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ヒッパルコス、プトレマイオス、コペルニクスの天文学体系において、周転円（古代ギリシア語のἐπίκυκλος（epíkuklos）「円の上」、つまり「別の円の上を動く円」を意味する）[ 1 ]は、月、太陽、惑星の見かけの運動の速度と方向の変化を説明するために使用された幾何学的モデルでした。特に、当時知られていた5つの惑星の見かけの逆行運動を説明しました。二次的に、惑星と地球の見かけの距離の変化も説明しました。
このモデルは、紀元前3世紀末に活躍したペルガのアポロニウスに帰せられることが多い。 [ 2 ] [ 3 ]紀元前2世紀にペルガのアポロニウスとロードスのヒッパルコスによって開発され、広く使用され、その後、紀元2世紀のプトレマイオスの天文学論文『アルマゲスト』で体系化され、広く使用された。
古代ギリシャの天文装置であるアンティキティラ機構では、月の楕円軌道を補正するために周転円運動が用いられています。月の軌道は、円軌道よりも近地点で速く、遠地点で遅く動きます。この機構では4つの歯車が使用され、そのうち2つは偏心した状態で噛み合っており、ケプラーの第2法則に非常に近いものとなっています。
周転円は惑星の見かけ上の運動を非常に正確に予測することができた。なぜなら、後にフーリエ解析によって示されたように、十分な数の周転円を用いれば、どんな滑らかな曲線でも任意の精度で近似できるからである。しかし、惑星の運動が太陽中心座標系から見ると大部分が楕円軌道を描いているという発見によって、周転円は次第に支持されなくなった。この発見は、単純な逆二乗法則に従う重力がすべての惑星運動をよりよく説明できるという結論につながった。
ヒッパルコス体系とプトレマイオス体系の両方において、惑星は周転円と呼ばれる小さな円の中を運動し、周転円はさらに従円と呼ばれる大きな円の中を運動すると想定されている（プトレマイオス自身はこの点を記述したが、名前は付けなかった[ 4 ]）。両方の円は東向きに回転し、これらの体系における太陽の見かけの軌道面（黄道）とほぼ平行である。この体系は地球中心であると考えられているにもかかわらず、どちらの円も地球を中心としているのではなく、各惑星の運動は地球からわずかに離れた惑星固有の点、すなわち離心点を中心としている。この体系における惑星の軌道はエピトロコイドに似ているが、周転円の角度が従円の角度の線形関数ではないため、厳密にはエピトロコイドではない。
ヒッパルコス体系では、周転円は従円に沿って等速回転していた。しかし、プトレマイオスは、彼が入手できたバビロニアの観測データとそれを整合させることができないことに気づいた。特に、見かけ上の逆行円の形状と大きさが異なっていた。周転円の角速度は、現在エクアントと呼ばれる別の点（プトレマイオスは名前を付けなかった）から測定しない限り一定ではなかった。一定だったのは、エクアントと地球の中間点（離心点）の周りを従円が回転する角速度であり、周転円の中心はエクアントから見た場合にのみ等時間で等角を掃く。等速回転を円状の従円の中心から切り離すためにエクアントを用いたことが、プトレマイオス体系の特徴であった。外惑星の場合、周転円の中心と惑星の間の角度は、地球と太陽の間の角度と同じであった。
プトレマイオスは『アルマゲスト』の中で惑星の相対的な大きさを予測していませんでした。彼の計算はすべて、一度に1つのケースを考慮した正規化された従属惑星に関して行われました。これは彼が惑星がすべて等距離にあると信じていたという意味ではなく、月を除いて距離を測定するための根拠がなかったということです。彼は一般的に、惑星を軌道周期に基づいて地球から外側に並べました。後に彼は『惑星仮説』の中でそれらの距離を計算し、この表の最初の列にまとめました。[ 5 ]
地球と太陽の距離に対する半径の値がもっと正確であれば、周転円の大きさはすべて地球と太陽の距離に近づいただろう。惑星はすべて個別に考えられているが、ある特異な点ではすべてが繋がっていた。すなわち、すべての惑星の周転中心を通る線はすべて、太陽から地球に引かれた線（水星と金星の位置を示す線）と平行だった。これは、すべての天体がプトレマイオスの太陽と同期して周転円を公転している（つまり、すべて正確に1年の周期を持っている）ことを意味する。
