ケプラー軌道

天体力学において、ケプラー軌道（またはドイツの天文学者ヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられたケプラー軌道）とは、ある物体が別の物体に対して楕円、放物線、または双曲線の形で運動し、3次元空間に2次元の軌道面を形成する運動のことである。ケプラー軌道は直線に近づくこともある。これは2つの物体の点状の重力引力のみを考慮し、他の物体との重力相互作用、大気抵抗、太陽放射圧、非球形の中心天体などによる摂動を無視する。したがって、これはケプラー問題として知られる2体問題の特殊なケースの解であると言われている。古典力学の理論として、一般相対性理論の影響も考慮しない。ケプラー軌道は、さまざまな方法で6つの軌道要素にパラメータ化することができる。

ほとんどの応用例では、大きな中心物体があり、その重心はシステム全体の重心であると仮定されます。質量がほぼ同じ2つの物体の軌道は、それらの共通の重心、すなわち重心の周りのケプラー軌道として記述できます。

導入

古代から16世紀と17世紀にかけて、惑星の運動は古代ギリシャの哲学者アリストテレスとプトレマイオスが説いたように、完全な円形の地球中心軌道をたどると考えられていました。惑星の運動の変動は、より大きな軌道に重ねられたより小さな円形の軌道によって説明されました（周転円を参照）。惑星の測定精度が向上するにつれて、理論の修正が提案されました。1543年、ニコラウス・コペルニクスは太陽系の太陽中心モデルを発表しましたが、それでも惑星は太陽を中心とした完全な円形の軌道を描いて運動すると信じていました。 ^[¹^]

法律の発展

1601年、ヨハネス・ケプラーはティコ・ブラーエによる惑星の広範かつ綿密な観測データを入手した。ケプラーはその後5年間、火星の観測結果を様々な曲線に当てはめようと試みた。1609年、ケプラーは惑星運動に関する3つの法則のうち最初の2つを発表した。第一法則は以下の通りである。

すべての惑星の軌道は、太陽を焦点とする楕円である。

より一般的に言えば、ケプラー運動をする物体の軌跡は放物線や双曲線を描くこともあり、これらは楕円とともに円錐曲線と呼ばれる曲線群に属します。数学的には、中心天体と周回天体の間の距離は次のように表すことができます。

$r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}$

どこ：

$r$ 距離は
$a$ は軌道の長半径であり、軌道の大きさを定義する。
$e$ は軌道の形状を定義する離心率です。
$\theta$ は真近点角であり、軌道上の物体の現在位置と、中心天体に最も近づく軌道上の位置（近点と呼ばれる）との間の角度です。

あるいは、この方程式は次のように表すこともできます。

$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}$

どこ $p$ これは曲線の半正弦と呼ばれます。この形式の方程式は、半長軸が無限大となる放物線軌道を扱う場合に特に有用です。

ケプラーは観測からこれらの法則を導き出したにもかかわらず、これらの運動を説明する理論を開発することはできなかった。^{[ 2 ]}アイザック・ニュートンは重力の概念に基づいた最初の理論を作成した。アルバート・アインシュタインの一般相対性理論は、現代物理学における重力の現在の記述である。一般相対性理論における二体問題には閉じた形式の解はない。

アイザック・ニュートン

1665年から1666年にかけて、アイザック・ニュートンは運動、重力、微分積分に関するいくつかの概念を発展させた。しかし、これらの概念は1687年に『プリンキピア』で発表されるまで公表されず、その中で彼は運動の法則と万有引力の法則を概説した。彼の3つの運動法則のうち2番目の法則は次のとおりである。

物体の加速度は、物体に作用する正味の力と平行で正比例し、正味の力と同じ方向であり、物体の質量に反比例する。
$\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$
どこ：
$\mathbf {F}$ 力ベクトル
$m$ は、力が作用する物体の質量である。
$\mathbf {a}$ は加速度ベクトルであり、位置ベクトルの時間微分である。 $\mathbf {r}$

