スキーム理論の交差

代数幾何学において、スキームWの閉じたサブスキームX、Yのスキーム理論的交差は、閉じた浸漬のファイバー積です。これは と表記されます。 ${\displaystyle X\times _{W}Y}$${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$${\displaystyle X\cap Y}$

局所的には、W はある環Rに対してとして与えられ、X、Y はあるイデアルI、Jに対してとして与えられる。したがって、局所的には、交差は次のように与えられる。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$${\displaystyle X\cap Y}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

ここでは、(この恒等式については、モジュールのテンソル積#例を参照してください) を使用しました。 ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$

例: を同次座標環S/Iを持つ射影多様体とします。ここでSは多項式環です。 がS内の同次多項式fによって定義される超曲面である場合、 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

fが線形 (deg = 1) の場合、それは超平面セクションと呼ばれます。ベルティーニの定理も参照してください。

さて、スキーム理論的交差は、例えば交差理論の観点からは正しい交差ではないかもしれない。例えば、^[1]で、 = アフィン 4 次元空間と、X、Y をイデアルとによって定義される閉じた部分スキームとしよう。X は2 つの平面の和集合であり、それぞれがYと原点で重複度 1 で交差するため、交差重複度の線形性により、XとY は原点で重複度 2 で交差すると予想される。一方、スキーム理論的交差は重複度 3 の原点から構成されることがわかる。つまり、交差のスキーム理論的重複度は、交差理論的重複度 (後者はセールの Tor 公式によって与えられる) とは異なる可能性がある。この不一致を解くことが、導来交差の概念を導入することを目的とする 導来代数幾何学の出発点の 1 つである。${\displaystyle W=\operatorname {スペック} (k[x,y,z,w])}$${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$${\displaystyle (xz,yw)}$${\displaystyle X\cap Y}$

X を正則スキーム、V、W を閉整式サブスキームとします。このとき、不等式 (Serre による)が成り立つ場合、の既約成分P は適切であるといわれます。 ${\displaystyle V\cap W:=V\times _{X}W}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

は等式である。^[2]交差が適切であるとは、その交差の全ての既約成分が適切である（特に、空の交差は適切であるとみなされる）場合である。2つの代数的閉路は、閉路内の多様体が適切に交差する場合に、適切に交差すると言われる。 ${\displaystyle V\cap W}$

たとえば、滑らかな多様体上の 2 つの因子 (余次元 1 のサイクル) は、共通の既約成分を共有しない場合にのみ適切に交差します。Chowの移動補題(滑らかな多様体上) によれば、適切な線型同値な因子で因子を置き換えた後、交差を適切にすることができます (クライマンの定理を参照)。

上記のセールの不等式は、一般には非正規なアンビエントスキームでは成り立たない可能性がある。例えば、^[3]とすると、 は余次元1を持ち、 は余次元3を持つ。 ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$${\displaystyle V,W}$${\displaystyle V\cap W}$

Blochのような著者は、 Xが正則であると仮定せずに適切な交差を定義している。上記の表記法では、成分Pが適切であるのは、

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)。}$

• 完全な交差点
• ギシン準同型

• Fulton, William (1998)、交差理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 2 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-62046-4、MR  1644323
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157