バビロニアの観測によると、外惑星は通常、夜空を恒星よりもゆっくりと移動する。毎晩、惑星は恒星より少し遅れて移動しているように見え、これを順行運動と呼ぶ。衝の近辺では、惑星は逆行運動を起こし、しばらくの間、恒星よりも速く夜空を移動し、その後再び逆行して順行運動に戻る。周転円理論は、この挙動を部分的に説明しようとした。
内惑星は常に太陽の近くに位置しており、日の出直前または日没直後にのみ姿を現す。これらの惑星の見かけ上の逆行運動は、地球と太陽の間を通過する際に、宵の明星から明けの明星へと変化する時期に起こる。
古代の天文学者たちが空を見上げると、太陽、月、星が規則的に頭上を移動しているのが見えました。バビロニア人は、宗教儀式のための時間計測を再調整し、維持する手段として、主に太陽と月の天体観測を行いました。[ 6 ]ギリシャなどの他の初期文明には、日食を初めて記録し予測したミレトスのタレス（紀元前585年） [ 7 ]やヘラクリデス・ポンティクスなどの思想家がいました。彼らはまた、「さまようもの」または「プラネタイ」（私たちの惑星）を見ていました。さまよう天体の動きの規則性は、それらの位置が予測できるかもしれないことを示唆していました。
天体の動きを予測するという問題に対する最も明白なアプローチは、単にそれらの位置を星野にマッピングし、変化する位置に数学関数を当てはめることでした。 [ 8 ]アナクシマンドロスによるグノモンの導入など、より優れた天体測定機器の導入により、ギリシャ人は、1年の日数や季節の長さなど、天体測定に不可欠な時間の経過をよりよく理解できるようになりました。 [ 9 ] [ 10 ]
古代の人々が地球中心説に基づいて研究を行ったのは、彼らが立って空を観測していた場所が地球であり、足元の地面は静止して安定しているように見える一方で、空が動いているように見えるという単純な理由からでした。ギリシャの天文学者の中には（例えばサモスのアリスタルコスのように）、惑星（地球を含む）が太陽の周りを公転していると推測した者もいましたが、プトレマイオスの時代には、太陽中心説を説得力をもって裏付けるデータを提供するのに必要な光学（そしてアイザック・ニュートンの万有引力の法則のような特定の数学）は存在せず、彼の時代から1500年以上経ってからようやく登場しました。さらに、アリストテレス物理学はこのような計算を念頭に置いて設計されたものではなく、アリストテレスの天体に関する哲学は太陽中心説の概念とは全く相容れないものでした。ガリレオ・ガリレイが1610年1月7日に木星の衛星を、同年9月に金星の満ち欠けを観測するまで、地動説は天文学者の間で広く支持されることはなく、惑星はそれぞれ太陽の周りを公転する独立した世界である（つまり、地球も惑星である）という考え方も受け入れられるようになった。ヨハネス・ケプラーは、円軌道ではなく楕円軌道を用いるシステムを利用して、太陽系の惑星の軌道を驚くほど正確に記述する惑星運動の3つの法則を定式化した。ケプラーの3つの法則は、現在でも大学の物理学や天文学の授業で教えられており、ケプラーが400年前に初めて定式化して以来、その文言は変わっていない。
天体の見かけ上の時間的運動は周期的な性質を持つ。ペルガのアポロニウス（紀元前3世紀）は、この周期的な変化を、より大きな円軌道（周転円）の上を回る小さな円軌道（周転円）によって視覚的に表現できることに気づいた。ヒッパルコス（紀元前2世紀）は、必要な軌道を計算した。古代のモデルにおける周転円と周転円は、現代的な意味での軌道ではなく、観測された天体の動きを近似するために、中心が特定の距離だけ離れた複雑な円軌道の集合を表していた。
クラウディオス・プトレマイオスは周転円と従円の概念を洗練させ、惑星の運動の速度変化を説明するメカニズムとして等速円を導入した。彼が開発した経験的方法論は当時としては非常に正確であることが証明され、コペルニクスやケプラーの時代にもまだ使用されていた。厳密に円軌道を考慮すると、太陽中心モデルは天体の動きを追跡および予測するシステムとして、必ずしも地球中心モデルよりも正確であるわけではない。太陽中心システムでは、基準点のずれを補正するために、より複雑なシステムが必要となる。ケプラーが楕円軌道を提案するまで、そのようなシステムは単なる周転円の地球中心モデルよりもますます正確になることはなかった。[ 11 ]
