フレームドラッグ

フレームドラッギングは、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論によって予測された時空への影響であり、非静的な定常質量エネルギー分布に起因する。定常場とは、安定した状態にある場のことであるが、その場を生み出す質量は非静的である可能性があり、例えば回転している場合もある。より一般的には、質量エネルギーの流れによって引き起こされる影響を扱う分野は重力電磁気学として知られており、これは古典電磁気学の磁気に類似している。

最初のフレームドラッギング効果は、1918 年にオーストリアの物理学者ヨーゼフ・レンゼとハンス・ティリングによって一般相対性理論の枠組みの中で導き出され、レンゼ・ティリング効果としても知られています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}彼らは、質量のある物体の回転が時空の計量を歪ませ、近くのテスト粒子の軌道が歳差運動を起こすと予測しました。これは、物体の重力場がその質量のみに依存し、回転には依存しないニュートン力学では起こりません。レンゼ・ティリング効果は非常に小さく、数兆分の 1 程度です。これを検出するには、非常に質量のある物体を調査するか、非常に感度の高い装置を構築する必要があります。

回転によるフレームドラッギング（レンス＝ティリング効果）は、一般相対性理論や、回転する質量のある物体の近傍における類似の理論に現れる。レンス＝ティリング効果によれば、時計が最も速く進む基準系は、遠方の観測者から見て物体の周りを回転している基準系である。これはまた、遠方の観測者から見ると、物体の回転方向に沿って進む光は、回転方向とは逆方向に進む光よりも速く質量のある物体を通過することを意味する。これは現在、最もよく知られているフレームドラッギング効果であり、その一因はグラビティ・プローブB実験にある。定性的に言えば、フレームドラッギングは電磁誘導の重力版と見なすことができる。

内側の領域は外側の領域よりも大きく引きずられます。これにより、局所的に回転する座標系が生じます。例えば、回転するブラックホールの赤道上を周回し、恒星に対して回転的に静止している南北方向のアイススケーターが腕を伸ばしたと想像してみてください。ブラックホールに向かって伸ばした腕は、重力磁気誘導によってスピン方向へ「ねじられます」（「ねじられる」は、重力の影響は一般相対性理論では「力」とはみなされないため、引用符で囲まれています）。同様に、ブラックホールから遠ざかる方向に伸ばした腕は、スピン方向とは逆方向にねじられます。したがって、彼女はブラックホールとは逆方向に回転速度が増します。これは、回転しながら腕を伸ばしたアイススケーターが日常的に経験する現象とは正反対です。腕を伸ばしたときに、ある特定の回転速度で回転していた場合、慣性効果と座標系引きずり効果が釣り合い、回転速度は変化しません。等価原理により、重力効果は局所的に慣性効果と区別できないため、彼女が腕を伸ばしても何も起こらないこの回転速度が、彼女にとっての非回転の局所的な基準となる。この座標系は恒星に対して回転し、ブラックホールに対しては逆回転している。この効果は、原子核スピンによる原子スペクトルの超微細構造に類似している。分かりやすい比喩としては、ブラックホールを太陽歯車、アイススケーターを遊星歯車、外宇宙をリング歯車とする遊星歯車システムが挙げられる。（マッハの原理を参照。）

もう一つの結果として、赤道軌道に拘束されているが自由落下していない物体は、反回転方向で回転しているときは重くなり、回転方向で回転しているときは軽くなります。たとえば、赤道上に吊り下げられたボウリング場では、反回転方向に転がされたボウリングボールは、回転方向で転がされた同じボールよりも重くなります。フレームドラッグは、どちらの方向にもボウリングボールを加速も減速もさせません。これは「粘性」ではありません。同様に、回転する物体の上に吊り下げられた静止したおもりは傾きません。垂直にぶら下がります。落下し始めると、誘導によって回転方向へ押し出されます。しかし、「ヨーヨー」のおもり（軸が赤道面に垂直）を赤道上で静止限界までゆっくりと下げると、ヨーヨーは反回転方向に回転します。ただし、ヨーヨーの中にいる人はトルクを感じず、角運動量の変化も感じません。

線形フレームドラッギングは、線形運動量に適用された一般相対性原理の必然的な結果である。理論的には「回転」効果と同等の正当性を持つと言えるが、その効果の実験的検証を得るのが難しいため、議論されることははるかに少なく、フレームドラッギングに関する記事ではしばしば省略されている（ただし、アインシュタイン、1921年を参照）。^{[ 4 ]}

