シェル定理

古典力学において、殻定理は球対称体の内側または外側の物体に適用できる重力の単純化を与える。この定理は特に天文学に応用されている。

アイザック・ニュートンは殻定理^[1]を証明し、次のように述べています。

1. 球 対称の物体は、その全質量が中心の一点に集中しているかのように、外部の物体に重力の影響を与えます。
2. 物体が球対称の殻（つまり中空の球）である場合、殻内の物体の位置に関係なく、殻から内部の物体に正味の重力は作用しません。

系として、密度が一定の固体球の内部では、物体内部の重力は中心からの距離とともに直線的に変化し、対称性により質量の中心でゼロになる。これは次のように考えればわかる。そのような球の内部で、球の中心から の距離にある点を取る。すると、殻定理 (2) に従って、より大きな半径を持つすべての殻を無視できる。しかし、この点は半径 r の残りの球の外部にあると見なすことができ、(1) に従って、この球のすべての質量はその中心に集中していると考えることができる。残りの質量は に比例する(体積に基づいているため)。半径 r の物体に働く重力は に比例する(反二乗則) ため、全体的な重力の影響は に比例し、は に直線的である。${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r^{3}}$${\displaystyle m/r^{2}}$${\displaystyle r^{3}/r^{2}=r}$${\displaystyle r}$

これらの結果は、ニュートンの惑星運動の分析にとって重要でした。すぐには明らかではありませんが、微積分で証明できます。(ガウスの重力の法則は、定理を述べる別の方法を提供します。)

重力に加えて、殻定理は静的な球対称電荷密度によって生成される電場を記述するためにも使用できます。同様に、逆二乗則に従う他の現象にも使用できます。以下の導出は重力に焦点を当てていますが、結果は静電力に簡単に一般化できます。

ニュートンの殻定理 (1) を証明するには 3 つのステップがあります。まず、質量のあるリングによる重力場の方程式を導出します。無限に薄いリングを無限に並べて円盤を作り、リングに関するこの方程式を使用して円盤による重力場を求めます。最後に、無限に薄い円盤を無限に並べて球を作り、円盤に関するこの方程式を使用して球による重力場を求めます。

原点の質量点によるx軸上の位置における重力場は、${\displaystyle E}$${\displaystyle P}$${\displaystyle (x,y)=(-p,0)}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle E_{\text{point}}={\frac {GM}{p^{2}}}}$$ この質量がy軸に沿って点 まで 上方に動かされたとします。と質点の間の距離は前よりも長くなります。これは、 と の 2 辺を持つ直角三角形の斜辺になります。 したがって、上昇した点の重力場は次のようになります。 ${\displaystyle (-p,R)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\textstyle {\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}$$${\displaystyle E_{\text{高点}}={\frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}}$$

点にある粒子をx方向に引っ張る重力場の大きさは、重力場 に を掛けた値です。はx軸に隣接する角度です。 この場合、です。したがって、 x方向の重力場の大きさは、次のようになります 。を に代入すると、次のようになります。 この質量が、原点を中心とし、同じ半径 で点 を向くリング内に均等に分散されているとします。質量はすべてx軸に対して同じ角度に配置されており、リング上の点間の距離は前と同じ距離であるため、リングによる点 でのx方向の重力場は、y軸から単位上方の点にある質点と同じになります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \cos(\theta )}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}}$${\displaystyle E_{x}}$$${\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}}$$${\displaystyle \cos(\theta )}$$${\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle E_{\text{ring}}={\frac {GMp}{\left(p^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}}}$$

円盤による点 での重力場を求めるには、 に面した、半径、幅、質量の無限に薄いリングを無限個、互いに重ね合わせて円盤を形成します。リングの 1 つの質量は、円盤の質量にリングの面積と円盤の総面積の比を乗じたものです。つまり、 です。したがって、重力場の小さな変化は、次のようになります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle y}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dM}$${\displaystyle dM}$${\displaystyle 2\pi y\,dy}$${\displaystyle \pi R^{2}}$${\textstyle dM={\frac {M\cdot 2y\,dy}{R^{2}}}}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle dE={\frac {Gp\,dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$

