ヒル球体

ヒル球は、重力の影響圏を計算するための一般的なモデルです。これは、天体( m ) の重力の影響が他の天体、特に主天体( M )の重力の影響よりも支配的な空間的範囲を計算するために最も一般的に使用されるモデルです。^{[ 1 ]}これは、ラプラス球^{[ 1 ]}やロッシュ球などの他の重力影響モデルと混同されることがありますが、後者はロッシュ限界と混同されます。^{[ 2 ] [ 3 ]}これは、フランスの天文学者エドゥアール・ロッシュの研究に基づいて、アメリカの天文学者ジョージ・ウィリアム・ヒルによって定義されました。

質量が大きく、したがって重力的にもより強い天体（恒星に対する惑星、惑星に対する衛星など）に引きつけられるためには、質量の小さい天体の軌道は、質量の大きい天体のヒル球によって表される重力ポテンシャルの範囲内に収まっていなければならない。その衛星もまた独自のヒル球を持ち、その範囲内にある天体は、惑星自体ではなく、衛星の衛星となる傾向がある。

太陽系の広がりを単純に表すと、太陽のヒル球（太陽と銀河核または他のより質量の大きい恒星との相互作用によって生じる）によって境界が定められていることになる。^{[ 4 ]}より複雑な例としては、右図に示す地球のヒル球があり、これは地球とより質量の大きい太陽の中心を結ぶ線上にあるラグランジュ点L ₁とL ₂の間に広がっている。質量の小さい天体の重力の影響はその方向では最も小さく、そのためヒル球の大きさを制限する要因となる。この距離を超えると、地球の周りを公転する第 3 の天体は、少なくともその軌道の一部をヒル球の外側で過ごし、より質量の大きい天体である太陽の潮汐力によって徐々に摂動を受け、最終的には太陽の周りを公転することになる。

重力ポテンシャルを持つ2つの質量のある物体と、それらと相互作用する質量が無視できる第3の物体の任意のエネルギーに対して、空間内に通過できないゼロ速度面、すなわちヤコビ積分の経路を定義することができる。物体のエネルギーが低い場合、ゼロ速度面は（この制限された3体システムのうち）質量の小さい物体を完全に囲むため、第3の物体は脱出できない。エネルギーが高くなると、第3の物体が質量の小さい物体から脱出し、質量の大きい物体の周りを周回できる1つ以上の隙間またはボトルネックが存在する。エネルギーがこれら2つのケースの境界にある場合、第3の物体は脱出できないが、それを閉じ込めるゼロ速度面は、近くのラグランジュ点の1つで質量の小さい物体の周りのより大きなゼロ速度面に接し、そこに円錐状の点を形成する。質量の小さい物体の反対側では、ゼロ速度面はもう一方のラグランジュ点に近づく。

ヒル半径または球（後者は前者の半径によって定義される）は、「惑星体の周囲の領域で、その惑星体自身の重力（太陽や他の近くの天体の重力と比較して）が、自然および人工の衛星を引き付ける支配的な力となる領域」と説明されている。^{[ 5 ]}

デ・パターとリサウアーが述べているように、太陽系のようなシステム内のすべての物体は「互いの重力の影響を受けている」。そして、重力的に相互作用する2つの物体（「二体問題」を構成する）の運動は「完全に積分可能（つまり、自由度ごとに1つの独立した積分または制約が存在する）」であり、したがって厳密な解析解が得られるが、そのような3つ（またはそれ以上）の物体の相互作用は「解析的に推論することはできない」ため、可能な場合は数値積分による解を求める必要がある。^{[ 6 ]： p.26}ただし、3つの物体のうち1つの質量が無視できるほど小さい場合、システムを2体問題として近似することができ、これは正式には「制限付き三体問題」として知られている。^{[ 6 ]： p.26}

