標準重力パラメータ

軌道系の中心天体は、その質量（M）が周回天体の質量（m）よりもはるかに大きい天体、すなわち M ≫ m と定義できます。この近似は、太陽を周回する惑星やほとんどの衛星に対して標準的に用いられ、方程式を大幅に簡略化します。ニュートンの万有引力の法則によれば、天体間の距離がrの場合、小さい方の天体に働く力は次のようになります。 $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {\mu m}{r^{2}}}}$$

したがって、より小さな天体の運動を予測するには、GとMの積だけが必要です。逆に、より小さな天体の軌道の測定では、積μの情報しか得られず、GとMの個別の情報は得られません。重力定数Gは高精度で測定するのが難しいですが、^{[ 13 ]}軌道は、少なくとも太陽系では、非常に高い精度で測定でき、同様の精度でμ を決定するために使用できます。

中心天体の周りの円軌道の場合、重力によって生じる向心力はF = mv ² r ⁻¹です。 $${\displaystyle \mu =rv^{2}=r^{3}\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}r^{3}}{T^{2}}},}$$ ここで、 rは軌道半径、vは軌道速度、ωは角速度、Tは軌道周期である。

これは楕円軌道にも一般化できる。 $${\displaystyle \mu ={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{T^{2}}},}$$ ここでaは長半径であり、これはケプラーの第三法則です。

放物線軌道 の場合、rv ²は定数で 2 μに等しくなります。楕円軌道と双曲線軌道の場合、μの大きさはa の大きさの 2 倍とεの大きさの 2 倍になります。ここで、aは軌道長半径、εは比軌道エネルギーです。

より一般的な場合、つまり天体が大小2つである必要はなく、例えば連星系の場合、以下のように定義します。

• ベクトルrは、一方の物体の他方の物体に対する相対的な位置を表す。
• r、v 、そして楕円軌道の場合は長半径aは、それぞれ次のように定義される（したがって、rは距離である）。
• μ = Gm ₁ + Gm ₂ = μ ₁ + μ ₂、ここでm ₁とm ₂は 2 つの物体の質量です。

それから：

• 円軌道の場合、rv ² = r ³ ω ² = 4π ² r ³ / T ² = μ
• 楕円軌道の場合、4π ² a ³ / T ² = μ (a はAU で表され、Tは年、M は太陽に対する全質量を表すので、a ³ / T ² = Mとなります)
• 放物線軌道の場合、rv ^{2は定数で}2μに等しい。
• 楕円軌道と双曲線軌道の場合、μは半長軸の2倍に比軌道エネルギーの負の値を掛けたもので、後者は系の全エネルギーを換算質量で割ったものとして定義されます。

標準重力パラメータは、物体の表面上で振動する振り子を使用して次のように決定できます。 ^{[ 14 ]}

$$\displaystyle \mu \approx \frac {4\pi ^{2}r^{2}L}{T^{2}}}}$$ ここで、 rは重力体の半径、Lは振り子の長さ、Tは振り子の周期である（近似の理由については、「力学における振り子」を参照）。

G M _{🜨 は、}地球を中心天体とする重力パラメータであり、地心重力定数と呼ばれます。これは、(3.986 004 418 ± 0.000 000 008 ) × 10 ¹⁴  m ³ ⋅s ⁻²。^{[ 4 ]}

この定数の値は、1950年代の宇宙飛行の開始とともに重要になり、1960年代にはそれをできるだけ正確に決定するために多大な努力が払われた。サギトフ（1969）は、1960年代の高精度測定から報告された値の範囲を挙げており、相対不確かさは10⁻⁶のオーダーで^ある。^{[ 15 ]}

1970年代から1980年代にかけて、地球軌道上の人工衛星の増加により高精度測定がさらに容易になり、相対不確実性はさらに3桁減少し、約1992年時点で2 × 10 ⁻⁹ (5億分の1)。測定には、衛星から地球局までの距離をさまざまな時点で観測することが含まれており、レーダーまたはレーザー測距を使用して高精度で取得できます。^{[ 16 ]}

G M _{☉ は}、中心天体としての太陽の重力パラメータであり、太陽中心重力定数または太陽のジオポテンシャルと呼ばれ、(1.327 124 400 42 ± 0.000 000 0001 ) × 10 ²⁰  m ³ ⋅s ⁻² . ^{[ 1 ]}

2015年時点で10 ⁻¹⁰未満とされているG M _☉の相対的不確実性は、 G M _🜨の不確実性よりも小さい 。これは、 G M _☉が惑星間探査機の測距から導出され、それらの距離測定の絶対誤差が地球衛星の測距とほぼ同じであるのに対し、関係する絶対距離ははるかに大きいためである。