ラグランジュ点

L _1点は、 2 つの大きな質量M ₁とM ₂の間に定義される線上にあります。これは、 M ₂とM ₁の重力が合わさって平衡状態になる点です。地球よりも太陽に近い軌道を回る天体は、通常、地球よりも軌道周期が短くなりますが、これは地球の重力の影響を無視したものです。天体が地球と太陽の間にある場合、地球の重力が太陽の引力の一部に対抗し、天体の軌道周期を長くします。天体が地球に近いほど、この効果は大きくなります。L 1 点では、天体の軌道周期は地球の軌道周期と完全に等しくなります。L 1_は、地球から太陽の方向に約 150万キロメートル、つまり 0.01 auの距離にあります。 ^{[ 1 ]} 

L _2点は、 2 つの大きな質量のうち小さい方の質量の先を通る線上にあります。ここでは、2 つの大きな質量の合算された重力が、L ₂にある物体の遠心力と釣り合っています。太陽から地球の反対側では、物体の公転周期は通常、地球の公転周期よりも長くなります。地球の重力の余分な引力によって物体の公転周期は短くなり、L ₂点ではその公転周期は地球の公転周期と等しくなります。L ₁と同様に、L ₂は地球から約 150万キロメートル、つまり 0.01 au (太陽から離れた方向) の距離にあります。地球と太陽の L ₂付近で運用するように設計された宇宙船の例としては、ジェームズ ウェッブ宇宙望遠鏡があります。^{[ 8 ]}以前の例としては、ウィルキンソン マイクロ波異方性プローブとその後継機のプランクがあります。 

L _3点は、 2 つの大きな質量によって定義される線上にあり、2 つの大きな質量のうち大きい方の質量の先に位置しています。太陽-地球系内では、L ₃点は太陽の反対側にあり、地球の軌道の少し外側に位置し、地球-太陽系の重心から地球よりもわずかに遠い位置にあります。このような配置になるのは、太陽も地球の重力の影響を受け、太陽の内部にある 2 つの天体の重心の周りを公転しているためです。太陽から地球と同じ距離にある物体は、太陽の重力だけを考慮すると、公転周期が 1 年になります。しかし、地球から太陽の反対側にあり、両方の重力と一直線上にある物体は、太陽の重力に地球の重力がわずかに加算されるのを感じ、同じ 1 年の周期を持つためには、地球と太陽の重心から少し遠い位置を公転する必要があります。L ₃点では、地球と太陽の合引力によって、その物体は地球と同じ周期で公転し、事実上、地球と太陽の重心が軌道の焦点の 1 つにある地球 + 太陽の質量を公転します。上記の議論では、太陽の中心と地球と太陽の重心を区別することが重要です。L 3 点と太陽の中心の間の距離は、実際_には地球の中心と太陽の中心の間の距離よりも小さいです。 ^{[ 9 ]}

L4点とL5点は、2つの質量の中心を結ぶ線を共通の底辺とする軌道面上の2つの正三角形の3番目の頂点に位置し_、その点は、大きい質量の周りの軌道に関して、小さい質量より60°前方（L4 _）または後方（L5）に位置する_。

三角形の点 ( L ₄とL _{5 ) は、} ⁠ M ₁ / M ₂ ⁠の比が24.96 より大きい場合に安定平衡点となります。^{[ a ]}これは、太陽-地球系、太陽-木星系、そしてより小さな差で地球-月系の場合に当てはまります。これらの点にある物体が摂動を受けると、その点から遠ざかりますが、摂動によって増加または減少する因子 (重力または角運動量による速度) の反対の因子も増加または減少するため、物体の軌道は、その点の周りの安定した腎臓形の軌道に曲がります (共回転座標系で見た場合)。^{[ 10 ]}

点L1、L2、L3_は不安定平衡点です。L1 、L2、L3_を周回する物体は軌道から外れやすいため、これらの点に自然物が存在することは稀です。また、これらの領域を周回する宇宙船は、位置を維持するために、わずかではあるものの重要な位置_{保持を行う}必要が_あります。

_{L 1}の位置は、重力が向心力を提供する以下の式を満たす解である。 $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(Rr)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ ここで、 rは_L1点から小さい方の物体までの距離、 Rは2つの主要な物体間の距離、M1とM2_{はそれぞれ大きい物体と小さい物体の質量である。右辺の括弧内の量は、 L1点}から重心までの距離である。rの解は、次の5次関数の唯一の実根である。

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$ どこ$${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$M ₂ の質量分率であり、$${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$ は正規化された距離です。小さい方の物体の質量 ( M ₂ ) が大きい方の物体の質量 ( M ₁ )よりはるかに小さい場合、 L ₁とL _{2は小さい方の物体からほぼ等しい距離}rにあり、これは次式で与えられる ヒル球の半径に等しくなります。$$\displaystyle r\approx R\sqrt[3]\frac{\mu}{3}}}}$$