オーウェン・ジンゲリッチ[ 12 ]は、1504年に起こり、コペルニクスが観測したと思われる惑星の合について述べている。コペルニクスは、アルフォンソ表の写本に綴じられたメモの中で、「火星は2度以上も数値を上回っている。土星は1.5度も数値を上回っている」とコメントしている。ジンゲリッチは現代のコンピュータプログラムを用いて、合の時点で土星は確かに表より1.5度遅れており、火星は予測より2度近く先行していたことを発見した。さらに、同時期の木星に関するプトレマイオスの予測も非常に正確であったことを発見した。したがって、コペルニクスとその同時代人は、プトレマイオスの原著が出版されてから1000年以上経っても、プトレマイオスの方法を用い、それを信頼できるものとみなしていたことになる。
コペルニクスが地球からの観測を太陽中心座標に変換したとき、[ 13 ]彼はまったく新しい問題に直面した。太陽中心の位置は時間に対して周期的な動きを示したが、外惑星の場合は逆行ループがなかった。原理的には、太陽中心の動きはより単純であったが、まだ発見されていない軌道の楕円形のために新たな微妙な問題が生じた。もう1つの複雑な問題は、コペルニクスが解決できなかった問題、つまり座標変換で地球の動きを正しく考慮することによって引き起こされた。[ 14 ] : 267過去の慣例に従って、コペルニクスは彼の理論で従円/周転円モデルを使用したが、彼の周転円は小さく、「エピサイクレット」と呼ばれた。
プトレマイオス体系では各惑星のモデルが異なっており、コペルニクスの初期モデルも同様でした。しかし、数学的な研究を進めるうちに、コペルニクスは自身のモデルを統一的な体系に統合できることを発見しました。さらに、地球の軌道がすべてのモデルで同じになるように縮尺を調整すれば、今日私たちが認識している惑星の順序が数学的に容易に導き出されました。水星は太陽に最も近い軌道を描き、残りの惑星は公転周期による距離の順に外側へと配置されました。[ 14 ] : 54
コペルニクスのモデルは周転円の大きさを大幅に縮小したが、それがプトレマイオスのモデルよりも単純だったかどうかは議論の余地がある。コペルニクスはプトレマイオスのやや不評だったエカントを排除したが、その代償として周転円が増えた。プトレマイオスとコペルニクスに基づいた16世紀の様々な書籍は、ほぼ同数の周転円を使用している。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]コペルニクスがシステムで34個の円しか使用しなかったという考えは、未発表の予備スケッチである『コメンタリオルス』での彼自身の記述に基づいている。彼が『天球回転論』を出版するまでに、彼はさらに多くの円を追加した。総数を数えるのは難しいが、彼が作ったシステムは、同じくらい複雑か、あるいはそれ以上に複雑だったと推定されている。[ 18 ]ケストラーは、宇宙に対する人間の認識の歴史の中で、コペルニクスが使用した周転円の数を48としている。[ 19 ]プトレマイオス体系の円の総数が約80個という通説は、1898年に現れたようだ。これは、クニドスのエウドクソスに影響を受けた体系で77個または79個の球体を使用したジローラモ・フラカストロの非プトレマイオス体系に触発されたものかもしれない。[ 20 ]コペルニクスは、著作の中でプトレマイオス体系で使用された周転円の数を誇張している。元の数は80個の円に及んだが、コペルニクスの時代には、プトレマイオス体系はペルバッハによって40個という同様の数に更新されていた。したがって、コペルニクスは逆行の問題を効果的に周転円の数を増やすことで解決した。[ 21 ]
コペルニクスの理論はプトレマイオスの理論と少なくとも同等の精度を持っていたが、プトレマイオスの理論ほどの地位と認知度を得ることはなかった。必要とされていたのは、1609年と1619年に発表されたケプラーの楕円軌道理論だった。コペルニクスの研究は逆行運動のような現象を説明するものであったが、惑星が実際に太陽の周りを公転していることを証明したものではなかった。
プトレマイオスとコペルニクスの理論は、惑星運動を表すための周転円装置の耐久性と適応性を証明した。周転円モデルがうまく機能したのは、太陽系の並外れた軌道安定性によるものである。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツとアイザック・ニュートンが微積分を発明していなければ、どちらの理論も今日でも使用できたであろう。[ 22 ]
