四重極

四重極子または四極子は、理想的な形で存在できる電荷や電流、重力質量などの一連の構成の 1 つですが、通常はさまざまな複雑さの順序を反映したより複雑な構造の多極展開の一部にすぎません。

四重極モーメントテンソル Qは、階数 2 のテンソル(3×3 行列) です。定義は複数ありますが、通常はトレースレス形式 (つまり) で表されます。四重極モーメントテンソルには 9 つの成分がありますが、転置対称性とゼロトレース特性のため、この形式ではこれらのうち 5 つだけが独立しています。 ${\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}$

重力四重極の場合の点電荷または点質量の離散システムでは、それぞれ電荷、または質量、および座標系の原点に対する位置があり、Q行列の成分は次のように定義されます。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle q_{\ell }}$${\displaystyle m_{\ell }}$${\displaystyle \mathbf {r} _{\ell }=\left(r_{x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)}$

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }\left(3r_{i\ell }r_{j\ell }-\left\|\mathbf {r} _{\ell }\right\|^{2}\delta _{ij}\right).}$

インデックスは直交座標上にあり、クロネッカーのデルタです。つまり、クロネッカーのデルタが 1 になるためには 、 が符号を除いた、点から互いに垂直な超平面までの距離に等しくなければなりません。${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle n}$

非トレースレス形式では、四重極モーメントは次のように表されることがあります。

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }}$

この形式は高速多重極法に関する文献でいくつか使用されています。これら2つの形式間の変換は、デトレーシング演算子を使用して簡単に行うことができます。^[1]

電荷密度または質量密度を持つ連続システムの場合、Qの成分は直交座標空間r上の積分によって定義されます。^[2]${\displaystyle \rho (x,y,z)}$

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left(3r_{i}r_{j}-\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$

あらゆる多極子モーメントと同様に、より低次のモーメント（この場合は単極子または双極子）がゼロでない場合、四極子モーメントの値は座標原点の選択によって決まります。たとえば、単極子モーメントを持たない、反対の符号で同じ強さの点電荷 2 つの双極子は、原点を 2 つの電荷のちょうど中間の配置の中心からずらすと、ゼロ以外の四極子モーメントを持つことができます。または、原点を中心にして四極子モーメントをゼロに減らすことができます。対照的に、単極子モーメントと双極子モーメントは消えるが、四極子モーメントは消えない場合（たとえば、同じ強さの 4 つの電荷が交互に符号を付けて正方形に配置されている場合）、四極子モーメントは座標に依存しません。

各電荷が電場や重力場のような「ポテンシャル」場の源である場合、四重極モーメントによる 場のポテンシャルへの寄与は次のようになります。${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

ここで、 Rは電荷システム内の原点を持つベクトルであり、R̂ はRの方向の単位ベクトルです。つまり、は原点からフィールド ポイントを指す単位ベクトルの直交座標成分です。ここで、はフィールドの種類と使用されている単位によって決まる定数です。 ${\displaystyle {\hat {R}}_{i}}$${\displaystyle i=x,y,z}$${\displaystyle k}$

電気四重極の簡単な例は、正電荷と負電荷が交互に正方形の角に配列されたものです。この配列の単極子モーメント（総電荷）はゼロです。同様に、双極子モーメントは、選択された座標原点に関係なくゼロです。この結果、均一な場にある四重極は正味の力も正味のトルクも受けませんが、不均一な場にある四重極は、異なる電荷サイトでの場の勾配に応じて正味の力またはトルクを受けることがあります。^[3]単極子モーメントと双極子モーメントとは対照的に、図の配列の四重極モーメントは、座標原点をどこに置いてもゼロにすることはできません。電荷四重極の電位は次のように与えられます^[4]

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

ここで は電気誘電率であり、上記の定義に従います。 ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle Q_{ij}}$

あるいは、他の情報源^[5]では、テンソル自体に1/2の係数を含めており、次のようになります。 ${\displaystyle Q_{ij}}$

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$、 そして

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

これは多重極展開から得られるルジャンドル多項式との関連をより明確にするものであり、ここでは${\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$

