脱出速度

質量のある物体の場合${\displaystyle m}$天体の重力場から脱出するために必要なエネルギーはGMm  / rであり、これは天体の質量の関数です ( rは惑星の半径で、地球の場合は 6,371 キロメートル (3,959マイル)、Gは重力定数、Mは惑星の質量で、地球の場合はM = 5.9736 × 10 ²⁴ kgです)。関連する量として、比軌道エネルギーがあり、これは基本的に運動エネルギーと位置エネルギーの合計を質量で割ったものです。比軌道エネルギーがゼロ以上になると、天体は脱出速度に達したことになります。  

脱出速度の存在は、エネルギー保存則と有限の深さを持つエネルギー場の結果として考えることができる。一定の全エネルギーを持つ物体が、静的な重力場などの保存力の下で運動する場合、物体が到達できるのは、その全エネルギーを持つ位置と速度の組み合わせに限られる。これよりも高い位置エネルギーを持つ場所には、そもそも到達できない。物体に速度（運動エネルギー）を加えると、到達できる位置の範囲が広がり、十分なエネルギーがあれば、無限遠まであらゆる場所に到達できるようになる。

脱出速度の公式は、エネルギー保存の法則から導き出すことができます。簡略化のため、特に断りのない限り、物体は均一な球状惑星の重力場から遠ざかることで脱出し、移動する物体に作用する唯一の重要な力は惑星の重力であると仮定します。質量mの宇宙船が、質量Mの惑星の重心から距離rの位置にあり、初期速度が脱出速度v _eに等しいと想像してください。最終状態では、宇宙船は惑星から無限遠の位置にあり、速度は無視できるほど小さくなります。運動エネルギーKと重力ポテンシャルエネルギーU _gは、扱うエネルギーの種類は限られています (大気の抵抗は無視します)。したがって、エネルギー保存の法則により、

${\displaystyle (K+U_{\text{g}})_{\text{initial}}=(K+U_{\text{g}})_{\text{final}}}$

最終速度は任意に小さいのでK _final = 0と設定でき、惑星から遠く離れた場所では最終重力ポテンシャルエネルギーがゼロと定義されるためU _{g final = 0 と設定できます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}m{v_{\text{e}}}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}}$

相対論的計算によっても同じ結果が得られ、その場合、変数rはシュワルツシルト計量の半径座標または縮小円周を表します。^{[ 9 ] [ 10 ]}

物体表面で特に有用な脱出速度v _{eの別の表現は次のとおりです。}

${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {2gr}}}$

ここで、rは物体の中心と脱出速度が計算される点との間の距離であり、 g はその距離での重力加速度（すなわち、表面重力）である。^{[ 11 ]}

質量が球対称に分布している物体の場合、表面からの脱出速度v _{e は、密度が一定であると仮定すると半径に比例し、平均密度}ρの平方根に比例します。

${\displaystyle v_{\text{e}}=Kr{\sqrt {\rho }}}$

どこ$${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx \mathrm {2.364\times 10^{-5}~m^{1.5}{\cdot }kg^{-0.5}{\cdot }s^{-1}} }$$。

この脱出速度は、後述するように、惑星や月の移動面ではなく、回転していない基準系に対する相対速度である。

回転体の表面に対する脱出速度は、脱出する物体が移動する方向によって決まります。例えば、地球の赤道 における自転速度は 465 m/sであるため、地球の赤道から東に向かって接線方向に打ち上げられたロケットは、脱出するために打ち上げ地点の動く表面に対して約 10.735 km/sの初速度が必要ですが、地球の赤道から西に向かって接線方向に打ち上げられたロケットは、その動く表面に対して約 11.665 km/sの初速度が必要です。表面速度は地理的緯度のコサインに比例して減少するため、宇宙打ち上げ施設は、可能な限り赤道に近い場所に設置されることが多く、例えばアメリカのケープカナベラル(北緯 28°28 ′ ) やフランス領ギアナ宇宙センター(北緯 5°14 ′ ) などが挙げられます。    

ほとんどの場合、必要な加速のため、また大気がある場合には極超音速（地球上では11.2  km/s、または40,320 km/h）によってほとんどの物体が空力加熱 で燃え尽きるか、大気抵抗で引き裂かれるため、ほぼ瞬時に脱出速度を達成することは現実的ではありません。実際の脱出軌道では、宇宙船は高度に応じた脱出速度（地表よりも低い）に達するまで、大気圏外へ着実に加速します。多くの場合、宇宙船はまず待機軌道（例えば、160～2,000 kmの低地球軌道）に配置され、その後、その高度での脱出速度まで加速されます。この高度での脱出速度は、わずかに低くなります（200 kmの低地球軌道では約11.0 km/s ）。しかし、宇宙船はすでにかなりの軌道速度を持っているため（低地球軌道では速度は約7.8 km/s、つまり28,080 km/h）、必要な速度の追加変化ははるかに小さい。     

ある高さでの脱出速度は$\displaystyle {\sqrt {2}}}$同じ高さでの円軌道の速度の倍数である（円軌道の速度方程式と比較してください）。これは、このような軌道上の物体の無限遠に対する位置エネルギーがその運動エネルギーのマイナス2倍であるのに対し、脱出するには位置エネルギーと運動エネルギーの合計が少なくともゼロでなければならないという事実に対応します。円軌道に対応する速度は、第1宇宙速度と呼ばれることがありますが、この文脈では脱出速度は第2宇宙速度と呼ばれます。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

楕円軌道上の物体が脱出軌道へ加速する場合、必要な速度は変化し、中心天体に最も近づく近点において最大となる。しかし、このとき物体の軌道速度も最大となり、必要な速度変化は最小となる。これはオーベルト効果によって説明される。

脱出速度は、もう一方の物体（中心物体）に対する相対速度、または物体系の重心（重心）に対する相対速度のいずれかで測定できます。したがって、2 つの物体からなるシステムの場合、脱出速度という用語は曖昧になる可能性がありますが、通常は質量の小さい物体の重心脱出速度を意味します。脱出速度は通常、質量ゼロのテスト粒子の脱出速度を指します。質量ゼロのテスト粒子の場合、「もう一方の物体に対する相対速度」と「重心」脱出速度は同じです。${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$。

しかし、より小さな質量（例えばm ）を無視できない場合は、少し異なる式が得られます。

運動量保存の法則に従わなければならないため、大きい質量と小さい質量の両方が重力場内で加速される必要があることがわかります。重心に対する大きい質量の速度（惑星の場合はv _p ）は、小さい質量の速度（ロケットの場合はv _r ）で表すことができます。${\displaystyle v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}}$。

「重心」脱出速度は次のようになります${\displaystyle v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}}$一方、「他のものに対する」脱出速度は${\displaystyle v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$。

物体と物体の間の重力以外のすべての要因を無視すると、脱出速度v _eと半径Rの球体の表面から速度vで垂直に投げ出された物体は、方程式^{[ 15 ]}を満たす最大高さhに到達します。

${\displaystyle v=v_{\text{e}}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,}$

そして、hについて解くと、

${\displaystyle h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,}$

ここで、x = v / v _eは、元の速度vと脱出速度v _eの比です。

脱出速度とは異なり、最大高度を達成するには方向（垂直上方向）が重要となる。