を に代入して両辺を積分すると、ディスクの重力場が得られます。 これらの各リングからの重力場への寄与を合計すると、ディスクによる重力場の式が得られます。 これは、上記の式を から まで積分することと同等で、結果は次のようになります。 原点を中心とする球による 点 での重力場を求めるには、 に面した、半径、幅、質量の無限に薄いディスクを無限個まとめて配置します。 ${\displaystyle dM}$$${\displaystyle E=\int {\frac {GMp\cdot {\frac {2y\,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=R}$$${\displaystyle E_{\text{disc}}={\frac {2GM}{R^{2}}}\left(1-{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+R^{2}}}}\right)}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle R}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dM}$

これらの円盤の半径は、半円の方程式である球（一定の半径 ）の断面の高さに従います。は からまで変化します。${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\textstyle R={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

いずれの円板の質量も、球の質量に、無限に薄い円板の体積を球（半径 は一定）の体積で割った比を掛けたものです。無限に薄い円板の体積は、または です。したがって、 です。 簡略化すると となります。${\displaystyle dM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \pi R^{2}\,dx}$${\textstyle \pi \left(a^{2}-x^{2}\right)dx}$${\textstyle dM={\frac {\pi M(a^{2}-x^{2})\,dx}{{\frac {4}{3}}\pi a^{3}}}}$${\textstyle dM={\frac {3M(a^{2}-x^{2})\,dx}{4a^{3}}}}$

各ディスクの からの位置は、ディスクで作成された「球」内の位置によって変化するため、に置き換える必要があります。${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+x}$

「円板」方程式 でを 、を、をに置き換えると、次の式が得られます。 簡略化すると、 からまで の各薄い円板の重力場を について積分し、慎重に代数計算を行うと、ニュートンの殻定理が得られます。 ここで、 は球状の質量の中心と任意の点 の間の距離です。 球状の質量の重力場は、すべての質量を球の中心にある点粒子として扱うことで計算できます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle dM}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+x}$$${\displaystyle dE={\frac {\left({\frac {2G\left[3M\left(a^{2}-x^{2}\right)\right]}{4a^{3}}}\right)}{{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {(p+x)^{2}+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}^{2}}}}\right)\,dx}$$$${\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}\left(1-{\frac {p+x}{\sqrt {p^{2}+a^{2}+2px}}}\right)dx}$$${\displaystyle x=-a}$${\displaystyle x=+a}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle E={\frac {GM}{p^{2}}}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$

球 対称の固体は、無限個の同心円状の極小の薄い球殻としてモデル化できます。これらの殻の 1 つを質点として扱うことができる場合、殻のシステム (球体) も質点として扱うことができます。このような殻の 1 つを考えてみましょう (図は断面を示しています)。

(注:図の は円弧の長さではなく、小さな角度を指します。円弧の長さは です。)${\displaystyle d\theta }$${\textstyle R\,d\theta }$

ニュートンの万有引力の法則を適用すると、網掛けされた帯の質量要素による力の合計は

${\displaystyle dF={\frac {Gm}{s^{2}}}dM.}$

しかし、円形バンドの対称性と相まって力のベクトル性質により部分的に相殺されるため、残りの成分（ に向かう方向）は次のように表される。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm}{s^{2}}}\cos(\varphi )\,dM}$

に作用する力の合計は、すべてのバンドによって及ぼされる力の合計になります。各バンドの幅を狭くし、バンドの数を増やすと、合計は積分式になります。 ${\displaystyle m}$

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

と は定数なので、積分から取り除くことができます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,dM.}$

この積分を評価するには、まず関数として表す必要があります。${\displaystyle dM}$${\displaystyle d\theta }$

球殻の総表面積は

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

と間の 薄いスライスの表面積は${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +d\theta }$