静的質量増加は、アインシュタインが同じ論文で指摘した3つ目の効果です。^{[ 5 ]}この効果は、近くに他の質量が置かれたときに物体の慣性が増加するというものです。厳密にはフレーム引きずり効果ではありませんが（フレーム引きずりという用語はアインシュタインは使用していません）、アインシュタインは、これが一般相対性理論の同じ方程式から導かれることを示しています。また、これは実験的に確認するのが難しい小さな効果でもあります。

1976年、ヴァン・パッテンとエヴェリット^{[ 6 ] [ 7 ]}は、抵抗のない装置を備えた地球極軌道に配置される一対の反周回宇宙機のレンス・ティリングノード歳差運動を測定することを目的とした専用ミッションを実施することを提案した。このようなアイデアのやや同等でより安価なバージョンが1986年にチウフォリーニ^{[ 8 ]}によって提案された。彼は、1976年に打ち上げられたLAGEOS衛星と同じ軌道に受動的な測地衛星を打ち上げることを提案したが、軌道面は180度ずらす必要があった。いわゆるバタフライ構成である。この場合、測定可能な量は、LAGEOSと新しい宇宙機（後にLAGEOS III、LARES、WEBER-SATと名付けられた）のノードの合計であった。

既存の軌道上の物体を含むシナリオに範囲を限定すると、LAGEOS衛星と衛星レーザー測距（SLR）技術を使用してレンズ・ティリング効果を測定する最初の提案は1977～1978年に遡ります。^{[ 9 ]} 1996年には、 LAGEOSとLAGEOS II衛星を使用してテストが効果的に実施され始めました。 ^{[ 10 ]}これは、両衛星のノードとLAGEOS IIの近地点の適切な組み合わせを使用する戦略^{[ 11 ]}に従って行われました。2004～2006年には、LAGEOS IIの近地点を破棄し、線形結合を使用してLAGEOS衛星によるさらなるテストが実施されました。 ^{[ 12 ] [13][ 14 ]最近、人工}衛星を使用してレンズ・ティリング効果を測定しようとする試みの包括的な概要が文献で発表されました。^{[ 15 ]} LAGEOS衛星を用いた試験で達成された全体的な精度については、議論の余地がある。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

グラビティプローブB実験^{[ 19 ] [ 20 ]}は、スタンフォード大学のグループとNASAによる衛星ベースのミッションで、別の重力磁気効果であるジャイロスコープのシッフ歳差運動^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}を1%以上の精度で実験的に測定するために使用されました。残念ながら、そのような精度は達成されませんでした。2007年4月に発表された最初の予備結果は、精度が256～128%であることを示唆しており^{[ 24 ]}、2007年12月には約13%に達することが期待されていました^{[ 25 ]。} 2008年のNASA天体物理学部門運用ミッションの上級レビューレポートでは、グラビティプローブBチームが、一般相対性理論の現在テストされていない側面（フレームドラッギングを含む）の説得力のあるテストを作成するために必要なレベルまで誤差を減らすことができる可能性は低いと述べています。^{[ 26 ] [ 27 ]} 2011 年 5 月 4 日、スタンフォード大学を拠点とする分析グループと NASA は最終報告書を発表し、^{[ 28 ]}その中で GP-B のデータは、約 19 パーセントの誤差でフレーム ドラッギング効果を示し、アインシュタインの予測値は信頼区間の中心にあった。^{[ 29 ] [ 30 ]}

NASAはGRACEツイン衛星^{[ 31 ]}とGravity Probe B ^{[ 32 ]}のフレームドラッギング検証に成功したと主張しており、これらの主張はどちらも現在も公開されている。イタリア^{[ 33 ]}、米国、英国の研究グループも、査読付きジャーナルに掲載されたGRACE重力モデルを用いたフレームドラッギング検証に成功したと主張している。これらの主張はいずれも、より高い精度でのさらなる研究や他の重力モデルに関する推奨事項を含んでいる。

2026年に、LARES-2とLAGEOSのレーザー測距データとGRACE地球重力モデルを組み合わせた分析により、地球のフレームドラッグの測定値が1000分の1レベルの相対不確実性で報告され、これは以前の太陽系での測定よりも桁違いに改善された。^{[ 34 ]}

回転する超大質量ブラックホールの近くを公転する恒星の場合、フレームドラッギングによって恒星の軌道面がブラックホールのスピン軸を中心に歳差運動を起こすはずです。この効果は、天の川銀河の中心にある恒星の天体位置測定モニタリングによって今後数年以内に検出可能になると予測されていました。^{[ 35 ]}これは、2020年4月16日にマックス・プランク研究所によって確認されました。 ^{[ 36 ]}

