は、双対性に対して「相関」という用語を使用しています。

[9] 例えばヒルシュフェルド 1979、33 ページ

[10] ここで次元は 2 つの異なる意味で使用されています。射影空間を指す場合、この用語は、線が 1 次元で平面が 2 次元のオブジェクトであるという一般的な幾何学的な意味で使用されます。ただし、ベクトル空間に適用される場合、次元は基底のベクトルの数を意味し、線として考えられたベクトル部分空間の基底には 2 つのベクトルが含まれますが、平面として考えられたベクトル空間の基底には 3 つのベクトルが含まれます。文脈から意味が明確でない場合は、射影または幾何学という用語は射影空間の概念に適用され、代数またはベクトルという用語はベクトル空間の概念に適用されます。両者の関係は単純に、代数次元 = 幾何学的次元 + 1 です。

[11] 球面上の直径の反対側の端にある点は、対心点と呼ばれます。

[Demb42-12] デンボウスキー 1968、p. 42

[13] ベア 2005、111 ページ

[14] アルティン 1957、112-114 ページ

[15] ヒルシュフェルド 1979、35 ページ

[16] バーウィック＆エバート 2008、17～19ページ

[Dembowski_1968_page=153-17] デンボウスキー 1968、p. 153

[18] Baer, R. (1946)、「有限射影平面における極性」、アメリカ数学会誌、52 (2): 77–93、doi : 10.1090/s0002-9904-1946-08506-7

[19] Seib, M. (1970)、「Unitäre Polaritäten endlicher projectiver Ebenen」、Archiv der Mathematik、21 : 103–112、doi :10.1007/bf01220887

[20] ヒューズ＆パイパー 1973、245-246ページ

[21] バーウィック＆エバート 2008、p. 20

[comment1-22] 二重性はまだ定義されていないが、二重性が存在することを予期してこれらの用語が使用されている。

[23] コクセター＆グレイツァー 1967、133 ページ

[24] コクセター 1964、75 ページ

[25] イブス 1963、296 ページ

[26] コクセター 1964、60-62 ページ

[27] ボイヤー 2004、245 ページ

[28] サミュエル 1988、36 ページ