このような2体問題や制限付き3体問題の場合、最も単純な例として、例えば、質量が1つ大きい主天体、質量が${\displaystyle m_{1}}$質量が小さい二次天体、質量は${\displaystyle m_{2}}$—ヒル半径または球の概念は、二次質量の「重力優勢」のおおよその限界であり、^{[ 6 ]}その限界は、数学的に次のように表されるヒル球の「範囲」によって定義されます。^{[ 6 ] : p.29 [ 7 ]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$、

ここで、この表現では、半長軸は「${\displaystyle a}$「は、2 つの質量間の「瞬間的な太陽中心距離」として理解できます (他の箇所ではr pと略記)。^{[ 6 ] : p.29 [ 7 ]}

より一般的に言えば、質量が小さい物体の場合、${\displaystyle m_{2}}$より質量の大きい天体の周りを公転する。${\displaystyle m_{1}}$（例えば、太陽の周りを公転する惑星のように）半長軸を持つ${\displaystyle a}$、そして奇抜さ${\displaystyle e}$すると、ヒル半径または球、${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$質量の小さい方の天体の近点での計算値は、おおよそ次のようになります。^{[ 8 ]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$どこ${\displaystyle \theta }$は、質量の小さい天体が質量の大きい天体の周りを公転する際の真近点角であり、0°から360°の間の角度である。

と${\displaystyle \cos(\theta )}$周角で+1から変化し、${\displaystyle \theta =0}$、遠点で-1 、${\displaystyle \theta =180}$。

と${\displaystyle (1-e^{2})=(1+e)(1-e)}$、

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$近地点で

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$例えば地球・月系の場合、遠地点では、${\displaystyle {\frac {m_{2}}{m_{1}}}=0.0123000371(4)}$そして${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\approx 81.300568}$、${\displaystyle a=384,399\ km}$、${\displaystyle e=0.05490}$そして、月の近地点におけるヒル半径は${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=57,910\ km}$、そして最高点では${\displaystyle 64,638\ km}$。

軌道離心率が無視できる場合（軌道安定性にとって最も好ましい場合）、この式は上記の式に簡略化されます。

地球-太陽の例では、地球（5.97 × 10 ²⁴  kg ) が太陽の周りを公転している (1.99 × 10 ³⁰  kg ）が1億4960万 km、つまり1天文単位（AU）の距離にある。したがって、地球のヒル球は約150万 km（0.01 AU）まで広がっている。地球から0.384百万 kmの距離にある月の軌道は、地球の重力圏内に十分収まっており、太陽の周りを独立して公転する危険はない。太陽のヒル球の不安定な最大境界は230,000 AU（1.1 pc、3.6 ly）である。^{[ 10 ]}   

先述の偏心率を無視した公式は、次のように言い換えることができる。

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m_{2}}{M}}}$、 または ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m_{2}}{M}}}$、

ここで、Mは相互作用する質量の合計である。

ヒル球はあくまで近似であり、放射圧やヤルコフスキー効果などの他の力によって、最終的には物体が球体から外れてしまう可能性がある。^{[ 11 ]}前述の通り、衛星（第三の質量）は、その重力の影響が無視できるほど小さい必要がある。^{[ 6 ]： p.26ff}

主天体から遠く離れると、逆行軌道は順行軌道よりも広い範囲で安定する。これは木星の周囲に逆行衛星が多数存在する理由を説明すると考えられていたが、土星には逆行衛星と順行衛星がより均等に混在しているため、理由はより複雑である。^{[ 12 ]} 2惑星系では、2つの惑星の相互ヒル半径は、${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$安定するためには、3つ以上の惑星を持つシステムでは、隣接する惑星間の距離が相互ヒル半径の10倍未満であるような配置は本質的に不安定である。これは主に、3番目の惑星が角運動量を減少させる摂動をもたらすためである。^{[ 13 ]}

