半長軸と半短軸

幾何学では、楕円の長軸は楕円の最長直径、つまり中心と両方の焦点を通り、周囲の最も離れた2つの点で終わる線分です。半長軸（長半軸）は最長の半直径または長軸の半分であり、中心から焦点を通り、周囲まで伸びます。楕円または双曲線の半短軸（短半軸）は半長軸と直角で、円錐断面の中心に一方の端がある線分です。円の特殊なケースでは、半軸の長さは両方とも円の 半径に等しくなります。

楕円の長半径aの長さは、離心率eと半直角を介して短半径bと次のように関係します。 ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

双曲線の長半径は、慣例に応じて、2 つの枝の間の距離のプラスまたはマイナス半分になります。つまり、中心から双曲線の いずれかの頂点までの距離になります。

放物線は、楕円の列の極限として得られます。楕円の 1 つの焦点は固定され、もう 1 つの焦点は固定されたまま、一方向に任意の距離だけ移動できます。したがって、aとb は無限大に近づきますが、a はbよりも速くなります。 ${\displaystyle \ell }$

長軸と短軸は曲線の対称軸です。楕円の場合、短軸は短い方であり、双曲線の場合、短軸は双曲線と交差しない方です。

楕円の方程式は

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

ここで、( h ,  k ) は直交座標における楕円の中心であり、任意の点は ( x ,  y ) で与えられます。

半長軸は、焦点からの楕円の最大距離と最小距離の平均値、つまり焦点から長軸の端点までの距離の平均値で ある。${\displaystyle r_{\text{max}}}$${\displaystyle r_{\text{min}}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

天文学では、これらの極端な点はアプサイドと呼ばれます。^[1]

楕円の半短軸は、次の距離の幾何平均です。

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

楕円の離心率は次のように定義さ れる。

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

それで

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

ここで、一方の焦点を原点に、もう一方の焦点を方向に置いた極座標の方程式を考えてみましょう。 ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

およびの平均値は、およびの場合、 ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

楕円の場合、長半径は中心からいずれかの焦点までの距離と、中心からいずれかの準線までの距離の 幾何平均です。

楕円の半短軸は、楕円の中心 (焦点を結ぶ線上の中間点) から楕円の端まで伸びます。半短軸は短軸の半分です。短軸は、楕円の端にある 2 つの点を結ぶ、長軸に垂直な最長の線分です。

半短軸b は、離心率eと半直腸を介して半長軸aと次のように関係します。 ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

放物線は、楕円の列の極限として得られます。楕円の 1 つの焦点は固定され、もう 1 つの焦点は固定されたまま、一方向に任意の距離だけ移動できます。したがって、aとb は無限大に近づきますが、a はbよりも速くなります。 ${\displaystyle \ell }$

半短軸の長さは次の式で求めることもできる: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

ここで、fは焦点間の距離、pとq は各焦点から楕円内の任意の点までの距離です。

双曲線の長半径は慣例により、2つの枝の間の距離の半分プラスマイナスである。これがx方向の場合、式は次のようになる。 ^[3]

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

半直腸と偏心に関しては、

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

双曲線の横軸は長軸と一致する。^[4]

双曲線では、楕円の短軸に対応する長さ の共役軸または短軸を、横軸または長軸に垂直に描くことができます。横軸または長軸は双曲線の 2 つの頂点(転換点) を結び、2 つの軸は双曲線の中心で交差します。短軸の端点は、双曲線の頂点の上または下の漸近線の高さにあります。短軸のどちらかの半分は、長さbの半短軸と呼ばれます。半長軸の長さ (中心から頂点までの距離) をaと表すと、半短軸と半長軸の長さは、これらの軸に対する双曲線の方程式で次のように表されます。 ${\displaystyle 2b}$${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

短半径は、双曲線の焦点の 1 つから漸近線までの距離でもあります。これは、しばしば衝撃パラメータと呼ばれ、物理学や天文学で重要であり、焦点にある物体によって粒子の旅が妨げられない場合に、粒子が焦点を外れる距離を測定します。^{[引用が必要]}

半短軸と半長軸は離心率を通じて次のように関係します。

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[5]

双曲線ではbがaよりも大きくなる場合があることに注意する。^[6]

天体力学では、中心天体の周りを円軌道または楕円軌道で回る小天体の軌道周期 Tは次のように表される。 ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

