運動方程式 極座標における軌道方程式は、一般にθを用いてrを表すが、 以下 のよう に簡略化される。
r = h 2 μ \displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}} どこ：
h = r v {\displaystyle h=rv} 比角運動量 です。これはμ = r v 2 {\displaystyle \mu =rv^{2}}
角速度と軌道周期 ω 2 r 3 = μ {\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu } したがって、軌道周期 （T {\displaystyle T\,\!} [ 1 ] ：
T = 2 π r 3 μ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}} 2つの比例量、自由落下時間 （静止状態から点質量まで落下する時間）を比較する
T ff = π 2 2 r 3 μ {\displaystyle T_{\text{ff}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}} そして、放射状放物線軌道 上の点質量に落下するまでの時間
T パー = 2 3 r 3 μ {\displaystyle T_{\text{par}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}} これらの式が定数倍だけ異なるという事実は、次元解析 から先験的に明らかである。
エネルギー この図の左上象限には円軌道が描かれており、中心質量の重力ポテンシャル井戸が 位置エネルギーを示し、軌道速度の運動エネルギーが赤色で示されています。運動エネルギーの高さは、一定速度の円軌道全体を通して一定です。 比軌道エネルギー （ϵ {\displaystyle \epsilon \,}
ϵ = − v 2 2 {\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}} ϵ = − μ 2 r {\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}} したがって、ビリアル定理 [ 1 ] :
システムの運動エネルギーは全エネルギーの絶対値に等しい 系の位置エネルギーは全エネルギーの2倍に等しい 任意の距離からの脱出速度は、その距離における円軌道の速度の√2倍である。運動 エネルギーは2倍になるため、全エネルギーはゼロとなる 。
一般相対性理論における軌道速度 シュワルツシルト計量 では、半径の円軌道の軌道速度はr {\displaystyle r}
v = G M r − r S {\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}} どこr S = 2 G M c 2 {\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}
導出 便宜上、導出は、c = G = 1 {\displaystyle \scriptstyle c=G=1}
円軌道上の物体の4元速度 は次のように表される。
u μ = （ t ˙ 、 0 、 0 、 ϕ ˙ ） {\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})} （r {\displaystyle \scriptstyle r} θ = π 2 {\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} τ {\displaystyle \scriptstyle \tau }
質量を持つ粒子の場合、4元速度 の成分は次の式を満たす。
（ 1 − 2 M r ） t ˙ 2 − r 2 ϕ ˙ 2 = 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1} 我々は測地線方程式を用いる。
x ¨ μ + Γ ν σ μ x ˙ ν x ˙ σ = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0} 唯一非自明な方程式は、μ = r {\displaystyle \scriptstyle \mu =r}
M r 2 （ 1 − 2 M r ） t ˙ 2 − r （ 1 − 2 M r ） ϕ ˙ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0} これから、次のことが得られます。
ϕ ˙ 2 = M r 3 t ˙ 2 {\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}} これを質量のある粒子の式に代入すると、次のようになる。
（ 1 − 2 M r ） t ˙ 2 − M r t ˙ 2 = 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1} したがって：
t ˙ 2 = r r − 3 M {\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}} 半径 に観測者がいると仮定しますr {\displaystyle \scriptstyle r} 4元速度 はベクトルに比例する∂ t {\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}
v μ = （ r r − 2 M 、 0 、 0 、 0 ） {\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)} 観測者と軌道上の物体の4つの速度 の内積は、 観測者に対する軌道上の物体のガンマ係数に等しい。したがって、次のようになる。
γ = g μ ν u μ v ν = （ 1 − 2 M r ） r r − 3 M r r − 2 M = r − 2 M r − 3 M {\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}} これは速度を 表します。
v = M r − 2 M {\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}} または、SI単位で表すと次のようになります。
v = G M r − r S {\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}} 図の上部では、時計回りの円軌道を周回する衛星（黄色の点）が、質量が無視できる物体を発射します。（1 - 青）は地球に向かって、（2 - 赤）は地球から遠ざかる方向に、（3 - 灰色）は進行方向に向かって、 （4 - 黒）は進行方向の後方に向かって発射されます。破線の楕円は地球に対する軌道です。実線の曲線は衛星に対する摂動です。1周回で、（1）と（2）は衛星の両側で時計回りのループを描いて衛星に戻ります。直感に反して、（3）はどんどん後方に螺旋を描きながら進み、（4）は前方に螺旋を描きながら進みます。
参考文献 1 2 3 Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability . New York, NY, USA: Cambridge University Press. p. 604. ISBN 9781108411981 。
