軌道面内で円錐曲線を描く天体の軌道
離心率0.7の楕円ケプラー軌道、放物線ケプラー軌道、および離心率1.3の双曲ケプラー軌道。焦点までの距離は、式（ 13 ）で与えられる水平線に対する極角の関数である。 天体力学 において 、 ケプラー軌道 （ ドイツの天文学者 ヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられた ケプラー軌道）は、 楕円 、 放物線 、または 双曲線 として、 3次元空間で 2次元の 軌道面 を形成する、ある物体が別の物体に対して相対的に運動する軌道である。ケプラー軌道は 直線を 形成することもできる。ケプラー軌道では、2つの物体の点状の重力引力のみを考慮し、他の物体との重力相互作用、 大気の抗力 、 太陽輻射圧 、非 球形の 中心物体など による 摂動は無視する。そのため、 ケプラー問題 として知られる 2体問題の特殊なケースの解であると言われている。 古典力学 の理論としては、 一般相対性理論 の影響も考慮されていない。ケプラー軌道は、さまざまな方法で6つの 軌道要素 に パラメータ化 できる 。
ほとんどのアプリケーションでは、大きな中心物体があり、その質量の中心がシステム全体の質量の中心であると想定されます。分解すると、同様の質量を持つ 2 つの物体の軌道は、それらの共通の質量の中心、つまり 重心の 周りのケプラー軌道として記述できます。
導入 古代から16世紀、17世紀にかけて、惑星の運動は 、古代ギリシャの哲学者 アリストテレス と プトレマイオスが説いたように、完全に円状の 地球中心 軌道をたどると信じられていた。惑星の運動の変化は、大きな軌道に小さな円軌道が重なることによって説明された（ 周転円 を参照）。惑星の測定がますます正確になるにつれて、理論の修正が提案された。1543年、 ニコラウス・コペルニクスは 太陽系 の 太陽中心 モデルを発表したが 、彼は依然として惑星が太陽を中心とした完全に円状の軌道をたどると信じていた。 [1]
法律の発展 1601 年、 ヨハネス ケプラーは ティコ ブラーエ による惑星の広範かつ綿密な観察結果を入手しました 。ケプラーはその後 5 年間をかけて、火星の観察結果を さまざまな曲線に当てはめようとしました。1609 年、ケプラーは 惑星運動の 3 つの法則のうち最初の 2 つを発表しました 。最初の法則は、次のとおりです。
すべての惑星の 軌道 は 太陽を 焦点とする 楕円形 です。
より一般的には、ケプラーの運動をしている物体の軌道は、放物線 や双曲線を描くこともあります。 放物線や 双曲線 は、楕円とともに 円錐曲線 と呼ばれる曲線のグループに属します。数学的には、中心物体と周回物体の間の距離は次のように表すことができます。
r （ θ ） =
1つの （ 1 −
e
2
）
1 + e コス （ θ ）
{\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}
どこ：
r
{\displaystyle r}
距離は
1つの
{\displaystyle a}
軌道の大きさを定義する 半長軸 である。
e
{\displaystyle e}
軌道の形状を定義する 離心率 である。
θ
{\displaystyle \theta}
は真の近点角 であり 、軌道上の物体の現在の位置と、中心天体に最も近い軌道上の位置（ 近点 と呼ばれる）との間の角度です。 あるいは、この式は次のように表すこともできます。
r （ θ ） =
p
1 + e コス （ θ ）
{\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}
ここで、は曲線の 半長軸 と呼ばれます 。 この形式の方程式は、半長軸が無限である放物線軌道を扱うときに特に便利です。
p
{\displaystyle p}
ケプラーは観察からこれらの法則を導き出したにもかかわらず、これらの動きを説明する理論を導き出すことはできなかった。 [2]
アイザック・ニュートン 1665年から1666年にかけて、 アイザック・ニュートンは 運動、重力、微分積分に関するいくつかの概念を考案しました。しかし、これらの概念は1687年にプリンキピアで初めて公表され 、ニュートンは 運動の法則 と 万有引力の法則 を概説しました 。ニュートンの3つの運動法則のうち2番目の法則は、次の通りです。
物体の加速度は、物体に作用する正味の力に平行かつ正比例し 、 正味 の力の方向にあり、物体の質量に反比例 し ます
。
ふ
= メートル
1つの
= メートル
d
2
r
d
t
2
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}
どこ：
ふ
{\displaystyle \mathbf {F} }
力のベクトル
メートル
{\displaystyle m}
力が作用する物体の質量である
1つの
{\displaystyle \mathbf {a} }
加速度ベクトルは位置ベクトルの2次微分である。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
厳密に言えば、この形式の方程式は一定の質量を持つ物体にのみ適用され、これは以下の単純化された仮定に基づいて当てはまります。
ニュートンの万有引力の法則の仕組み。質点 m 1 は、2 つの質量の積に比例し、それらの間の距離 ( r ) の 2 乗に反比例する力 F 2 によって、別の質点 m 2を引き付けます。質量や距離に関係なく、| F 1 | と | F 2 |の大きさは 常に等しくなります。G は 万有引力定数 です 。 ニュートンの万有引力の法則は次のように述べています。
すべての 質点は、 2 つの点が交差する線に沿った 力 によって、他のすべての質点を引き付けます。この力は、2 つの質量の積に 比例し 、質点間の距離の 2 乗に反比例します。
ふ = グ
