チャウグループ

代数幾何学において、任意の体上の代数多様体のChow 群( Claude Chevalley  (1958)がWei-Liang Chowにちなんで名付けた) は、位相空間のホモロジーの代数幾何学的類似物です。Chow 群の元は、部分多様体 (いわゆる代数サイクル) から形成されますが、これは単体ホモロジー群または細胞ホモロジー群が部分複体から形成されるのと似ています。多様体が滑らかな場合、Chow 群はコホモロジー群として解釈でき (ポアンカレ双対性と比較)、交差積 と呼ばれる乗法を持ちます。Chow 群は代数多様体に関する豊富な情報を保持しており、それに応じて一般に計算が困難です。

以下では、体上の多様体を上の有限型の整式スキームとして定義します。上の有限型の任意のスキームに対して、上の代数サイクルは、整数係数を持つの部分多様体の有限線形結合を意味します。(これ以降、特に断りのない限り、部分多様体は において閉じていると理解されます。)自然数に対して、 上の -次元サイクル群(または、略して-サイクル)は、 の-次元部分多様体の集合上の自由アーベル群です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$

次元の様々な場合と、が常にゼロではない任意の有理関数の場合、の約数は-サイクル である。${\displaystyle W}$${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

ここで、和はのすべての次元部分多様体に渡って広がり、整数はに沿ったの消失の順序を表します。（したがって、が に沿って極を持つ場合、 は負になります。）消失の順序の定義では、特異点に注意する必要があります。^[1]${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

上の有限型のスキームでは、 の-次元部分多様体と上のすべての非ゼロ有理関数に対するサイクルによって生成される の部分群が です。上の 次元サイクルのChow 群は、を の0 に有理同値なサイクルの部分群で割ったものです。 Chow 群の部分多様体のクラスについて と書くことがあり、2 つの部分多様体とが を持つ場合、と は有理同値であるといわれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle (f)}$${\displaystyle (i+1)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle CH_{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z_{i}(X)}$${\displaystyle [Z]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$${\displaystyle [Z]=[W]}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

例えば、 が次元 の多様体であるとき、チャウ群はの因子類群です。 が（またはより一般的には、局所ノイザン正規階乗スキーム^[2] ）上で滑らかなとき、これは上の直線束のピカール群と同型です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

超曲面によって定義される有理的に同値なサイクルは、すべて同じベクトル束の消失点として構成できるため、射影空間上で簡単に構築できます。たとえば、次数 の 2 つの同次多項式が与えられ、 の場合、 の消失点として定義される超曲面の族を構築できます。図式的に、これは次のように構築できます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

射影を使用すると、点上のファイバーがによって定義される射影超曲面であることがわかります。これを使用して、 次数のあらゆる超曲面のサイクル類が と有理的に同値であることを示すことができます。これは、 が有理同値性を確立するために使用できるためです。 の軌跡は であり、そのサイクル類の係数である重複度 を持つことに注意してください 。${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle d}$

滑らかな射影曲線 の2 つの異なる直線束を取ると、両方の直線束の一般切断の消失点が における同値でないサイクル類を定義します。これは、滑らかな多様体 に対して であるため、との因子類が同値でない類を定義するからです。 ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle CH(C)}$${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

スキームが体 上で滑らかな場合、Chow 群は単なる次数付きアーベル群ではなく、環を形成します。つまり、が 上で滑らかな場合、を 上の余次元-サイクルの Chow 群として定義します。(が次元 のさまざまな場合、これは単に を意味します。) すると、群は積を持つ可換次数付き環を形成します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

積は代数的閉路の交差から生じます。たとえば、と がそれぞれ余次元との滑らかな部分多様体であり、 とがを横切って と交差する場合、 の積は、すべて余次元 を持つ交差 の既約成分の和です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle i+j}$

