放物線軌道

天体力学または天体力学において、放物線軌道は離心率( e )が1 のケプラー軌道であり、楕円軌道と双曲線軌道の境界に正確に位置する非束縛軌道です。光源から遠ざかる場合は脱出軌道、そうでない場合は捕獲軌道と呼ばれます。また、放物線軌道と呼ばれることもあります。${\displaystyle C_{3}=0}$軌道（特性エネルギーを参照）。

標準的な仮定の下では、脱出軌道に沿って移動する物体は、中心天体に対する相対速度がゼロに近づきながら、放物線軌道に沿って無限遠まで進み、したがって二度と戻ってくることはありません。放物線軌道は最小エネルギー脱出軌道であり、正のエネルギーを持つ双曲線軌道と負のエネルギーを持つ楕円軌道を区別します。

1609 年、ガリレオは102 冊目のフォリオ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( MS . Gal 72 ^{[ 3 ]} )で放物線軌道の計算について書きました^{[ 1 ]} 。これは後にDiscorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze as projectiles impetusに記載されています。^{[ 4 ]}

軌道速度（${\displaystyle v}$放物線軌道に沿って移動する物体の速度は、次のように計算できます。

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over r}}}$

どこ：

• ${\displaystyle r}$は、周回する天体から中心天体までの半径方向の距離です。
• ${\displaystyle \mu }$は標準重力パラメータです。

軌道上の物体は、どの位置においても、その位置における脱出速度を持っている。

物体が地球に対して脱出速度を持っていたとしても、それだけでは太陽系から脱出するには不十分であるため、地球に近い場所では軌道は放物線に似ているが、遠ざかるにつれて軌道は曲がり、太陽の周りを楕円軌道で公転するようになる。

この速度（${\displaystyle v}$）は、放物線軌道上の軌道上の物体の半径位置に等しい半径の円軌道上の物体の軌道速度と密接に関係している。

${\displaystyle v={\sqrt {2}}\,v_{o}}$

どこ：

• ${\displaystyle v_{o}}$は円軌道上の物体の軌道速度です。

このような軌道に沿って運動する物体の場合、軌道方程式は次のようになります。

${\displaystyle r={h^{2} \over \mu }{1 \over {1+\cos \nu }}}$

どこ：

• ${\displaystyle r\,}$は、周回する天体から中心天体までの半径方向の距離です。
• ${\displaystyle h\,}$は軌道上の物体の比角運動量であり、
• ${\displaystyle \nu \,}$軌道上の天体の真の異常は、
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準重力パラメータです。

標準的な仮定の下では、比軌道エネルギー（${\displaystyle \epsilon }$放物線軌道の ) はゼロなので、この軌道の軌道エネルギー保存方程式は次のようになります。

$\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over r}=0}$

どこ：

• ${\displaystyle v\,}$は軌道上の物体の軌道速度であり、
• ${\displaystyle r\,}$は、周回する天体から中心天体までの半径方向の距離です。
• ${\displaystyle \mu \,}$は標準重力パラメータです。

これは、特性エネルギー（無限遠での速度の二乗）が0であることと完全に同等である。

${\displaystyle C_{3}=0}$

バーカーの方程式は飛行時間を関連付けている${\displaystyle t}$真の異常へ${\displaystyle \nu }$放物線軌道の場合：^{[ 5 ]}

${\displaystyle t-T={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

どこ：

• ${\displaystyle D=\tan {\frac {\nu }{2}}}$補助変数です
• ${\displaystyle T}$周視通過の時間
• ${\displaystyle \mu }$は標準重力パラメータです
• ${\displaystyle p}$は軌道の半正弦であり、次式で与えられる。${\displaystyle p=h^{2}/\mu }$

より一般的には、軌道上の任意の2点間の時間（エポック）は

${\displaystyle t_{f}-t_{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {p^{3}}{\mu }}}\left(D_{f}+{\frac {1}{3}}D_{f}^{3}-D_{0}-{\frac {1}{3}}D_{0}^{3}\right)}$

あるいは、この方程式は近点距離を用いて放物線軌道で表すこともできる。${\displaystyle r_{p}=p/2}$:

${\displaystyle t-T={\sqrt {\frac {2r_{p}^{3}}{\mu }}}\left(D+{\frac {1}{3}}D^{3}\right)}$

楕円軌道や双曲線軌道の真近点角を求めるために用いられるケプラー方程式とは異なり、バーカー方程式の真近点角は直接解くことができる。${\displaystyle t}$以下の置換が行われた場合

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)\\[3pt]B&={\sqrt[{3}]{A+{\sqrt {A^{2}+1}}}}\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(B-{\frac {1}{B}}\right)}$

双曲線関数では、解は次のように表現することもできます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle \nu =2\arctan \left(2\sinh {\frac {\mathrm {arcsinh} {\frac {3M}{2}}}{3}}\right)}$

どこ

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{2r_{p}^{3}}}}(t-T)}$

放射状放物線軌道とは、直線上の非周期軌道であり、2つの物体の相対速度が常に脱出速度となる軌道である。物体が互いに遠ざかる場合と、互いに近づく場合の2つのケースがある。

位置を時間の関数として表す、比較的単純な式がある。

${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{{\frac {9}{2}}\mu t^{2}}}}$

どこ

• ${\displaystyle \mu }$は標準重力パラメータです
• ${\displaystyle t=0\!\,}$これは、中心体の中心における仮想的な開始または終了時刻を外挿した時間に相当する。

いつでも平均速度は${\displaystyle t=0\!\,}$これは現在の速度の1.5倍、つまり局所的な脱出速度の1.5倍である。

持つ${\displaystyle t=0\!\,}$地表では、時間シフトを適用します。地球（および同じ平均密度を持つ他の球対称物体）を中心物体とした場合、この時間シフトは 6 分 20 秒です。この期間が 7 回経過すると、地表からの高さは半径の 3 倍になります。

• ケプラー軌道
• 放物線