メートル
1
メートル
2
r
2
{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}
どこ：
ふ
{\displaystyle F}
2つの質点間の重力の大きさである
グ
{\displaystyle G}
重力定数 である
メートル
1
{\displaystyle m_{1}}
最初の質点の質量である
メートル
2
{\displaystyle m_{2}}
2番目の質点の質量である
r
{\displaystyle r}
2つの質点間の距離である ニュートンは運動の法則と万有引力の法則から、天文学における軌道運動に特有のケプラーの法則を導き出すことができました。ケプラーの法則は観測データによって十分に裏付けられていたため、この一貫性はニュートンの一般化理論の妥当性を強力に裏付け、天体力学と通常の力学を統一しました。これらの運動の法則は、20世紀初頭に アルバート・アインシュタインが 特殊 相対性理論と 一般 相対性理論の概念を導入する まで、現代の 天体力学 の基礎を形成しました。ほとんどの用途において、ケプラーの運動は惑星や衛星の運動を比較的高い精度で近似し、 天文学 や 天体力学 で広く使用されています。
簡略化された二体問題 2 体系 における物体の運動を解くには 、次の 2 つの単純化された仮定を立てることができます。
物体は球対称であり、質点として扱うことができます。 相互の重力以外に、物体に作用する外部または内部の力はありません。 大きな天体の形状は球に近いです。対称性により、質量点を均質な球に引き付ける正味の重力は、その中心に向けられる必要があります。殻 定理 (これもアイザック ニュートンによって証明されました) は、球の密度が深さによって変化しても (ほとんどの天体でそうであるように)、この力の大きさはすべての質量が球の中心に集中しているのと同じであると述べています。このことから、2 つの均質な球の間の引力は、両方の質量が中心に集中しているのと同じであることがわかります。
小惑星 や 宇宙船の ような小さな物体は、 球形から大きく外れた形状をしていることがよくあります。しかし、これらの不規則性によって生じる重力は、中心天体の重力に比べると一般的に小さいものです。不規則な形状と完全な球形の違いも距離とともに小さくなり、ほとんどの軌道距離は小さな軌道天体の直径に比べると非常に大きくなります。したがって、一部の用途では、形状の不規則性は精度に大きな影響を与えることなく無視できます。この影響は、人工衛星、特に低軌道にある衛星では顕著です。
惑星はさまざまな速度で回転するため、遠心力によりわずかに扁平な形状になることがあります。このような扁平な形状では、重力による引力は均質な球体から多少ずれます。距離が長くなると、この扁平化の影響は無視できるようになります。太陽系内の惑星の動きは、点質点として扱えば十分な精度で計算できます。
質量と 位置ベクトルを持ち 、 ある 慣性基準系 を基準とした2 つの質点物体は、 重力の作用を受けます。
メートル
1
{\displaystyle m_{1}}
メートル
2
{\displaystyle m_{2}}
r
1
{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}
メートル
1
r
¨
1
=
− グ
メートル
1
メートル
2
r
2
r ^
{\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
メートル
2
r
¨
2
=
グ
メートル
1
メートル
2
r
2
r ^
{\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
ここで 、質量 1 の質量 2 に対する相対位置ベクトルは次のように表されます。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
=
r
1
−
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}
は その方向の 単位ベクトル であり、 そのベクトルの
長さ です。
r ^
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }
r
{\displaystyle r}
それぞれの質量で割り、最初の方程式から 2 番目の方程式を引くと、最初の物体の 2 番目の物体に対する加速度の運動方程式が得られます。
ここで は 重力パラメータであり、
α
{\displaystyle \alpha}
α = グ （
メートル
1
+
メートル
2
）
{\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}
多くのアプリケーションでは、3 番目の単純化された仮定を行うことができます。
中心天体と比較すると、周回天体の質量は重要ではありません。数学的には、 m 1 >> m 2 なので、 α = G ( m 1 + m 2 ) ≈ Gm 1 となります。 と表記されることが多いこのような 標準的な重力パラメータは 、周回衛星よりもはるかに大きな質量を持つ太陽、主要な惑星、月に対して広く利用可能です 。
μ = グ ま
{\displaystyle \mu =G\,M}
ま
{\displaystyle M}
この仮定は、簡略化された二体問題を解くために必須ではありませんが、特に地球を周回する衛星や太陽を周回する惑星の計算を簡素化します。 木星 の質量でさえ太陽の1047分の1であり、 [3] αの値に0.096％の誤差が生じます。注目すべき例外には、地球-月系（質量比81.3）、冥王星-カロン系（質量比8.9）、および連星系があります。