より一般的には、様々なケースにおいて、交差理論はチョウ環の積を表す明示的なサイクルを構築する。例えば、と が相補次元（つまり、それらの次元の合計が の次元になる）の部分多様体で、その交差が次元ゼロである場合、 は、交差数と呼ばれる係数を持つ交差の点の合計に等しい。上の滑らかなスキームの任意の部分多様体およびについて、交差の次元に関する仮定なしに、ウィリアム・フルトンとロバート・マクファーソンの交差理論は、 のチョウ群の標準元を構築し、そのチョウ群の像は積 となる。^[3]${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [Y][Z]}$

任意の体上の射影空間 のチョウ環は、 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

ここで は超平面（単一の線形関数の零点）の類である。さらに、射影空間における次数および余次元の任意の部分多様体はと有理的に同値である。したがって、および次数における相補次元の任意の2つの部分多様体 および に対して、Chow環におけるそれらの積は単に ${\displaystyle H}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$${\displaystyle dH^{a}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

ここで、 はにおける -有理点の類です。たとえば、と が横方向に交差する場合、 は次数 のゼロサイクルになります。基本体が代数的に閉じている場合、これは交差点が 個だけ存在することを意味します。これは、列挙幾何学の古典的な結果であるベズーの定理の一種です。 ${\displaystyle H^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y\cap Z}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle k}$${\displaystyle ab}$

体上の滑らかな適切なスキーム上の階数のベクトルバンドルが与えられた場合、関連する射影バンドルのチョウ​​環は、 のチョウ環と のチャーン類を使用して計算できます。とのチャーン類とすると、環の同型性があります。 ${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

例えば、ヒルツェブルッフ面のチョウ環は、射影束公式を使って簡単に計算できます。これは上で として構築されることを思い出してください。すると、このベクトル束の唯一の非自明なチャーン類は です。これは、チョウ環が と同型であることを意味します。 ${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

他の代数多様体では、Chow群はより豊かな振る舞いをします。例えば、 を体 上の楕円曲線とします。すると、 上のゼロサイクルのChow群は、正確な数列に適合します。${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

したがって、楕円曲線の Chow 群は、の-有理点の群と密接に関連しています。が数体のとき、は のMordell–Weil 群と呼ばれ、数論における最も深い問題のいくつかはこの群を理解しようとする試みです。 が複素数のとき、楕円曲線の例は、Chow 群が非可算なアーベル群 になり得ることを示しています。${\displaystyle X}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X(k)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

上のスキームの適切な射 に対して、各整数 に対してプッシュフォワード準同型が存在します。たとえば、上の適切なスキームに対して、これは 内の閉点を上の次数まで取る準同型 を与えます。( 内の閉点はの有限拡大体に対して の形を持ち、その次数は上の体の次数を意味します。) ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$

次元のファイバー（空の可能性もある）を持つ上のスキームの平坦射 に対して、準同型が存在します。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

チョウ群の重要な計算ツールは、次に示す局所化シーケンスである。体上のスキームとの閉じた部分スキームに対して、正確なシーケンスが存在する。${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

ここで、最初の準同型は適切な射 に関連付けられたプッシュフォワードであり、2番目の準同型は平坦射 に関するプルバックです。^{[4]局所化シーケンスは、チャウ群の一般化、(ボレル–ムーア)}モティヴィックホモロジー群、または高次チャウ群を使用することで左に拡張できます。^[5]${\displaystyle Z\to X}$${\displaystyle X-Z\to X}$

上の滑らかなスキームの任意の射に対して、引き戻し準同型 が存在し、これは実際には環準同型 です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

非例は のブローアップを使用して構築できることに注意してください。たとえば、 の原点のブローアップを取ると、原点上のファイバーは に同型になります。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

曲線の分岐被覆を考える

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

因数分解を得る たびに射影は分岐するので${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

ここで、 の1つ。これは、点がそれぞれ重複度を持つことを意味します。点の平坦な引き戻しは、 ${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

平坦な多様体の族を考える

${\displaystyle X\to S}$

と部分多様体である。そして、直交座標の平方根 ${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

の像は の部分多様体であることがわかる。したがって、 ${\displaystyle S'\times _{S}X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