${\displaystyle 2\pi R\sin(\theta )R\,d\theta =2\pi R^{2}\sin(\theta )\,d\theta }$

殻の質量がであれば 、${\displaystyle M}$

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin(\theta )}{4\pi R^{2}}}M\,d\theta ={\frac {1}{2}}M\sin(\theta )\,d\theta }$

そして

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta }$

余弦定理により、

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

そして

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

これら 2 つの関係は、積分に現れる3 つのパラメータ、およびを結び付けます。 がラジアンから に増加するにつれて、 は初期値0 から最大値まで変化し、最終的に でゼロに戻ります。同時に、はが0 から に増加するにつれて、初期値から最終値まで増加します。 これは次のアニメーションで示されています。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle r-R}$${\displaystyle r+R}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$

(注: から見ると、青い網掛けの帯は、が消えるにつれて内側と外側の半径が に収束する細い環状領域のように見えます。) ${\displaystyle m}$${\displaystyle R\sin(\theta )}$${\displaystyle d\theta }$

積分関数の原始関数を見つけるには、の代わりに独立した積分変数を作成する必要があります。${\displaystyle s}$${\displaystyle \theta }$

上記の「余弦定理」式の2番目の 暗黙の微分を実行すると、次の式が得られます。

${\displaystyle -\sin(\theta )\,d\theta ={\frac {-2s}{2rR}}\,ds}$

そしてこうして

${\displaystyle \sin(\theta )\,d\theta ={\frac {s}{rR}}\,ds.}$

すると、

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}{\frac {1}{rR}}\int {\frac {s\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,ds={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos(\varphi )}{s}}\,ds}$

ここで、新しい積分変数はからに増加します。${\displaystyle s}$${\displaystyle r-R}$ ${\displaystyle r+R}$

上記の「余弦定理」の最初の式を使用する 式を挿入すると、最終的に次の式が得られます。${\displaystyle \cos(\varphi )}$

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\ ds\ .}$

積分関数の 原始関数は

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\ ,}$

この原始関数に 積分変数の境界とを挿入すると、次の式が得られます。${\displaystyle r-R}$${\displaystyle r+R}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{r^{2}}},}$

つまり、重力は殻の中心にある同じ質量の質点の重力と同じであるということです。

この球殻の結果を使って、先ほどの固体球の結果を再導出することができます。これは、質量が の極小の薄い球殻を積分することによって行われ、固体球が球の外側の物体に及ぼす重力の総寄与を得ることができます。 ${\displaystyle dM}$

${\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}$

均一密度とは、半径からまでの密度を の関数として表すことができる 。${\displaystyle x}$${\displaystyle x+dx}$ ${\displaystyle dM}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}$

したがって、総重力は

${\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}\,dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

先に述べたように、これは、固体球体の外部物体に対する重力が、同じ質量を持つ球体の中心にある質点の重力として単純化できることを示唆しています。

シェル内の点の場合、違いは、θがゼロのとき、ϕ は値πラジアンを取り、s は値R − r を取ることです。θ が0 からπラジアンに増加すると、ϕ は初期値πラジアンからゼロに減少し、s は初期値R − rから値R + rに増加します。

これは次の図で確認できます。

これらの境界をプリミティブ関数に挿入する

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}}$

この場合、

${\displaystyle F_{r}=0,}$

つまり、測定点の外側にあるシェルの質量要素から質点に作用する正味の重力は打ち消されるということです。

一般化:の場合、シェル内の合力は次のようになります。 ${\displaystyle f={\frac {k}{r^{p}}}}$

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

上記は、次の場合にのみ、完全にゼロになります。${\displaystyle F(r)}$${\displaystyle p=2}$

シェルの外側（つまりまたは）： ${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r<-R}$

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

殻定理は、ガウスの重力の法則から直接導かれるものであり、

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM}$

ここでMは半径rの球の内部にある球対称質量分布の部分の質量であり、

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS}$

は、内部の全質量がMである任意の閉じた表面上の重力場の表面積分であり、単位ベクトルは表面の外向きの法線です。 ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