これらの仮定の下では、2 体の場合の微分方程式は数学的に完全に解くことができ、その結果得られるケプラーの惑星運動の法則に従う軌道は「ケプラー軌道」と呼ばれます。すべての惑星の軌道は、太陽の周りの高精度のケプラー軌道です。わずかな偏差は、惑星間のはるかに弱い重力によるもので、 水星の場合は 一般相対性理論 によるものです 。地球の周りの人工衛星の軌道は、かなりの近似で、太陽、月の重力、および地球の扁平率による小さな摂動を伴うケプラー軌道です。運動方程式をすべての重力と非重力の力 ( 太陽輻射圧 や 大気抵抗 など) を考慮して数値的に積分する必要がある高精度のアプリケーションでは、ケプラー軌道の概念が最も重要であり、頻繁に使用されます。
ケプラーの要素 ケプラーの 軌道要素 。 ケプラーの軌道は、6 つのパラメータで定義できます。3 次元空間を移動する物体の運動は、位置ベクトルと速度ベクトルによって特徴付けられます。各ベクトルには 3 つの要素があるため、空間を通る軌道を定義するために必要な値の合計数は 6 です。軌道は一般に、位置と速度から計算できる 6 つの要素 ( ケプラーの要素 と呼ばれる) によって定義されます。そのうち 3 つについてはすでに説明しました。これらの要素は、6 つのうち 5 つが不変であるため、摂動のない軌道では便利です (常に変化する 2 つのベクトルとは対照的です)。軌道要素から、物体の軌道内の将来の位置を予測でき、新しい位置と速度を簡単に取得できます。
軌道のサイズと形状を定義するのは次の 2 つです。
長半径 （ ）
1つの
{\displaystyle a}
偏心度 （ ）
e
{\displaystyle e}
3つは軌道面 の方向を定義します :
傾斜 （ ）は、軌道面と基準面の間の角度を定義します。
私
{\displaystyle i}
昇交点の経度 ( ) は、基準方向と基準面 (昇交点) 上の軌道の上向き交差との間の角度を定義します。
Ω
{\displaystyle \オメガ}
近点引数 （ ）は昇交点と近点の間の角度を定義します。
ω
{\displaystyle \omega}
そして最後に:
真近点角 ( ) は、近点から測定された軌道に沿った軌道上の天体の位置を定義します。真近点角の代わりにいくつかの代替値を使用できますが、最も一般的なのは 平均 近点角 と 、近点からの時間です。
ν
{\displaystyle \nu}
ま
{\displaystyle M}
T
{\displaystyle T}
、および は、基準フレーム内の軌道の方向を定義する単なる角度測定である ため 、軌道面内の物体の運動を議論する際には厳密には必要ありません。ここでは完全性のためにこれらについて言及していますが、以下の証明には必要ありません。
私
{\displaystyle i}
Ω
{\displaystyle \オメガ}
ω
{\displaystyle \omega}
微分方程式の数学的解（ 1 ） その上 中心力、つまりr に平行な力による運動では 、 特定の相対角運動量は 一定のままです。
H
=
r
×
r
˙
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}
H
˙
=
d
d t
（
r
×
r
˙
）
=
r
˙
×
r
˙
+
r
×
r
¨
=
0
+
0
=
0
{\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }
位置ベクトルとその速度の外積は一定であるため、それらは に直交する同じ平面上になければなりません 。これは、ベクトル関数が 平面曲線 であることを意味します。
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
この方程式は原点を中心に対称なので、極座標で解く方が簡単です。しかし、方程式( 1 )は角加速度 や半径加速度 ではなく直線加速度を指していることに注意することが重要です。したがって、方程式を変換するときは注意が必要です。直交座標系 と 極単位ベクトル を に直交する平面に 導入すると、次のようになります 。
(
r
¨
)
,
{\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}
(
θ
¨
)
{\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}
(
r
¨
)
{\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}
(
x
^
,
y
^
)
{\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}
(
r
^
,
q
^
)
{\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}
H
{\displaystyle \mathbf {H} }
r
^
=
cos
θ
x
^
+
sin
θ
y
^
q
^
=
−
sin
θ
x
^
+
cos
θ
y
^
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}
ベクトル関数 とその導関数を次のように書き直すことができます。
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
=
r
(
cos
θ
x
^
+
sin
θ
y
^
)
=
r
r
^
r
˙
=
r
˙
r
^
+
r
θ
˙
q
^
r
¨
=
(
r
¨
−
r
θ
˙
2
)
r
^
+
(
r
θ
¨
+
2
r
˙
θ
˙
)
q
^
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}
（「 ベクトル計算 」を参照）。これらを（ 1 ）に代入すると、次の式が得られる。
(
r
¨
−
r
θ
˙
2
)
r
^
+
(
r
θ
¨
+
2
r
˙
θ
˙
)
q
^
=
(
−
α
r
2
)