チョウ群からより計算可能な理論への 準同型写像（サイクル写像として知られる）はいくつかあります。

まず、複素数上のスキームXに対して、チャウ群からボレル・ムーアホモロジーへの準同型が存在する：^[6]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

2の因数は、Xのi次元部分多様体が実次元2 iを持つために現れる。Xが複素数上で滑らかな場合、このサイクル写像はポアンカレ双対性を用いて準同型写像として 書き直すことができる。

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

この場合 ( X はC上で滑らか)、これらの準同型は Chow 環からコホモロジー環への環準同型を形成します。直感的に、これは Chow 環とコホモロジー環の両方の積がサイクルの交差を記述するためです。

滑らかな複素射影多様体に対して、チョウ環から通常のコホモロジーへのサイクル写像は、より豊富な理論であるドリーニュコホモロジーによって因数分解されます。^[7]これは、ホモロジー的にゼロと同値なサイクルから中間ヤコビアンへのアーベル・ヤコビ写像を組み込んでいます。指数列は、 CH ¹ ( X ) がドリーニュコホモロジーに同型に写像されることを示しており、j > 1 のCH ^j ( X ) ではそれが失敗します。

任意の体k上のスキームXに対して、チョウ群から (ボレル–ムーア)エタールホモロジーへの類似のサイクル写像が存在する。Xがk上で滑らかな場合、この準同型はチョウ環からエタールコホモロジーへの環準同型と同一視できる。^[8]

体上の滑らかなスキームX上の（代数的）ベクトル束 E は、位相幾何学におけるのと同じ形式的性質を持つCH ⁱ ( X )のチャーン類c _i ( E ) を持つ。 ^[9]チャーン類はベクトル束とチョウ群の間に密接な関係を与える。すなわち、K ₀ ( X ) をX上のベクトル束のグロタンディーク群とする。グロタンディークは、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の一部として、チャーン指標が同型を与える ことを示した。

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

この同型性は、代数サイクル上の他の適切な同値関係と比較して、有理数同値の重要性を示しています。

代数幾何学と数論における最も深い推測のいくつかは、Chow 群を理解しようとする試みです。たとえば、

• モーデル・ヴェイユの定理は、数体上の任意のn次元多様体Xに対して、因子類群CH _{n -1} ( X )が有限生成であることを意味する。すべてのChow群が数体上のあらゆる多様体に対して有限生成であるかどうかは未解決の問題である。L関数の値に関するブロッホ・カトー予想は、これらの群が有限生成であると予測する。さらに、ホモロジー同値性を法とするサイクル群のランク、およびホモロジー的にゼロと同値なサイクル群のランクは、特定の整数点で与えられた多様体のL関数の消失の順序に等しくなければならない。これらのランクの有限性は、代数K理論のバス予想からも導かれる。
• 滑らかな複素射影多様体Xに対して、ホッジ予想は、チャウ群から特異コホモロジーへのサイクル写像の（有理数Qでテンソル化された）像を予測します。有限生成体（有限体や数体など）上の滑らかな射影多様体に対して、テイト予想は、チャウ群からl 進コホモロジーへのサイクル写像の（ Q _lでテンソル化された）像を予測します。
• 任意の体上の滑らかな射影多様体Xに対して、ブロッホ-ベイリンソン予想は、 Xの（有理数でテンソル化された）Chow群上の強い性質を持つフィルタリングを予測する。 ^{[10]この予想は、} Xの特異コホモロジーまたはエタールコホモロジーとXのChow群の間に密接な関係があることを意味する。

たとえば、X を滑らかな複素射影面とします。X 上のゼロサイクルの Chow 群は、次数準同型によって整数に写像されます。K を核とします。幾何学的種数 h ⁰ ( X、Ω ² ) がゼロでない場合、Mumford はKが「無限次元」である ( X上のゼロサイクルの有限次元族の像ではない)ことを示しまし た。^[11] Bloch-Beilinson 予想は、満足のいく逆、ゼロサイクルに関する Bloch 予想を意味します。幾何学的種数がゼロの滑らかな複素射影面Xの場合、 K は有限次元である必要があります。より正確には、 XのAlbanese 多様体の複素点の群に同型に写像される必要があります。^[12]