厳密に言えば、この形式の方程式は質量が一定の物体にのみ適用され、これは以下の単純化された仮定に基づいて成り立つ。

ニュートンの万有引力の法則の仕組み。点質量m _{1 は、}別の点質量m ₂を力F ₂で引き付けます。この力は、2 つの質量の積に比例し、それらの間の距離 ( *r ) の 2 乗に反比例します。質量や距離に関係なく、* | F ₁|と| F ₂|の大きさは常に等しくなります。Gは重力定数です。

ニュートンの万有引力の法則は次のように述べている。

すべての点質量は、他のすべての点質量を、両点を結ぶ直線に沿った力で引き付けます。この力は、2つの質量の積に比例し、点質量間の距離の2乗に反比例します。
$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$
どこ：
$F$ これは、2つの点質量間の重力の大きさです。
$G$ は重力定数です
$m_{1}$ 最初の点質量の質量は
$m_{2}$ は2番目の点質量の質量です
$r$ は2つの点質量間の距離です

ニュートンは運動の法則と万有引力の法則から、天文学における軌道運動に特化したケプラーの法則を導き出しました。ケプラーの法則は観測データによって十分に裏付けられていたため、この一貫性はニュートンの一般化理論の妥当性を強く支持し、天体力学と通常の力学を統一しました。これらの運動法則は、 20世紀初頭にアルバート・アインシュタインが特殊相対性理論と一般相対性理論の概念を導入するまで、現代天体力学の基礎を形成しました。ほとんどの応用において、ケプラー運動は惑星や衛星の運動を比較的高い精度で近似し、天文学や宇宙力学で広く用いられています。

簡略化された二体問題

二体システムにおける物体の運動を解くには、2つの簡略化された仮定を置くことができる。

これらの物体は球対称であり、点質量として扱うことができる。
これらの物体には、互いの引力以外に、外部または内部の力が作用していない。

大きな天体の形状は球形に近い。対称性から、質量点が均質な球体に向かって働く正味の重力は、その球体の中心に向かって働くはずである。シェル定理（これもアイザック・ニュートンによって証明された）によれば、球体の密度が深さによって変化する場合でも（ほとんどの天体の場合がそうであるように）、この力の大きさは、すべての質量が球体の中心に集中している場合と同じである。このことから、2つの均質な球体間の引力は、両方の球体の質量が中心に集中している場合と同じであることが直ちに導かれる。

小惑星や宇宙船のような小さな物体は、球形から大きく逸脱した形状をしていることが多い。しかし、こうした形状の不規則性によって生じる重力は、中心天体の重力に比べて一般的に小さい。また、不規則な形状と完全な球形との差は距離とともに小さくなり、ほとんどの軌道距離は小さな軌道天体の直径に比べて非常に大きい。そのため、用途によっては、形状の不規則性を無視しても精度に大きな影響はない。この効果は、特に低軌道にある人工地球衛星において顕著である。

惑星はそれぞれ異なる速度で自転するため、遠心力によってわずかに扁平な形状になることがあります。このような扁平な形状では、重力は均質な球体の場合とは多少異なります。しかし、遠距離ではこの扁平の影響は無視できるほど小さくなります。太陽系における惑星の運動は、惑星を点質量として扱うことで十分な精度で計算できます。

質量を持つ2つの点質量物体 $m_{1}$ そして $m_{2}$ および位置ベクトル $\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ そして $\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ある慣性基準系に対して、重力を経験する：

$m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ $m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