ヒル球が非常に小さい場合、物体の周囲を周回する軌道を維持することが不可能になることがあります。例えば、宇宙飛行士は地球上空300kmの軌道で104トンのスペースシャトル を周回することはできません。なぜなら、その高度にある104トンの物体のヒル球の半径はわずか120cmで 、スペースシャトルよりもはるかに小さいからです。この大きさの球は鉛よりも密度が高く、実際、地球低軌道では、球状の物体は自身のヒル球内に収まるためには鉛よりも密度が高くなければならず、そうでなければ軌道を維持することができません。しかし、静止軌道上のさらに遠い場所にある衛星は、自身のヒル球内に収まるためには水の密度の6%以上であれば十分です。

太陽系内でヒル半径が最も大きい惑星は海王星で、1億1600万km、または0.775天文単位です。太陽からの距離が非常に大きいため、木星（ヒル半径は5300万km）に比べて質量が小さいことを十分に補っています。しかし、惑星ナインが存在する場合、質量が地球の約10倍、半径が約1万5000km、距離が約500天文単位、離心率が約0.25と仮定すると、ヒル半径は12億kmとなり、海王星のヒル半径の10倍以上になります。小惑星帯の小惑星は、ヒル球が22万km（1ケレスの場合）に達することがあり、質量が減少するにつれて急速に小さくなります。衛星（スクアニトと名付けられている）を持つ水星横断小惑星66391モシュップのヒル球の半径は22kmです。^{[ 14 ]}  

典型的な太陽系外惑星「ホットジュピター」であるHD 209458 b [ ^{15 ]は、}ヒル球半径が593,000  kmで、物理半径約71,000  kmの約8倍です。最も小さい太陽系外惑星CoRoT-7b ^{[ 16 ]}でさえ、ヒル球半径（61,000  km）は物理半径（約10,000 km）の6倍です。したがって、これらの惑星は、それぞれのロッシュ限界 内にはないものの、近くに小さな衛星を持つ可能性があります。

以下の表と対数グラフは、JPL DE405天体暦とNASA太陽系探査ウェブサイトから得られた値を用いて、上記の最初の式（軌道離心率を含む）で計算した太陽系のいくつかの天体のヒル球の半径を示しています。^{[ 17 ]}

• ラプラス球– 衛星軌道が安定する宇宙空間の領域 
• 惑星間輸送ネットワーク– 太陽系における低エネルギー軌道 
• n体問題– 物理学および天体力学における問題 
• ロッシュローブ– 連星系における恒星の周囲の重力的に結合した領域 
• 影響圏（天体力学）– ある天体が重力的に支配する空間領域 
• 影響圏（ブラックホール）– 超大質量ブラックホールが重力によって銀河を支配する領域 

• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). 「力学（三体問題、摂動、共鳴）」.惑星科学（第2 版）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp. 28–30 , 34. ISBN  97813161956972023年7月22日に取得。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
• de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). 「惑星形成（巨大惑星、惑星の衛星、小惑星の形成）」.惑星科学（第2 版）. ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局. pp.  539, 544. ISBN 97813161956972023年7月22日に取得。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
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• グルザディアン、グリゴール A. (2020). 「ロッシュ限界」.惑星間飛行の理論. フロリダ州ボカラトン: CRC Press. pp.  263f. ISBN 97810001167172023年7月22日に取得。
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• Ip, W.-H. & Fernandez, JA (2012). 「巨大平板の集積起源とその帰結」。Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (編)『太陽系における衝突過程』。天体物理学および宇宙科学ライブラリー。第261巻。 ドイツ、ベルリン：Springer Science & Business Media。173頁 以降。ISBN 97894010071222023年7月22日に取得。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
• Asher, DJ; Bailey, ME & Steel (2012). 「木星からの軌道分離における非重力力の役割」。Marov, Mikhail Ya. & Rickman, Hans (編)『太陽系における衝突過程』。天体物理学および宇宙科学ライブラリー。第 261巻。ドイツ、ベルリン：Springer Science & Business Media。p.  122。ISBN 97894010071222023年7月22日に取得。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

• 宇宙飛行士はスペースシャトルの周回軌道に乗ることができるのか？
• 丘を登った月が惑星となって降りてきた（2008年9月30日にWayback Machineにアーカイブ済み）