マイモニデスによれば、 12世紀のアンダルシア地方のスペインに存在したイブン・バッジャの現在は失われた天文学体系には周転円がなかった。14世紀のフランスのゲルソニデスも周転円を排除し、周転円は彼の観測と一致しないと主張した。[ 23 ]これらの代替モデルにもかかわらず、周転円は17世紀まで排除されず、ヨハネス・ケプラーの楕円軌道モデルが徐々にコペルニクスの完全な円に基づくモデルに取って代わった。
ニュートン力学、すなわち古典力学は、周転円法を完全に不要にし、より正確な理論を生み出した。太陽と惑星を点質量として扱い、ニュートンの万有引力の法則を用いることで、惑星の軌道速度と位置を予測するための様々な方法で解ける運動方程式が導出された。例えば、単純な二体問題として近似すれば解析的に解くことができたが、より現実的なn体問題には数値解法が必要だった。
軌道力学の問題解決におけるニュートン力学の力は、海王星の発見によって実証されている。天王星の軌道の観測された摂動の分析により、疑われた惑星の位置が発見された位置から1度以内の精度で推定された。これは、周転円法では達成できなかった。それでも、ニュートンは1702年に周転円を用いた「月の運動の理論」を発表し、それは19世紀まで中国で使用され続けた。ニュートンの理論に基づくその後の表は、分角の精度に近づくことができたかもしれない。[ 24 ]
天文学史におけるある学説によれば、プトレマイオス体系の初期の不完全さは、長年にわたって蓄積された観測によって発見された。惑星の運動をより正確に再現するために、周転円（円の中に円がある構造）の階層がモデルに追加されたと誤って信じられていた。周転円の多重化は16世紀までにほとんど実用的でない体系を生み出し、コペルニクスは当時のプトレマイオス天文学を簡略化するために地動説を考案し、結果として円の数を大幅に削減することに成功したと考えられている。
より精度の高い観測によって、新たに観測された現象を表すために周転円や偏心円が追加され、中世後期には宇宙は「中心と偏心円が書き込まれた球体、周転円、球体の中の球体」となった。
—ドロシー・スティムソン、『宇宙のコペルニクス理論の漸進的受容』、1917年[ 25 ]
複雑さの尺度として、円の数はプトレマイオスでは80個、コペルニクスではわずか34個とされている。[ 26 ]最も多い数は、 1960年代のブリタニカ百科事典の天文学の項で、13世紀のカスティーリャ王アルフォンソ10世の天文学への関心についての議論の中で登場した。（アルフォンソはアルフォンソ表の作成を依頼したとされている。）
この頃には、各惑星には40から60個の周転円が設けられ、恒星間における複雑な運動をある程度表現していた。このプロジェクトの難しさに驚いたアルフォンソは、「もし自分が天地創造の場にいたら、素晴らしい助言ができたかもしれない」と述べたと伝えられている。
実際には、この周転円重ね理論の大きな問題点は、中世およびルネサンス期のプトレマイオス天文学に関する書籍を調査した歴史家たちが、各惑星に複数の周転円が用いられた痕跡を全く発見していないことである。例えば、アルフォンソ表は、プトレマイオスの本来の簡素な方法を用いて計算されたようである。[ 14 ]： 57
もう一つの問題は、モデル自体が微調整を阻害していたことである。周転円と従円からなるモデルでは、全体の各部分が相互に関連している。ある箇所の適合性を向上させるためにパラメータを変更すると、別の箇所の適合性が損なわれる。この点において、プトレマイオスのモデルはおそらく最適であった。全体としては良好な結果を示したが、ところどころに若干の誤差があった。経験豊富な天文学者であれば、こうした欠点を認識し、それを考慮に入れたであろう。
実際、プトレマイオスのアルマゲストでは、太陽には1つの周期があり、月には3つの周期があります。従円、周転円、内側の小円または「エピシクレット」です。外惑星にはそれぞれ4つの周期があります。従円、周転円、等位円、緯度円です。金星は外惑星よりも緯度円が2つ多いので、6つです。水星は金星のすべての周期に加えてエピシクレットがあり、7つです。恒星の球と、分点歳差を考慮するための別の球を含めると、周期と球の総数は31になります。[ 28 ]
科学史家のノーウッド・ラッセル・ハンソンによれば：