極端に一般化すると (「点八極子」)、次のようになります。たとえば、辺の長さがaの立方体などの平行六面体の 8 つの角に、8 つの点電荷が交互に配置されます。この配置の「八極子モーメント」は、「八極子極限」では、3 次非ゼロの対角テンソルに対応します。さらに高次の多重極子 (たとえば 次) は、点双極子 (四極子、八極子、...) の双極子 (四極子、八極子、...) 配置によって得られ、低次の点単極子 (たとえば ) では得られません。 ${\textstyle \lim _{a\to 0}{a^{3}\cdot Q}\to {\text{const. }}}$${\displaystyle 2^{\ell }}$${\displaystyle 2^{\ell -1}}$

既知のすべての磁気源は双極子磁場を発生します。ただし、4 つの同一の棒磁石を互いに垂直に配置し、一方の N 極がもう一方の S 極に隣接するようにすると、磁気四極子を作成できます。このような構成では双極子モーメントが打ち消され、四極子モーメントが生成され、その磁場は遠距離では双極子よりも速く減少します。

永久磁石を含む磁気四極子の例を右に示します。同様の概念設計の電磁石(四極子磁石と呼ばれる) は、粒子加速器やビーム輸送ラインで荷電粒子のビームを集束させるためによく使用されます。この方法は、強集束と呼ばれます。4 つの鋼鉄製磁極の先端、2 つの反対向きの磁極 N と 2 つの反対向きの磁極 S があります。鋼鉄は、磁極の周りに巻かれたチューブのコイルを流れる 大電流によって磁化されます。

変化する磁気四重極モーメントにより電磁放射が発生します。

質量四重極は電荷四重極に類似しており、電荷密度が質量密度に置き換えられ、質量は常に正で力が引力であるため、負の符号が追加されます。重力ポテンシャルは次のように表されます。

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ .}$

たとえば、地球は自転しているため、扁平（両極が平ら）になっています。このため、四重極モーメントはゼロではありません。この四重極モーメントが地球の重力場に及ぼす影響は、地球に近い人工衛星にとっては非常に重要ですが、月の場合はその項が急速に減少するため、それほど重要ではありません。 ${\displaystyle {1}/{|\mathbf {R} |^{3}}}$

質量四重極モーメントも一般相対性理論において重要である。なぜなら、それが時間とともに変化すると、振動する電気または磁気双極子および高次の多極子によって生成される電磁放射と同様に、重力放射を生成することができるからである。しかし、四重極モーメントおよび高次のモーメントのみが重力放射を行うことができる。質量単極子は、システム内の総質量エネルギーを表し、これは保存されるため、放射を放射しない。同様に、質量双極子はシステムの質量中心に対応し、その一次導関数は運動量を表し、これも保存量であるため、質量双極子も放射を放射しない。しかし、質量四重極子は時間とともに変化する可能性があり、重力放射への最低次の寄与である。^[6]

放射システムの最も単純かつ最も重要な例は、円軌道上で互いに周回する質量が等しい2つの質点のペアであり、これは例えば連星ブラックホールの特殊なケースの近似である。双極子モーメントは一定であるため、便宜上、座標原点を2つの点のちょうど中間に置くことができる。そうすると双極子モーメントはゼロになり、点が中心から反対方向に単位距離になるように座標をスケーリングすると、システムの四重極モーメントは単純に次のようになる。

${\displaystyle Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)}$

ここで、M は各点の質量であり、 は点のうちの 1 つの (単位) 位置ベクトルの成分です。軌道を回ると、このxベクトルは回転します。つまり、最初の時間微分はゼロではなく、2 番目の時間微分もゼロではありません (もちろん、これは座標系の選択に関係なく当てはまります)。したがって、このシステムは重力波を放射します。このようにして失われたエネルギーは、同様の質量を持つ別の中性子星と一緒に軌道を回るパルサーであるハルス - テイラー連星の周期が変化するときに初めて観測されました。 ${\displaystyle x_{i}}$

電荷と電流の多重極が電磁場に寄与するのと同様に、質量と質量電流の多重極は一般相対性理論における重力場に寄与し、いわゆる重力磁気効果を引き起こします。質量電流の多重極が変化すると、重力放射も放出されます。ただし、電流の多重極からの寄与は、通常、質量四重極からの寄与よりもはるかに小さくなります。

• 多極展開