どこ：

${\displaystyle \mu }$中心天体の標準的な重力パラメータです。

与えられた半長径を持つすべての楕円では、離心率を無視して軌道周期は同じであることに注意してください。

中心天体の周りを円軌道または楕円軌道で回る小天体の特定の角運動量 hは^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

どこ：

aおよびは上記で定義されるとおりであり、${\displaystyle \mu }$

天文学では、軌道長半径は軌道周期とともに軌道の最も重要な要素の1つです。太陽系の天体の場合、軌道長半径はケプラーの第三法則（もともと経験的に導かれた）によって軌道周期と関連しています。^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

ここで、Tは周期、aは長半径である。この形は、ニュートンによって決定された二体問題の一般形を簡略化したものである。^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

ここで、Gは重力定数、Mは中心天体の質量、m は周回天体の質量です。通常、中心天体の質量は周回天体の質量よりもはるかに大きいため、mは無視できます。この仮定に基づいて一般的な天文学単位を使用すると、ケプラーが発見したより単純な形式になります。

軌道を周回する天体の軌道と、その主天体に対する軌道は、どちらも楕円形です。^[1]半長軸は、主天体と副天体の質量比が著しく大きい場合 ( ) に、主天体と副天体の距離として天文学で使われることがあります。したがって、惑星の軌道パラメータは太陽中心の用語で与えられます。原始中心軌道と「絶対」軌道の違いは、地球-月系を見るとよくわかります。この場合の質量比は${\displaystyle M\gg m}$81.300 59。地球と月の特性距離、すなわち地心月軌道の半長軸は 384,400 km です。(月の軌道の離心率e  = 0.0549 を考えると、その半短軸は 383,800 km です。したがって、月の軌道はほぼ円形です。)一方、重心月軌道の半長軸は 379,730 km で、地球の反対軌道がその差 4,670 km を占めます。月の平均重心軌道速度は 1.010 km/s であるのに対し、地球は 0.012 km/s です。これらの速度の合計は、地心月の平均軌道速度 1.022 km/s になります。地心長半径の値だけを考慮しても同じ値が得られる。^[要出典]

半長軸は、楕円の主焦点と周回天体との間の「平均」距離であるとよく言われます。これは、平均が何に適用されるかによって異なるため、正確ではありません。周回天体の時間と角度の平均距離は、離心率に応じて、軌道半長軸から 50 ～ 100% 変化する可能性があります。^[7]

• 離心率異常上の距離を平均すると、長半径が得られます。
• 真の異常角（焦点で測定された真の軌道角）を平均すると、半短軸が得られます。${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• 平均近点角（近点から経過した軌道周期の割合を角度で表したもの）を平均すると、時間平均が得られます。${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

半径の逆数の時間平均値は です。 ${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

天体力学では、軌道長半径aは軌道状態ベクトルから計算できます。

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

楕円軌道の場合、慣例に応じて同じか

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

双曲軌道の場合、

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

（特定の軌道エネルギー）と

${\displaystyle \mu =GM,}$

（標準重力パラメータ）、ここで：

vは軌道を周回する物体の速度ベクトルからの軌道速度であり、

rは、軌道要素を計算する基準となる基準フレームの座標における軌道物体の直交 座標位置ベクトルである（例えば、地球の周りの軌道の場合は地心赤道座標、太陽の周りの軌道の場合は太陽心黄道座標）。

Gは重力定数であり、

Mは重力体の質量であり、

${\displaystyle \varepsilon }$軌道を周回する物体の比エネルギーです。

総質量が一定であれば、離心率や質量比に関係なく、比エネルギーと軌道長半径は常に同じであることに注意してください。逆に、総質量と軌道長半径が一定であれば、総比軌道エネルギーは常に同じです。この記述は、どのような条件下でも常に当てはまります。^{[引用が必要]}

惑星の軌道は常に楕円の代表的な例として挙げられます (ケプラーの第一法則)。しかし、長半径と短半径の差が最小限であることから、惑星の軌道は実質的に円形のように見えます。その差 (または比率) は離心率に基づいており、 として計算されます。これは、一般的な惑星の離心率では非常に小さな結果をもたらします。 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

顕著な楕円軌道を想定する理由は、おそらく遠日点と近日点の差がはるかに大きいことにあります。その差 (または比率) も離心率に基づいており、次のように計算されます。遠日点と近日点の差が大きいため、ケプラーの第二法則は簡単に視覚化できます。 ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 AU（天文単位）は1億4,960万kmに相当します。

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