どこ $\mathbf {r}$ は、質量1と質量2の相対位置ベクトルであり、次のように表されます。

$\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

そして $\mathbf {\hat {r}}$ はその方向の単位ベクトルであり、 $r$ これはそのベクトルの長さです。

それぞれの質量で割り、最初の式から2番目の式を引くと、2番目の物体に対する最初の物体の加速度を表す運動方程式が得られる。

どこ $\alpha$ は重力パラメータであり、

$\alpha =G(m_{1}+m_{2})$

多くの応用例において、3つ目の簡略化のための仮定を設けることができる。

中心天体と比較すると、周回天体の質量は取るに足らない。数学的には、m ₁ >> m ₂なので、

α = G (m 1 + m 2) \approx Gm 1

となる。このような標準的な重力パラメータは、しばしば次のように表される。

\mu =G\,M

太陽、主要惑星、月など、はるかに質量が大きいものについては、広く利用可能である。

M

軌道上の衛星よりも。

この仮定は、単純化された二体問題を解くために必要ではありませんが、特に地球を周回する衛星や太陽を周回する惑星の場合、計算を簡略化します。木星の質量でさえ、太陽の質量より 1047 分の 1 ですが、^{[ 3 ]}これはαの値に 0.096% の誤差をもたらします。注目すべき例外としては、地球-月系 (質量比 81.3)、冥王星-カロン系 (質量比 8.9)、および連星系があります。これらの仮定の下では、二体の場合の微分方程式は数学的に完全に解くことができ、結果として得られるケプラーの惑星運動の法則に従う軌道は「ケプラー軌道」と呼ばれます。すべての惑星の軌道は、高精度で太陽の周りのケプラー軌道です。わずかなずれは、惑星間の重力の引力がはるかに弱いこと、および水星の場合は一般相対性理論によるものです。地球を周回する人工衛星の軌道は、太陽、月、そして地球の扁平率によるわずかな摂動を除けば、おおむねケプラー軌道である。重力だけでなく、太陽放射圧や大気抵抗などの非重力的な力もすべて考慮して運動方程式を数値的に積分する必要がある高精度なアプリケーションでは、ケプラー軌道の概念が極めて重要であり、広く用いられている。

ケプラー要素

ケプラー軌道は、6つのパラメータで定義できます。3次元空間を移動する物体の運動は、位置ベクトルと速度ベクトルによって特徴付けられます。各ベクトルは3つの成分を持つため、空間内の軌道を定義するために必要な値の総数は6つです。軌道は一般的に、位置と速度から計算できる6つの要素（ケプラー要素として知られています）によって定義され、そのうち3つについては既に説明しました。これらの要素は、6つのうち5つが摂動のない軌道では変化しない（常に変化する2つのベクトルとは対照的）という点で便利です。軌道内の物体の将来の位置を予測でき、軌道要素から新しい位置と速度を容易に得ることができます。

2つは軌道の大きさと形状を定義する。

半長軸（ $a$ ）
奇抜さ（ $e$ ）

軌道面の向きを定義する3つの要素：

傾斜（ $i$ ) は、軌道面と基準面との間の角度を定義します。
昇交点の経度（ $\Omega$ ) は、基準方向と基準面上の軌道の上方交差（昇交点）との間の角度を定義します。
周軸の引数（ $\omega$ ）は、昇交点と周点の間の角度を定義します。

そして最後に：

真の異常（ $\nu$ ）は、軌道に沿った軌道上の物体の位置を近点から測定して定義します。真近点の代わりにいくつかの代替値を使用できますが、最も一般的なのは $M$ 平均異常値と $T$ 周転からの経過時間。

なぜなら $i$ 、 $\Omega$ そして $\omega$ これらは単に基準座標系における軌道の向きを定義する角度測定値であり、軌道面内における物体の運動を議論する際には必ずしも必要ではありません。ここでは完全性のために言及していますが、以下の証明には必須ではありません。

上記の微分方程式（1）の数学的解

任意の中心力、すなわちrに平行な力の下での運動の場合、特定の相対角運動量は $\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ 一定のままです: ${\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0}$

位置ベクトルとその速度の外積は一定なので、それらは同じ平面上にあり、 $\mathbf {H}$ これは、ベクトル関数が平面曲線であることを意味します。

この方程式は原点に関して対称性を持つため、極座標で解く方が容易です。ただし、式（1）は線形加速度を表しています。 $\left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),$ 角張ったものとは対照的に $\left({\ddot {\theta }}\right)$ または放射状 $\left({\ddot {r}}\right)$ 加速度。したがって、方程式を変換する際には注意が必要です。デカルト座標系を導入する $({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})$ および極座標単位ベクトル $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})$ に直交する平面内で $\mathbf {H}$ :

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$

ベクトル関数 $\mathbf {r}$ そしてその導関数は次のように書き換えることができる。

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}$

（「ベクトル解析」を参照）。これらを（1）に代入すると、次のようになる。 $\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}$