フルトンとマクファーソンは、「操作的チョウ環」を定義し、より一般的にはスキームの任意の射に関連する双変理論を定義することによって、チョウ環を特異多様体に拡張した。^[13]双変理論は、写像にそれぞれ群と環を割り当てる共変および反変の関数のペアである。これは、空間に環、つまりコホモロジー環を割り当てる反変関数であるコホモロジー理論を一般化する。「双変」という名前は、理論が共変および反変の関数の両方を含むという事実を指す。^[14]

これはある意味ではチョウ環の特異多様体への最も基本的な拡張であり、モティヴィックコホモロジーなどの他の理論は操作的チョウ環にマッピングされます。^[15]

算術的チョウ群は、Q上の多様体のチョウ群と、アラケロフ理論的情報、つまり関連する複素多様体上の 微分形式をエンコードする要素を組み合わせたものです。

体上の有限型のスキームの Chow 群の理論は、代数空間の理論に簡単に拡張できます。この拡張の主な利点は、後者のカテゴリでは商を形成するのがより簡単なため、代数空間の同変 Chow 群を考えるのがより自然になることです。はるかに困難な拡張は、スタックの Chow 群の拡張です。これは、特定の場合にのみ構築されており、特に仮想基本クラスを理解するために必要です。

因子の有理同値性（線型同値性として知られる）は、19世紀に様々な形で研究され、数論におけるイデアル類群や代数曲線理論におけるヤコビ多様体につながった。高次元サイクルについては、有理同値は1930年代にフランチェスコ・セヴェリによって導入された。1956年、ウェイ・リャン・チョウは、チョウの移動補題を用いて、交差積が滑らかな準射影多様体の有理同値性を法とするサイクル上で明確に定義されているという影響力のある証明を与えた。1970年代から、フルトンとマクファーソンは、可能な限り特異多様体を用いて、チョウ群の現在の標準的な基礎を与えた。彼らの理論では、滑らかな多様体の交差積は、正規円錐への変形によって構成される。^[16]

• 交差理論
• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
• ホッジ予想
• 動機（代数幾何学）

• アイゼンバッド、デイビッド、ハリス、ジョー、『3264 とそのすべて: 代数幾何学第 2 コース』

• ブロック、スペンサー（1986）、「代数サイクルと高次K理論」、数学の進歩、61（3）：267–304、doi：10.1016 / 0001-8708（86）90081-2、ISSN  0001-8708、MR  0852815
• Claude, Chevalley (1958)、「Les classs d'équivalence rationnelle, I」、Anneaux de Chow et application、Séminaire Claude Chevalley、vol. 3
• Claude, Chevalley (1958)、「Les classs d'équivalence rationnelle, II」、Anneaux de Chow et application、Séminaire Claude Chevalley、vol. 3
• チョウ、ウェイ・リャン(1956)、「代数多様体におけるサイクルの同値類について」、Annals of Mathematics、64 : 450–479、doi :10.2307/1969596、ISSN  0003-486X、MR  0082173
• ドリーニュ、ピエール(1977)、Cohomologie Etale (SGA 4 1/2)、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-08066-4、MR  0463174
• フルトン、ウィリアム（1998）、交差理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98549-7、MR  1644323
• Severi、Francesco (1932)、「La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica」、Commentarii Mathematici Helvetici、4 : 268–326、doi :10.1007/bf01202721、JFM  58.1229.01
• ヴォエヴォドスキー、ウラジミール（2000）、「体上のモチーフの三角化カテゴリ」、サイクル、転送、およびモチーフホモロジー理論、プリンストン大学出版、pp. 188-238、ISBN 9781400837120、MR  1764202
• ヴォワザン、クレア（2002）、ホッジ理論と複素代数幾何学（全2巻）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-7180​​1-1、MR  1997577