質点、球殻、均質球などの球対称質量分布の重力場も球対称でなければならない。対称点から別の点への方向の単位ベクトルが である場合、この別の点における重力場は ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

ここでg ( r )は対称点までの 距離rのみに依存する。

対称点を中心とする半径rの球として閉じた表面を選択すると、表面上の点に対する外向きの法線は、質量分布の対称点から離れる方向を正確に指すことになります。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

したがって、

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r){\hat {\mathbf {n} }}}$

そして

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,dS=g(r)4\pi r^{2}}$

球の面積は 4 π r ²です。

ガウスの法則から次の式が導かれる。

${\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM,}$

または、

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

殻定理の逆が正しいかどうか、つまり定理の結果が万有引力の法則を意味するかどうか、あるいは定理が成り立つより一般的な力の法則があるかどうか、という疑問が自然に生じます。より具体的には、次のような疑問が生じます。

実際、これにより、（ニュートン力学の）逆二乗よりも正確に1つの種類の力が許容されます。^{[2] [3]}ヴァヘ・グルザディアンが^[2]の グルザディアン定理で導出した最も一般的な力は次のとおりです。

${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}+{\frac {\Lambda mc^{2}r}{3}}}$

ここで、および は任意の値を取る定数です。最初の項はよく知られた万有引力の法則です。2 番目の項は、一般相対性理論における宇宙定数項に類似した追加の力です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Lambda }$

定理の 2 番目の部分、つまり中空のボールの内部には力が存在しないことも条件として力をさらに制限すると、追加の項の可能性が排除され、逆二乗の法則が実際に定理を満たす唯一の力の法則になります。

一方、条件を緩和し、球対称物体の外側のあらゆる場所の場が（任意の質量の）中心にある質点からの場と同じであることのみを要求すると、湯川ポテンシャルによって与えられる新しいクラスの解が許可され、その逆二乗則は特別なケースになります。

ディスクに関してもう一つの一般化は、次のことを観察することによって可能となる。

${\displaystyle dM={\frac {R^{2}}{2}}{\frac {d\theta \,\sin ^{2}(\theta )}{\pi R^{2}}}M={\frac {\sin ^{2}(\theta )}{2\pi }}M\,d\theta }$

それで：

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2\pi }}\int {\frac {\sin ^{2}(\theta )\cos(\varphi )}{s^{2}}}\,d\theta ,}$

ここで、、 は物体の密度です。 ${\displaystyle M=\pi R^{2}\rho }$${\displaystyle \rho }$

すべての中間計算を実行すると次のようになります。

${\displaystyle F(r)={\frac {Gm\rho }{8r^{3}}}\int _{R-r}^{R+r}{\frac {\left(r^{2}+s^{2}-R^{2}\right){\sqrt {2\left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}\right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}}\,ds}$

命題 70 と 71 は、表面が極めて薄く、質量密度が表面上で一定である中空の球から粒子に作用する力について考察しています。球の表面の小さな領域から粒子に作用する力は、その領域の質量に比例し、粒子からの距離の 2 乗に反比例します。最初の命題は粒子が球の内側にある場合、2 番目の命題は外側にある場合について考察しています。幾何学的構成における微小量と極限過程の使用は単純かつ簡潔で、積分が不要です。これらは、ニュートンが『プリンキピア』の多くの命題を証明する方法をよく表しています。

命題 70 の証明は簡単です。以下では、ニュートンが示すよりも少しだけ詳細に検討します。

命題 71 の証明は、歴史的にさらに重要です。これは、球体内の任意の点の密度が球体の中心からの距離のみの関数である場合、固体球体の重力が球体の外側の粒子に作用する力は、球体の中心からの距離の 2 乗に反比例するという彼の証明の最初の部分です。