これは2つの変数に関する常微分方程式を与える。 $r$ そして $\theta$ :

この方程式を解くには、すべての時間微分項を消去する必要があります。その結果、次の式が得られます。 $H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}$

（３）の時間微分をとると、

式（3）と（4）は、以下の時間微分を消去するために使用できる。 $\theta$ . 時間微分を消去するために $r$ 連鎖律は、適切な置換を見つけるために使用されます。

これら4つの置換を用いると、( 2 )のすべての時間微分項を消去することができ、次の常微分方程式が得られる。 $r$ 関数として $\theta .$ ${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$ ${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$ ${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}$

微分方程式（7）は変数置換によって解析的に解くことができる。

微分に連鎖律を用いると、次のようになる。

式（10）と（9）を用いて ${\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}$ そして ${\frac {dr}{d\theta }}$ 手に入れる

一般解

ここで、eと $\theta _{0}$ は、 sの初期値とに依存する積分定数です。 ${\tfrac {ds}{d\theta }}.$

積分定数を使用する代わりに $\theta _{0}$ 明示的に、単位ベクトルが次の慣例を導入する。 ${\hat {x}},{\hat {y}}$ 軌道面における座標系を定義するために、 $\theta _{0}$ はゼロの値を取り、eは正の値を取る。これはつまり、 $\theta$ は、 $s$ 最大であるため $r={\tfrac {1}{s}}$ 最小値です。パラメータpを次のように定義します。 ${\tfrac {H^{2}}{\alpha }}$ 1つは

$r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}$

別の派生語

極座標微分方程式を用いずにこの方程式を解く別の方法は次のとおりです。

単位ベクトルを定義する $\mathbf {u}$ 、 $\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}$ 、したがって $\mathbf {r} =r\mathbf {u}$ そして ${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u}$ したがって、 $\mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}$

次に考えてみましょう ${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]$

（ベクトル三重積を参照）。 $\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1$ $\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0$

これらの値を前の式に代入すると、次のようになります。 ${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}$

両側面を統合する： ${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c}$

ここで、cは定数ベクトルである。これにrを内積すると、興味深い結果が得られる。 $\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))$ どこ $\theta$ 角度は $\mathbf {r}$ そして $\mathbf {c}$ rを求める: $r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.$

注目してください $(r,\theta )$ これらは実質的にベクトル関数の極座標です。置換を行うと $p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}$ そして $e={\tfrac {c}{\alpha }}$ 再び、次の式が得られる。

これは、焦点を原点とする円錐曲線の極座標方程式です。 $\theta$ これは「真の異常」と呼ばれます。

偏心ベクトル

また、次の点にも注意してください。 $\theta$ 位置ベクトル間の角度 $\mathbf {r}$ 積分定数 $\mathbf {c}$ ベクトル $\mathbf {c}$ 軌道の近点方向を指している必要があります。すると、軌道に関連付けられた 離心率ベクトルは次のように定義できます。 $\mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}$

どこ $\mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ は軌道の一定の角運動量ベクトルであり、 $\mathbf {v}$ は位置ベクトルに関連付けられた速度ベクトルです。 $\mathbf {r}$ 。

明らかに、偏心ベクトルは、積分定数と同じ方向を向いている。 $\mathbf {c}$ 、また軌道の近点方向を指し、軌道離心率の大きさを持ちます。このため、状態ベクトル[ $\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}}$ ] または [ $\mathbf {r} ,\mathbf {v}$ ]は既知である。

軌道方程式の特性

のために $e=0$ これは半径pの円です。

のために $0<e<1,$ これは楕円で

のために $e=1$ これは焦点距離を持つ放物線です ${\tfrac {p}{2}}$

のために $e>1$ これは双曲線で

以下の画像は、円（灰色）、楕円（赤）、放物線（緑）、双曲線（青）を示しています。

**ケプラー軌道**の様々な形状とその離心率を示した図。青色は双曲線軌道（e > 1）、緑色は放物線軌道（e = 1）、赤色は楕円軌道（0 < e < 1）、灰色は円軌道（e = 0）を表す。

焦点から右方向に伸びる水平線上の点は、 $\theta =0$ 焦点までの距離が最小値をとる場合 ${\tfrac {p}{1+e}},$ 近心。楕円には、焦点までの距離が最大となる遠心も存在する。 ${\tfrac {p}{1-e}}.$ 双曲線の場合、範囲は $\theta$ は $-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)$ 放物線の場合、範囲は $-\pi <\theta <\pi$

