クレンペラー ロゼット

クレンペラー・ロゼットは、共通の重心の周りを対称パターンで周回する、（オプションで）交互に重い物体と軽い物体からなる重力システムです。これは1962年にWBクレンペラーによって初めて説明され、 ^[1]中心配置の特殊なケースです。

クレンペラーはロゼットシステムを次のように説明しました。

このような対称性は、「ロゼット」と表現される特殊な幾何学的構成にも見られます。これらのロゼットでは、2 種類 (またはそれ以上) の「惑星」が偶数個配置され、一方 (またはいくつか) は他方より重いものの、各セットの質量はすべて等しく、軽いものと重いものが交互に (または循環的に) 並ぶように、2 種類 (またはそれ以上) の正多角形の角に配置されます。^{[1] (p 163)}

最も単純なロゼットは、互いに 90 度離れた、重い物体と軽い物体が交互に並ぶ 4 つの菱形構成 [重い、軽い、重い、軽い] です。この場合、2 つの大きい物体は同じ質量を持ち、同様に 2 つの小さい物体も同じ質量を持ち、すべてが (空の) 幾何学的中心を周回します。より一般的なトロヤ群では、2 つの重い物体の質量が不均等です。クレンペラーはこれを「菱形」システムとも呼び、重心を中心に対称ではない唯一のバージョンです。

「質量タイプ」の数は、配置が対称的で循環的なパターンである限り、増やすことができます。例: [ 1,2,3 ... 1,2,3 ]、[ 1,2,3,4,5 ... 1,2,3,4,5 ]、[ 1,2,3,3,2,1 ... 1,2,3,3,2,1 ] など。

クレンペラーの論文は、2～9 の角を持つ正多角形（ダンベル形から九角形まで）と、中心対称でない「菱形ロゼット」を特に分析しています。このロゼットは3つの軌道物体を持ち、外側の 2 つは中央の軌道物体の三角形の点（L4 と L5）に配置されています。これらは、1772 年にラグランジュによってすでに記述され、研究されていました。^[2] 4 つ以上の偶数個の角を持つシステムでは、角に重い質量と軽い質量が交互に配置されますが、質量比の可能な範囲は準安定性の要件によって制限されます。つまり、角が奇数個のシステムでは、すべての角に等しい質量がなければなりません。クレンペラーは、すべてのロゼットと菱形が不安定になりやすいと指摘していますが、六角形のロゼットは「惑星」が互いの半安定三角形のラグランジュ点であるL4 と L5 に位置するため、最も安定しています。^{[1] （p 165）}

正多角形の構成（「ロゼット」）は中心質量を必要としない（中心の「太陽」はオプションであり、存在する場合は軌道面の上下に揺れる可能性がある）が、ラグランジュ型の菱形は中心質量を必要とする。中心物体が存在する場合、その質量によって軌道上の物体間の質量比の範囲が制限される。^[1]

「クレンペラー ロゼット」（よく「ケンプラーロゼット」と間違えられる）という用語は、3 つ以上の等しい質量が正多角形の 頂点に配置され、質量の中心の周りに等しい角速度が与えられた構成を意味するためによく使用されます。クレンペラーは確かに記事の冒頭でこの構成について言及していますが、実際のロゼットを紹介する前の、既知の平衡システムのセットとしてのみ言及しています。

ラリー・ニーヴンのリングワールドシリーズの小説『宇宙艦隊』では、操り人形師の同名の「宇宙艦隊」が、ニーヴンが「ケンプラーのロゼット」と呼ぶ配置^[a]で配置されている 。この (おそらく意図的な) スペルミスが、より広範な混乱の原因の 1 つである可能性がある。これらの架空の惑星が、重力に加えて、大型エンジンによって位置を維持されていたことは注目に値する。

単純な線形摂動解析とロゼットのシミュレーション^[4]の両方が、そのようなシステムが不安定であることを示しています。クレンペラーは、彼の最初の論文で、完全に対称的な形状からのずれは、成長する振動を引き起こし、最終的にシステムの崩壊につながると説明しています。^{[1] （pp 165–166）}ロゼットの中心が自由空間にあるか、中心の星の周りを周回しているかに関係なく、システムは不安定です。

不安定性の理由は簡単に言うと、摂動によって幾何学的対称性が崩れ、摂動が増大し、さらに幾何学が崩れる、という具合です。より長い説明は、接線摂動によって物体が隣の物体に近づき、別の物体から遠ざかるということです。重力の不均衡は、近い隣の物体に向かって大きくなり、遠い隣の物体に向かって小さくなるため、摂動を受けた物体はより近い隣の物体に引き寄せられ、摂動は減衰するのではなく増幅されます。内向きの放射状摂動は、摂動を受けた物体を他のすべての物体に近づけ、物体にかかる力と軌道速度を増大させます。これは間接的に接線摂動と上記の議論につながります。^[b]

• ジェンキンス、ボブ。 「クレンペラーのロゼット」。バートルバートル.net。物理学。2007 年 1 月 12 日に取得。— ロゼットシミュレーション

• リングワールドのラリー・ニーブン作「ケンプレラー（クレンペラー）ロゼット」。technovelgy.com。