以下の証明はニュートンの証明に完全に忠実ですが、より明確にするためにごくわずかな変更が加えられています。

図 2 は、中空球の中心 S と球内部の任意の点 P を通る断面です。P を通って 2 本の線 IL と HK を描き、角度 KPL が非常に小さくなるようにします。JM は、P を通りその角度を二等分する線です。円周角の定理から、三角形 IPH と KPL は相似です。線 KH と IL を軸 JM の周りで回転させて 2 つの円錐を形成し、2 つの閉じた曲線で球と交差します。図 1 では、球は線 PE に沿って遠くから見ており、両方の曲線が見えるように透明であると想定されています。

円錐が交差する球面は平らであるとみなすことができ、${\displaystyle \angle PJI=\angle PMK}$

円錐と平面の交差は楕円なので、この場合、交差によって長軸が IH と KL の 2 つの楕円が形成されます。${\displaystyle {\frac {IH}{KL}}={\frac {PJ}{PM}}}$

同様の議論により、短軸の比は同じです。これは球を上から見た場合に明らかです。したがって、2 つの楕円は相似であり、その面積は長軸の 2 乗になります。表面の任意のセクションの質量はそのセクションの面積に比例するため、2 つの楕円の面積の質量の比は です。${\displaystyle \propto {\frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}}$

どちらの楕円領域からも JM 方向への P への引力は、領域の質量に比例し、P からの距離の 2 乗に反比例するため、P から球までの距離とは無関係です。したがって、2 つの微小楕円領域から P に働く力は等しく、反対方向であり、JM 方向には正味の力はありません。

P の位置と JM の方向はどちらも任意であるため、中空の球体内のどの粒子も球体の質量から正味の力を受けないことになります。

注: ニュートンは、弧 IH と KL を単に「最小限に小さい」と表現し、線 IL と HK によって描かれる領域は、必ずしも楕円形ではなく、任意の形状にすることができますが、常に類似したものになります。

図 1 は、中空球の中心 S と、球の外側の任意の点 P を通る断面です。PT は、P を通る T での円の接線です。HI は、PH が PT より小さい表面上の小さな円弧です。PI を延長して球と L で交差し、SF を点 F で IL と二等分するように描きます。PH を延長して球と K で交差し、SE を点 E で HK と二等分するように描きます。SF を延長して HK と D で交差します。P と中心 S を結ぶ線 PS に垂線 IQ を下ろします。球の半径を a、距離 PS を D とします。

弧 IH を図の平面から垂直に小さな距離 ζ だけ延長します。生成される図形の面積は で、その質量はこの積に比例します。 ${\displaystyle IH\cdot \zeta }$

この質量による力は、P にある粒子に対して線 PI に沿って作用します。 ${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot \zeta }{PI^{2}}}}$

この力の中心に向かう成分。 ${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot PQ\cdot \zeta }{PI^{3}}}}$

ここで、弧HI を線PS の周りで完全に回転させて幅HI、半径IQのリングを形成すると、リングの長さは 2 π · IQ、面積は 2 π · IQ · IHです。このリングによるPの粒子に対するPS 方向の力の成分は になります。${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}}$

リング内の質量はPS を中心に対称に分布しているため、 PSに向かう力の垂直成分は相殺されます。したがって、 PS方向の成分は、PSを中心に円弧HI を回転させることによって形成されるリングによるPへの総力です。

相似三角形から: 、、。${\displaystyle {\frac {IQ}{PI}}={\frac {FS}{D}}}$ ${\displaystyle {\frac {PQ}{PI}}={\frac {PF}{D}}}$${\displaystyle {\frac {RI}{PI}}={\frac {DF}{PF}}}$

HI が直線として取れるくらい十分に小さい場合、は直角であり、となる。${\displaystyle \angle SIH}$${\displaystyle \angle RIH=\angle FIS}$${\displaystyle {\frac {HI}{RI}}={\frac {a}{IF}}}$

したがって、リングによるPへの力。${\displaystyle \propto {\frac {IH\cdot IQ\cdot PQ}{PI^{3}}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS\cdot PF}{IF\cdot PF\cdot D\cdot D}}={\frac {a\cdot DF\cdot FS}{IF\cdot D^{2}}}}$