微分に関する連鎖律（5）、式（2 ）、およびpの定義を用いると、 ${\frac {H^{2}}{\alpha }}$ 視線速度成分は次のようになる。

そして、接線成分（速度成分は $V_{r}$ ）は

極性論証との関連性 $\theta$ また、時間tは楕円軌道と双曲線軌道でわずかに異なります。

楕円軌道の場合、「離心近点角」Eに切り替えます。

そして結果として

角運動量Hは

時間tに関して積分すると、

時間という仮定の下で $t=0$ は、積分定数がゼロになるように選択される。

pの定義により、

これは次のように書くことができる

双曲線軌道の場合、パラメーター化には双曲線関数を用いる。

そのためには

角運動量Hは

時間tに関して積分すると、

つまり

ある特定の真異常に対応する時刻 t を求めるには $\theta$ 楕円軌道の場合は関係式（ 27 ）で、双曲軌道の場合は関係式（34 ）で時間に関連する対応するパラメータEを計算する必要がある。

関係式（27）と（34）は、範囲間のマッピングを定義することに注意してください。 $\left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$

追加の数式

楕円軌道

楕円軌道の場合、 ( 20 )と( 21 )から

したがって

（３６）より、 $\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}$

偏心近点角を定義する幾何学的構成から、ベクトルが $(\cos E,\sin E)$ そして $(\cos \theta ,\sin \theta )$ これらはx軸の同じ側にあります。このことから、ベクトルは $\left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)$ そして $\left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)$ 同じ象限にある。したがって、

そしてそれは

どこ " $\arg(x,y)$ 「はベクトルの極座標引数です」 $(x,y)$ また、nは次のように選択される。 $|E-\theta |<\pi$

数値計算のために $\arg(x,y)$ 例えばプログラミング言語FORTRANで利用可能な標準関数ATAN2(y,x)（または倍精度ではDATAN2(y,x)）を使用できます。

これは範囲間のマッピングであることに注意してください $\left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$

双曲線軌道

双曲軌道の場合、（28）と（29）から、

したがって

として $\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}$ そして $\tan {\frac {\theta }{2}}$ そして $\tanh {\frac {E}{2}}$ 同じ符号を持つということは、

この関係は、「真の異常値」とパラメータEの間を行き来するのに便利であり、後者は関係式 ( 34 ) によって時間と結び付けられています。これは範囲間のマッピングであることに注意してください。 $\left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]$ そしてそれは ${\tfrac {E}{2}}$ 関係式を用いて計算できる $\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$

関係式（27 ）から、楕円軌道の軌道周期Pは次のようになる。

関係式（１）の力場に対応するポテンシャルエネルギーは $-{\frac {\alpha }{r}}$ （ 13）、（14）、（18）および（19 ）から、運動エネルギーと位置エネルギーの合計が ${\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}$ 楕円軌道の場合

（ 13）、（16）、（18）および（19 ）より、双曲線軌道の運動エネルギーと位置エネルギーの合計は

慣性座標系に対して ${\hat {x}},{\hat {y}}$ 軌道面において ${\hat {x}}$ 近点に向かうにつれて、（18）と（19）から速度成分は次のようになる。

中心の方程式は、楕円軌道において、離心率が小さい場合の平均近点角と真近点角の関係を表す。

放物線軌道

放物線軌道の場合、 $e=1$ そして $p=2f$ （１３）において、極座標における軌道は次のようになる。

$r={\frac {2\,f}{1+\cos \theta }}$

これにより、デカルト座標系における軌道は次のようになる。

$y^{2}=-4\,f\,(x-f)$

これは焦点距離が放物線^{[ 4 ]である。} $f$ そして原点に焦点を合わせる。放物線はマイナス無限大まで伸びる。 $x$ 真の異常値に関して言えば $\theta$ および周角距離 $q=f$ x座標とy座標の式は^{[ 5 ]である。}