これは次のように表記することもできます。 $$\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$物体の潮汐効果はその質量を距離の3乗で割った値に比例する ため、 _L1点またはL2_点における小さい物体の潮汐効果はその物体の約3倍になります。また、次のように書くこともできます。 $$\displaystyle \rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}}$$ ここで、ρ ₁とρ ₂は 2 つの物体の平均密度、d ₁とd ₂はそれぞれの直径です。直径と距離の比は物体がなす角度を表し、これら 2 つのラグランジュ点から見ると、特に小さい方の密度が大きい方の密度の約 3 倍である場合 (地球と太陽の場合) には、2 つの物体の見かけの大きさが似ていることがわかります。

この距離は、M ₁が存在しない状態で、この距離を半径とするM ₂の円軌道に対応する軌道周期が、 M ₁の周りのM ₂の周期を√ 3 ≈ 1.73で割った値になるような距離として記述できます。 $${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

_L2の位置は、重力が向心力を提供する以下の式を満たす解である。 $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ パラメータはL1の場合と同様に定義される_。対応する5次方程式は $${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

また、小さい方の物体の質量（M ₂）が大きい方の物体の質量（M ₁）よりもはるかに小さい場合、L _{2 は}ヒル球の半径とほぼ等しくなり、次の式で与えられます。 $$\displaystyle r\approx R\sqrt[3]\frac{\mu}{3}}}}$$

潮汐の影響と見かけの大きさに関する考察は、L ₁点の場合と同様である。例えば、L ₂から見た太陽の角半径は arcsin( ⁠695.5 × 10 ³ /151.1 × 10 ⁶ ⁠) ≈ 0.264°、一方地球のそれは arcsin(⁠ 6371 /1.5 × 10 ⁶ ⁠) ≈₂ から太陽を見ると、金環日食が見られますガイアのような宇宙船は、太陽電池パネルが太陽光を十分に受けるようにL₂リサジュー軌道またはハロー軌道で周回する

_L3の位置は、重力が向心力を提供する以下の式を満たす解である。 $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(Rr\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$ パラメータM ₁、M ₂、およびRはL ₁および L ₂の場合と同様に定義され、r はL ₃からより大きな物体の中心までの距離がR  − rとなるように定義される。より小さな物体 ( M ₂ )の質量がより大きな物体 ( M ₁ )の質量よりはるかに小さい場合、次のようになる。^{[ 21 ]} 

$${\displaystyle r\approx R(1-{\tfrac {5}{12}}\mu ).}$$

_{したがって、 L3}からより大きな物体までの距離は、2つの物体間の距離よりも小さい（ただし、 _L3と重心間の距離は、より小さな物体と重心間の距離よりも大きい）。

これらの点が平衡状態にある理由は、L4_とL5において2つの質量までの距離が等しいためです。したがって、2つの質量体からの重力は、2つの質量の比と同じであり、結果として生じる力は系の重心を通って作用します。さらに、三角形の幾何学的形状により、結果として生じる加速度は、2つの質量体_の場合と同様に、重心からの距離に対して同じ比になります。重心は3体システムの質量中心と回転中心の両方であるため、この結果として生じる力は、ラグランジュ点にある小さい物体をシステムの他の2つの大きい物体と軌道平衡状態に保つために必要な力と正確に一致します（実際には、3番目の物体の質量は無視できるほど小さくなければなりません）。一般的な三角形の構成は、ラグランジュが3体問題に取り組んでいた際に発見されました。

軌道上にある物体の、両天体を通る直線上の点における 半径方向加速度a は、次式で与えられる。$${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(Rr)^{2}}}\operatorname {sgn}(Rr)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$ ここで、 rは大きな物体M ₁からの距離、Rは 2 つの主要な物体間の距離、sgn( x ) はxの符号関数です。この関数の各項は、それぞれM ₁からの力、M ₂からの力、および向心力を表します。点 L ₃、L ₁、L ₂は加速度がゼロになる場所です (右の図を参照)。正の加速度は図の右方向への加速度であり、負の加速度は左方向への加速度です。そのため、重力井戸の反対側では加速度の符号が逆になります。

太陽・地球L _1は、太陽・地球系の観測に適しています。ここの天体は地球や月によって影になることはなく、地球を観測する場合は常に太陽光が当たっている半球を見ることができます。この種の最初のミッションは、太陽擾乱の惑星間早期警報嵐モニターとして使用された1978年の国際太陽地球探査機3号（ISEE-3）ミッションでした。 ^{[ 26 ]} 2015年6月以降、DSCOVRはL ₁点を周回しています。逆に、 L 1は太陽を遮ることなく見ることができ、あらゆる宇宙天気（太陽風やコロナ質量放出を含む）が地球より最大1時間早くL _{1に到達するため、宇宙ベースの}太陽望遠鏡にも役立ちます。現在L _{1周辺にある太陽および太陽圏ミッションには、}太陽および太陽圏観測所、Wind、Aditya-L ₁ミッション、およびAdvanced Composition Explorerがあります。計画されているミッションには、星間マッピング加速探査機（IMAP）とNEOサーベイヤーが含まれます。最近検討された概念には、地球温暖化を緩和するための宇宙ベースの太陽放射管理ソリューションの一部として、L1点_に大きな遮蔽膜を配置することも含まれています。^{[ 27 ] [ 28 ]}