ここで、図 2 で、別の粒子が球の外側の点pにあり、球の中心からの距離がd だけ異なると仮定します。対応する点は小文字で表記されます。比較しやすいように、図 1 のPの構成も図 2 に示されています。前と同様に、 ph はptより小さくなります。

角度とわずかに大きい角度 を作ることで、幅 ih と半径 iq のリングを生成します。これにより、距離 PS は、i での pS と同じ角度で I に張られます。同じことが、それぞれ H と h にも当てはまります。 ${\displaystyle fiS=FIS}$${\displaystyle dhS=DHS}$

このリングによるpにかかる全力は

${\displaystyle \propto {\frac {ih\cdot iq\cdot pq}{pi^{3}}}={\frac {a\cdot df\cdot fS}{if\cdot d^{2}}}}$

明らかに、、および。${\displaystyle fS=FS}$ ${\displaystyle if=IF}$${\displaystyle eS=ES}$

ニュートンは、角度 DPF と dpf が「一緒に消える」ため、DF と df は極限で等しいとみなせると主張しています。角度 DPF と dpf は等しくないことに注意してください。DS と dS は極限で等しくなりますが、これは DF と df の両方がゼロに近づくときに DF と df の比率が 1 に等しくなることを意味しません。有限の場合、DF は D に依存し、df は d に依存するため、等しくありません。

極限における DF と df の比は重要なので、より詳細な分析が必要です。相似な直角三角形 および から、が得られます。 DF について二次方程式を解くと、 の極限では、 ES が FS に近づくにつれて、根が小さくなります。もっと簡単に言うと、 DF がゼロに近づくにつれて、 の極限では項を無視でき、同じ結果になります。 明らかに df には同じ極限があり、ニュートンの主張を正当化しています。 ${\textstyle {\frac {DF}{PF}}={\frac {ED}{ES}}}$${\displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}}$${\displaystyle {\frac {\left(PF^{2}-ES^{2}\right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0}$${\displaystyle DF=ES-FS}$${\displaystyle DF^{2}}$${\displaystyle 2\cdot FS\cdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0}$

PS を中心に回転するリング HI からの力と pS を中心に回転するリング hi からの力を比較すると、これら 2 つの力の比は等しくなります。${\textstyle {\frac {d^{2}}{D^{2}}}}$

弧 AT と Bt を対応する微小なリングに分割すると、PS を中心に回転する弧 AT による力と pS を中心に回転する弧 Bt による力の比率は同じになり、同様に、両方を回転する弧 TB による力と tA による力の比率も同じになります。

したがって、中空球の中心から任意の距離 D にある粒子に作用する力は に反比例し、命題が証明されます。 ${\displaystyle D^{2}}$

殻定理に類似するものは一般相対性理論(GR) に存在します。

球対称性は、中心質量が重力崩壊を起こしている場合でも、計量が時間に依存しないシュワルツシルト幾何学を持つことを意味する（ミスナーら1973年、バーコフの定理を参照）。したがって、計量は次の形式を持つ 。

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r)\,dt^{2}+(1-2M/r)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega ^{2}}$

（幾何化された単位を使用、ただし）。（ここでは何らかの質量殻の半径）の場合、質量は原点でデルタ関数として機能します。 の場合、質量殻が外部に存在する可能性がありますが、計量が原点で非特異であるためには、計量において がゼロでなければなりません。これにより、計量は平坦なミンコフスキー空間に縮小されるため、外部殻は重力の影響を及ぼしません。 ${\displaystyle G=c=1}$${\displaystyle r>R>0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r<R}$${\displaystyle M}$

この結果は、ブラックホールにつながる重力崩壊と、それが事象の地平線の内外の光線と粒子の運動に与える影響を明らかにしています (Hartle 2003、第 12 章)。

• シャスルの定理（重力）
• スケールの高さ