${\begin{aligned}x&=q\,{\Big (}1-\tan ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\\y&=2\,q\,\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\end{aligned}}$

必要に応じて

${\begin{aligned}{\frac {y}{x}}&=\tan \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=q\,\sec ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}={\frac {2\,q}{1+\cos \theta }}\end{aligned}}$

その地域 $S(\theta )$ 半径ベクトルによって近点から掃き出されたのは

${\begin{aligned}S(\theta )=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d\theta \,&=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}\,q^{2}\,\sec ^{4}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\,d\,\theta =\int \limits _{0}^{\theta }q^{2}\,{\Big (}1+\tan ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\;d\,\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\\&=\,q^{2}{\Big (}\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}+{\frac {1}{3}}\,\tan ^{3}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}{\Big )}\end{aligned}}$

ケプラーの第二法則（面積が等しい時間で変化するという法則）によれば、これは時間に比例するはずである。 $t$ 周位以来。 $q^{2}K$ 比例定数となるように

$S(\theta )=q^{2}\,K\,t$

tに関して微分すると

${\frac {d\,\theta }{d\,t}}=2\,K\,\cos ^{4}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}$

エネルギー保存の法則により、運動エネルギーの合計は $KE$ および位置エネルギー $PE$ 依存してはならない $\theta$ これらは以下によって与えられます。

${\begin{aligned}KE&={\frac {1}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {q^{2}}{2}}\,\sec ^{6}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\,{\Big (}{\frac {d\,\theta }{d\,t}}{\Big )}^{2}=2\,q^{2}\,K^{2}\,\cos ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\\PE&={\frac {-G\,M}{r}}={\frac {-G\,M}{q}}\,\cos ^{2}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}\end{aligned}}$

のために $KE+PE$ 独立している $\theta$ それはきっと

$K={\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}$

これにより、予想どおり全エネルギーはゼロになります。次に^{[ 6 ]}

$\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}+{\frac {1}{3}}\,\tan ^{3}{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}={\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}\,t$

これはバーカー方程式であり、正確に解くことができる。 $\theta (t)$ この三次方程式を解くには、

$\tan {\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Big )}=B-{\frac {1}{B}}$

取得する

$B^{3}-{\frac {1}{B^{3}}}\,=2\,A\;{\text{for}}\;A={\frac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {G\,M}{2\,q^{3}}}}\,t$

これは二次方程式です $B^{3}$ 解決策がある

$B={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}$

与えられた初期状態に対応するケプラー軌道の決定

これは、6次元の「状態ベクトル」に関する1階微分方程式である微分方程式（1 ）の「初期値問題」です。 $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ 次のように書くと

初期「状態ベクトル」の任意の値に対して $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$ この初期値問題の解に対応するケプラー軌道は、以下のアルゴリズムで求めることができます。

直交単位ベクトルを定義する $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})$ を通して

と $r>0$ そして $V_{t}>0$

（１３）、（１８）および（１９）より、

そして定義することによって $e\geq 0$ そして $\theta$ そのため

どこ

真の近点角に対してケプラー軌道が得られる $\theta$ 同じ $r$ を持ち、 $V_{r}$ そして $V_{t}$ 値は（50）および（51）で定義される値と同様である。

このケプラー軌道も同じ $({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})$ この真の異常値のベクトル $\theta$ （５０）および（５１）で定義される状態ベクトル $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ ケプラー軌道の値は望ましい値をとる $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$ 真の異常値の場合 $\theta$ 。

標準慣性固定座標系 $({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})$ 軌道面において（ ${\hat {\mathbf {x} }}$ 均質球の中心から周心に向かう方向）円錐断面（楕円、放物線、双曲線）の向きを定義する関係式によって、

関係式（53）と（54）は、次の場合に特異点を持つことに注意してください。 $V_{r}=0$ そして $V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}$ つまり

つまり、初期状態に適合する円軌道であるということである。 $(\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})$