天体物理学や観測天文学のどの分野においても、左右対称または偏心周期の曲線は、固定された従円の周りを回転する有限個の周転円の集合内で回転する点の合成運動として滑らかにプロットできないものは存在しない。
—ノーウッド・ラッセル・ハンソン、「周転円天文学の数学的力」、1960年[ 29 ]
周期的か非周期的か、閉じているか開いているかに関わらず、あらゆる経路は無限個の周転円で表現できます。これは、周転円が複素フーリエ級数で表現できるためです。したがって、多数の周転円を用いることで、非常に複雑な経路を複素平面で表現できます。[ 30 ]
複素数を
ここで、a 0およびk 0は定数であり、は虚数単位、tは時間であり、複素平面の原点を中心とし、半径a0で角速度で回転する異なる点に対応する。
ここでTは周期である。
z 1 が周転円の経路である場合、従属周転円と周転円の合計は、
これはほぼ周期関数であり、定数k jの比が有理数である場合に限り周期関数となります。N 個の周転円に一般化すると、ほぼ周期関数が得られます。
これは、k jのすべてのペアが有理数の関係にある場合にのみ周期的になります。複素平面z = f ( t )における時間依存の経路を表す係数a jを見つけることは、従円と周転円を持つ軌道を再現する目標であり、これは「現象を保存する」方法(σώζειν τα φαινόμενα) です。[ 31 ]
この類似性はジョヴァンニ・スキアパレッリによって指摘された。[ 32 ] [ 33 ]コペルニクス革命における「現象を保存する」ことと説明を提供することに関する議論に関連して、 13世紀のトマス・アクィナスが次のように書いた理由が理解できる。
理性は、ある点を確立するために2つの方法で用いられる。第一に、何らかの原理の十分な証明を提供するためである。[...] 理性は、原理の十分な証明を提供するためではなく、既に確立された原理を、その結果の整合性を示すことによって確認するためにも用いられる。例えば、天文学では、離心円と周転円の理論が確立されていると考えられている。なぜなら、それによって天体の動きの目に見える現象を説明できるからである。しかし、この証明が十分であるかのようにではなく、他の理論によって説明できる可能性もある。
コペルニクスの宇宙論を除けば、主に地球中心モデルを正当化するために使われたシステムであった周転円モデルは、ケプラーやガリレオが提唱した太陽中心の考え方よりも好まれました。周転円モデルを後に採用したティコ・ブラーエは、自身のモデルを作成する際に教会の聖典を考慮したため、さらに好意的に見られました。[ 35 ]ティコ・ブラーエのモデルは、地球が静止し、太陽と月がその周りを回り、惑星が太陽の周りを公転するという、地球中心と太陽中心の特徴を融合させたハイブリッドモデルでした。ブラーエにとって、地球が回転したり動いたりするという考えは不可能であり、聖典は常に最優先され、尊重されるべきでした。[ 36 ]ガリレオがティコ・ブラーエのシステムに異議を唱えようとしたとき、教会は自分たちの見解が挑戦されることに不満を抱きました。ガリレオの出版物は、彼の裁判での彼の主張を助けることはありませんでした。
「周転円を追加する」という言葉は、現代の科学的な議論において軽蔑的な意味合いで使われるようになった。この用語は、例えば、理論の予測を事実と一致させるために理論を調整し続けることを指す場合に使われることがある。一般的に受け入れられている考え方では、特に火星の測定精度が向上するにつれてプトレマイオス体系で指摘された誤差の増大を軽減するために、追加の周転円が考案されたとされている。この考え方によれば、周転円は一部の人々から、悪い科学の典型例とみなされている。[ 37 ]
コペルニクスは惑星に周転円を1つ追加したが、それはプトレマイオスの等速円を排除するためだけであり、プトレマイオスはそれをアリストテレスの天体の完全性からの哲学的逸脱とみなしていた。数学的には、2つ目の周転円と等速円はほぼ同じ結果を生み出し、ケプラー以前の多くのコペルニクス派の天文学者は、数学的計算が容易であったため等速円を使い続けた。コペルニクスの周転円はプトレマイオスのものよりはるかに小さく、彼のモデルでは惑星が完全な円を描いて運動するため必要であった。ヨハネス・ケプラーは後に惑星が楕円軌道を描いて運動することを示し、コペルニクスの周転円の必要性もなくなった。[ 38 ]
