軌道

ニュートンの万有引力の法則によれば、2番目の質量が中心物体に向かう重力加速度は、それらの間の距離の2乗の逆数に関係しており、すなわち次のようになります。^{[ 49 ]}

${\displaystyle F_{2}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

ここで、F _2は質量m _1が質量m ₂に対して持つ重力による引力によって質量m ₂に作用する力であり、Gは万有引力定数、rは2 つの質量の中心間の距離である。

ニュートンの第二法則によれば、 m ₂に作用する力の総和は、その物体の加速度に関係する。

${\displaystyle F_{2}=m_{2}A_{2}}$

ここで、A _2は、 m 1の重力引力F _2がm ₂に作用することによって生じるm ₂の加速度である。

式1と式2を組み合わせると：

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

加速度A ₂を求める：

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

どこ${\displaystyle \mu \,}$は標準重力パラメータであり、この場合${\displaystyle Gm_{1}}$[ ^{50 ]}記述されているシステムはm _{2であると理解されているため、添え字}^は省略できます。

軌道上の物体の現在位置${\displaystyle t}$は、標準ユークリッド基底と、原点が力の中心と一致する極座標基底の両方において、極座標のベクトル計算を用いて軌道面上に位置付けられる。${\displaystyle r}$物体と中心間の距離とし、${\displaystyle \theta }$回転した角度を とします。${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$そして${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$を標準ユークリッド基底とし、次のようにする。^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

動径方向および横方向の極座標基底をそれぞれ とします。前者は中心天体から軌道上の物体の現在位置に向かう単位ベクトルであり、後者は反時計回りの円軌道を描いて周回する場合に軌道上の物体が移動する方向を指す直交単位ベクトルです。すると、軌道上の物体へのベクトルは次のようになります。

${\displaystyle {\mathbf {O} }=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

ニュートンの記法${\displaystyle {\dot {r}}}$そして${\displaystyle {\dot {\theta }}}$これは、この距離と角度が時間とともにどのように変化するかの標準微分を表します。 ^{[ 51 ]}ベクトルの微分を取って、それが微小な時間増分でどのように変化するかを確認すると、${\displaystyle \delta t}$時刻における位置を減算します。${\displaystyle t+\delta t}$当時${\displaystyle t}$そして、${\displaystyle \delta t}$結果はベクトルのままです。

基底ベクトル${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$物体が軌道を回るにつれて、最初のステップはそれを微分して時間に対する半径方向の変化率を決定することです。${\displaystyle t}$に${\displaystyle t+\delta t}$ベクトル${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$原点を起点として角度から回転する${\displaystyle \theta }$に${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$頭を一定の距離だけ動かす${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$垂直方向に${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$の導関数を与える${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}&=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}\\{\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}&=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}\end{aligned}}}$

これで、軌道上の物体の速度と加速度を決定できる。^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {O} }&=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {O} }}&={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r\left[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]\\{\ddot {\mathbf {O} }}&=\left[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right]+\left[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\right]\\&=\left[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right]{\hat {\mathbf {r} }}+\left[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\end{aligned}}}$

最後の行では、${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$そして${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$半径方向と横方向の加速度を示します。前述のように、ニュートンは重力による最初の加速度を次のように示しています。${\displaystyle -\mu /r^{2}}$そして2番目はニュートンの第一法則によりゼロである。したがって：^{[ 49 ]}

式（2）は部分積分を用いて変形することができる。

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

両辺に を掛けると${\displaystyle r}$軌道上の物体が衝突しない限り、導関数はゼロにならないからです。導関数がゼロであるということは、その関数が定数であることを示しています。

これは実際にはケプラーの第2法則（惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を掃く）の理論的証明である。 ^{[ 49 ]}積分定数hは単位質量あたりの角運動量である。^{[ 52 ]}

式(1)から軌道の式を得るには、時間変数を消去する必要がある。（ビネの式も参照。）極座標では、これは距離を表す。${\displaystyle r}$中心からの軌道上の物体の角度の関数として${\displaystyle \theta }$しかし、補助変数を導入する方が簡単である。${\displaystyle u=1/r}$そして表現するために${\displaystyle u}$関数として${\displaystyle \theta }$の派生${\displaystyle r}$時間に関して、はの導関数として書き直すことができる。${\displaystyle u}$角度に関して。^{[ 49 ]}

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$（（３）の修正）

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}&={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

これらを（１）に代入すると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}&=-{\frac {\mu }{r^{2}}}\\-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}\left(hu^{2}\right)^{2}&=-\mu u^{2}\end{aligned}}}$

したがって：^{[ 49 ]}

したがって、重力、あるいはより一般的にはあらゆる逆二乗法則の場合、方程式の右辺は定数となり、方程式は（従属変数の原点移動を除いて）調和方程式であることがわかります。解は次のとおりです。

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}+A\cos(\theta -\theta _{0})}$

ここで、Aとθ₀_は任意の定数である。この結果として得られる物体の軌道の式は、焦点の1つに対する極座標形式の楕円の式である。これをより標準的な形式に変換するには、${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$奇異性は、並べ替えると次のようになる。

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

に注意してください${\displaystyle a\equiv h^{2}/\mu \left(1-e^{2}\right)}$を半長軸とし、${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$したがって、楕円の長軸は正のx座標に沿っており、次のようになります。^{[ 49 ]}

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

eがゼロの場合、結果としてrがaに等しい円軌道が得られます。

ニュートンの法則を取り入れると、ケプラーの第三法則の定数は次のようになることが示される。^{[ 53 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}}$

どこ${\displaystyle M}$は太陽の質量、Gは重力定数、${\displaystyle m}$は惑星の質量です。${\displaystyle T}$は軌道周期であり、${\displaystyle a}$は楕円の長半径であり、${\displaystyle {\text{AU}}}$は天文単位であり、地球から太陽までの平均距離を表します。この値から、軌道長半径を用いて公転周期を算出できます。

衛星へのトルクは、例えば、非球形の質量による摂動によって生じる可能性がある。^{[ 54 ]} 2体システムがトルクの影響下にある場合、角運動量hは一定ではない。以下の計算の後：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta r}{\delta \theta }}&=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\{\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}&=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\\\left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r&={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}\end{aligned}}}$

その結果、2体システムのシュトゥルム・リウヴィル方程式が得られる。 ^{[ 55 ]}