ケプラーの接触軌道

任意の状態ベクトルに対して $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ この状態に対応するケプラー軌道は、上述のアルゴリズムを用いて計算できる。まず、パラメータ $p,e,\theta$ から決定されます $r,V_{r},V_{t}$ そして軌道面内の直交単位ベクトル ${\hat {x}},{\hat {y}}$ 関係式（56）および（57）を用いる。

運動方程式が

どこ $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$ 以外の関数です $-\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}$ 結果として得られるパラメータ $p$ 、 $e$ 、 $\theta$ 、 ${\hat {\mathbf {x} }}$ 、 ${\hat {\mathbf {y} }}$ 定義される $\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}$ ケプラー軌道の場合とは異なり、パラメータのみが時間とともに変化する。 $\theta$ 状況によって異なります。

このようにして計算されたケプラー軌道は、時刻 $tにおける「運動方程式」($ 59 )の解と同じ「状態ベクトル」を持ち、この時刻において「接触」していると言われます。

この概念は、例えば次のような場合に役立ちます。 $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$ どこ $\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)$

これは、例えば他の天体からの微弱な重力による小さな「摂動力」です。そのため、ケプラー軌道のパラメータはゆっくりとしか変化せず、ケプラー軌道は、接触の前後のかなりの期間において、実際の軌道の良い近似値となります。

この概念は、動力飛行中のロケットにも役立つ。なぜなら、推力が停止した場合にロケットがどのケプラー軌道を継続するかを予測できるからである。

「ほぼ円形」の軌道の場合、「離心率ベクトル」の概念は次のように定義されます。 $\mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}$ は有用である。( 53 )、( 54 )および( 56 )から、

つまり $\mathbf {e}$ は状態ベクトルの滑らかで微分可能な関数である $(\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ また、この状態が円軌道に対応する場合も同様です。

参考文献

↑コペルニクス。513～514ページ
↑ベイト、ミューラー、ホワイト。177～181ページ
↑ 「NASAウェブサイト」。 2011年2月16日のオリジナルからアーカイブ済み。2012年8月12日取得。
↑ブランナン、デイビッド A; エスプレン、マシュー F;グレイ、ジェレミー J (2012).幾何学、第 2 版. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 12. ISBN 978-1-107-64783-1。
↑オリバー、モンテンブリュック。トーマス・プフレガー (2003)。パーソナルコンピュータ上の天文学。ベルリンハイデルベルクニューヨーク: Springer。 p. 64.ISBN 978-3-662-11187-1。
↑オリバー、モンテンブリュック。プフレガー、トーマス。パーソナルコンピュータ上の天文学。 p. 64.

さらに読む

エル・ヤスベルグ著「人工地球衛星の飛行理論」、イスラエル科学翻訳プログラム（1967年）
ベイト、ロジャー；ミューラー、ドナルド；ホワイト、ジェリー（1971）。宇宙力学の基礎。ドーバー出版、ニューヨーク。ISBN 0-486-60061-0。
コペルニクス、ニコラウス（1952）、「天体の運動は規則的で円運動であり、永遠である―あるいは円運動の集合体である」、『天球の回転について』、西洋古典叢書第 16巻、チャールズ・グレン・ウォリス訳、シカゴ：ウィリアム・ベントン、497～ 838頁

外部リンク

任意の長半径と離心率の値で、地球の周りを楕円軌道（ケプラー軌道）で周回する人工衛星の軌道をアニメーション表示するJavaアプレット。

[1] コペルニクス。513～514ページ

[2] ベイト、ミューラー、ホワイト。177～181ページ

[3] 「NASAウェブサイト」。 2011年2月16日のオリジナルからアーカイブ済み。2012年8月12日取得。

[4] ブランナン、デイビッド A; エスプレン、マシュー F;グレイ、ジェレミー J (2012).幾何学、第 2 版. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 12. ISBN 978-1-107-64783-1。

[Montenbruck-5] オリバー、モンテンブリュック。トーマス・プフレガー (2003)。パーソナルコンピュータ上の天文学。ベルリンハイデルベルクニューヨーク: Springer。 p. 64.ISBN 978-3-662-11187-1。

[6] オリバー、モンテンブリュック。プフレガー、トーマス。パーソナルコンピュータ上の天文学。 p. 64.

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]である。

[ 5 ]である。

[ 6 ]