太陽-地球L ₂は宇宙観測所にとって良い場所です。L ₂の周りの物体は太陽と地球に対して同じ相対位置を維持するため、遮蔽と較正がは​​るかに簡単になります。ただし、地球の本影の範囲をわずかに超えているため^{[ 29 ]}、 L ₂では太陽放射が完全に遮断されるわけではありません。宇宙船は通常、一定の温度を維持するために太陽の部分日食を避けてL ₂の周りを周回します。L _{2 の}近くの場所からは、太陽、地球、月が空で比較的近くに見えます。これは、望遠鏡を暗い側に置いた大きな日よけによって望遠鏡を約 50 K まで受動的に冷却できることを意味します。これは、赤外線天文学や宇宙マイクロ波背景放射の観測に特に役立ちます。ジェームズ ウェッブ宇宙望遠鏡は、2022 年 1 月 24 日に L _{2 の}周りのハロー軌道に配置されました。

太陽-地球L1とL2_は鞍点であり、約23日の時定数で指数関数的に不安定です。これらの点にある衛星は_、軌道修正を行わない限り、数か月で軌道から外れてしまいます。^{[ 10 ]}

太陽・地球L3_は、パルプSFやコミックで「反地球」を配置するのに人気の場所だったが、宇宙時代よりずっと前に、軌道力学や惑星同士の軌道摂動が理解されるようになってからは、この場所に惑星が存在することは不可能だと認識されていた。地球サイズの天体が他の惑星に及ぼす影響は見過ごされることはなく、反地球の質量のために地球の軌道楕円の焦点が予想された位置にないことも見過ごされることはなかっただろう。しかし、太陽・地球L3_は弱い鞍点であり、時定数が約150年の指数関数的に不安定である。^{[ 10 ]}さらに、他の惑星の重力は地球の重力よりも強いため（例えば、金星は20ヶ月ごとにこのL ₃から0.3 AU以内に接近する） 、大小を問わず自然物を長期間保持することはできない。^{[ 30 ]}  

太陽・地球L3付近を周回する宇宙船は、太陽黒点が_地磁気的に有効な位置に回転する前に、その活動的な黒点領域の進化を綿密に監視できるため、NOAA宇宙天気予報センターは7日前の早期警報を発令できる。さらに、太陽・地球L3付近の衛星は_{、地球の予報だけでなく、深宇宙支援（火星の予測や}地球近傍小惑星への有人ミッション）にも非常に重要な観測データを提供する。2010年には、太陽・地球L3への宇宙船の遷移軌道_が研究され、いくつかの設計が検討された。^{[ 31 ]}

地球・月L1_は、速度変化を最小限に抑えながら月周回軌道や地球周回軌道に比較的容易にアクセスできるため、貨物や人員を月へ輸送し、地球へ帰還させるための居住可能な宇宙ステーションを配置する上で有利である。SMART -1ミッション^{[ 32 ]}_{は2004年11月11日にL1}ラグランジュ点を通過し、月の重力の影響が支配的な領域に入った。

地球・月L2_は、例えば2018年に打ち上げられた月の裏側をカバーする通信衛星Queqiaoに使用されており^{[ 33 ]} 、提案されている貯蔵施設ベースの宇宙輸送アーキテクチャの一部として、推進剤貯蔵施設の「理想的な場所」となるだろう^{[ 34 ] 。}

地球・月系の_L4とL5は_、コルディレフスキー塵雲の位置です。^{[ 35 ]} L5協会の名前は、地球・月系のL4とL5ラグランジュ点に由来し、_巨大な_回転式宇宙居住施設の設置場所として提案されています。これらの位置は、地球をカバーする静止軌道上の通信衛星と同様に、月をカバーする通信衛星の設置場所としても提案されています。 ^{[ 36 ] [ 37 ]}

B612財団の科学者たちは^{[ 38 ]}、地球の軌道を振り返って地球近傍小惑星のカタログを作成することを目的とした計画中のセンチネル望遠鏡の位置を金星のL3_点に合わせる計画を立てていた^{[ 39 ]}。

2017年、火星の人工磁気圏として使用するために、太陽と火星のL1_点に磁気双極子シールドを配置するというアイデアがNASAの会議で議論された。 ^{[ 40 ]}このアイデアは、惑星の大気を太陽の放射線と太陽風から保護するというものである。