異なる軌道上の2つの星の軌道歳差運動の速度を比較することで、原理的にはブラックホールのスピンを測定することに加えて、一般相対性理論の無毛定理を検証することが可能です。 ^{[ 37 ]}

相対論的ジェットは、フレームドラッギングの現実の証拠を提供する可能性がある。回転するブラックホールのエルゴ球内でレンス・ティリング効果（フレームドラッギング）によって生成される重力磁気力^{[ 38 ] [ 39 ]}とペンローズによるエネルギー抽出メカニズム^{[ 40 ]}を組み合わせることで、相対論的ジェットの観測された特性を説明することができた。レバ・ケイ・ウィリアムズによって開発された重力磁気モデルは、クエーサーや活動銀河核から放出される高エネルギー粒子（～GeV）の観測、X線、γ線、相対論的e ^−– e ⁺ペアの抽出、極軸周りのコリメートされたジェット、およびジェットの非対称な形成（軌道面に対して）を予測する。

レンズ・ティリング効果は、質量のある白色矮星とパルサーからなる連星系で観測されている。^{[ 41 ]}

フレームドラッギングは、^角運動量Jで回転する質量Mの近傍の時空の幾何学を記述するカー計量[ ^{42 ] [ 43 ]}とボイヤー・リンドクイスト座標(変換についてはリンクを参照) を使用すると最も簡単に説明できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}=&\left(1-{\frac {r_{\text{s}}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Lambda ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&{}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{\text{s}}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{\text{s}}r\alpha c\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}d\phi dt\end{aligned}}}$

ここで、r _sはシュヴァルツシルト半径である。

$\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

また、簡潔にするために以下の略記変数が導入されています。

${\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }$

$\displaystyle \Lambda ^{2}=r^{2}-r_{\text{s}}r+\alpha ^{2}}$

M（または同等に、r _s ）がゼロになる非相対論的極限では、カー計量は扁平回転楕円体座標の直交計量となる。

$${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$$

カーメトリックは次のように書き換えることができます。

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}}$

この指標は、半径rと余緯度θの両方に依存する角速度Ωで回転する共回転基準座標系に相当する。

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}\alpha rc}{\rho ^{2}\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)+r_{s}\alpha ^{2}r\sin ^{2}\theta }}}$

赤道面では、これは次のように簡略化されます。^{[ 44 ]}

${\displaystyle \Omega ={\frac {r_{s}\alpha c}{r^{3}+\alpha ^{2}r+r_{s}\alpha ^{2}}}}$

このように、慣性基準系は回転する中心質量によって引き込まれ、その回転に関与する。これがフレームドラッギングである。

回転するブラックホールのエルゴ球内では、フレームドラッギングの極端なバージョンが発生します。カー計量には、特異点となる2つの面があります。内側の面は、シュワルツシルト計量で観測されるものと同様の球状の事象の地平線に対応します。これは、

${\displaystyle r_{\text{inner}}={\frac {r_{\text{s}}+{\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}}$

計量の純粋な半径成分g _{rr が}無限大になる。外面は、スピンパラメータが低い扁平回転楕円体で近似でき、スピンパラメータが高い場合はカボチャのような形になる^{[ 45 ] [ 46 ]}。回転軸の極で内面に接し、その極では余緯度θ が0 または π に等しい。ボイヤー・リンドクイスト座標での半径は次の式で定義される。

${\displaystyle r_{\text{outer}}={\frac {r_{\text{s}}+{\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

ここで、計量の純粋に時間的な成分g _ttの符号が正から負に変わります。この 2 つの面の間の空間はエルゴ球と呼ばれます。運動する粒子は、時空を通る経路であるワールドラインに沿って正の固有時間を経験します。しかし、粒子が少なくとも Ω の角速度で内部質量Mと共回転していない限り、 g _{tt が}負であるエルゴ球内ではこれは不可能です。ただし、上で見たように、フレーム ドラッギングはエルゴ球内だけでなく、すべての回転質量とすべての半径rおよび余緯度θで発生します。

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• Renzetti, G. (2013年5月). 「人工衛星による軌道フレームドラッギング測定の試みの歴史」 . Central European Journal of Physics . 11 (5): 531–544 . Bibcode : 2013CEJPh..11..531R . doi : 10.2478/s11534-013-0189-1 .
• ギンズバーグ、VL（1959年5月）。「人工衛星と相対性理論」。サイエンティフィック・アメリカン。200 （5）：149–160。Bibcode：1959SciAm.200e.149G。doi：10.1038/scientificamerican0559-149。

• NASAリリース：04-351 世界が回転するにつれて、宇宙と時間も引きずられる2008年6月19日にWayback Machineにアーカイブされました