r
^
+
(
0
)
q
^
{\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}
これにより、2つの変数と における常微分方程式が得られます 。
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
この方程式を解くには、すべての時間微分を消去する必要があります。これにより、次の式が得られます。
H
=
|
r
×
r
˙
|
=
|
(
r
cos
(
θ
)
r
sin
(
θ
)
0
)
×
(
r
˙
cos
(
θ
)
−
r
sin
(
θ
)
θ
˙
r
˙
sin
(
θ
)
+
r
cos
(
θ
)
θ
˙
0
)
|
=
|
(
0
0
r
2
θ
˙
)
|
=
r
2
θ
˙
{\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}
（ ３ ）
を時間微分すると、
式( 3 )と式( 4 )により、 の時間微分を消去することができる 。 の時間微分を消去するために 、連鎖律を使用して適切な置換を見つける。
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle r}
これら4つの置換により、（ 2 ）のすべての時間微分が消去され、 の関数として の 常微分方程式が得られる。
r
{\displaystyle r}
θ
.
{\displaystyle \theta .}
r
¨
−
r
θ
˙
2
=
−
α
r
2
{\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}
d
2
r
d
θ
2
⋅
θ
˙
2
+
d
r
d
θ
⋅
θ
¨
−
r
θ
˙
2
=
−
α
r
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}
d
2
r
d
θ
2
⋅
(
H
r
2
)
2
+
d
r
d
θ
⋅
(
−
2
⋅
H
⋅
r
˙
r
3
)
−
r
(
H
r
2
)
2
=
−
α
r
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}
微分方程式（ ７ ）は変数置換によって解析的に解くことができる。
微分化に連鎖律を使用すると次のようになります。
およびに対する
式（ 10 ）および（ 9 ）を用いる と、
d
2
r
d
θ
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}
d
r
d
θ
{\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}
一般解では
ここで e と s の初期値に依存する積分定数である 。
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
d
s
d
θ
.
{\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}
積分定数を明示的に使用する代わりに、 軌道面の座標系を定義する 単位ベクトルは、 値がゼロで eが 正になるように選択されるという慣例を導入します。これは、 が最大でしたがって最小である 点で がゼロになることを意味します 。パラメータ pを 次の
ように定義すると、
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
θ
0
{\displaystyle \theta _{0}}
θ
{\displaystyle \theta }
s
{\displaystyle s}
r
=
1
s
{\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}
H
2
α
{\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}
r
=
1
s
=
p
1
+
e
⋅
cos
θ
{\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}
代替派生語 極微分方程式を使用せずにこの方程式を解く別の方法は次のとおりです。
かつ となる 単位ベクトル を定義する 。 従って、
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
u
=
r
r
{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}
r
=
r
u
{\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }
r
¨
=
−
α
r
2
u
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }
H
=
r
×
r
˙
=
r
u
×
d
d
t
(
r
u
)
=
r
u
×
(
r
u
˙
+
r
˙
u
)
=
r
2
(
u
×
u
˙
)
+
r
r
˙
(
u
×
u
)
=
r
2
u
×
u
˙
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}
さて、考えてみましょう
r
¨
×
H
=
−
α
r
2
u
×
(
r
2
u
×
u
˙
)
=
−
α
u
×
(
u
×
u
˙
)
=
−
α
[
(
u
⋅
u
˙
)
u
−
(
u
⋅
u
)
u
˙
]
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}
（ ベクトル三重積 を参照）。
u
⋅
u
=
|
u
|
2
=
1
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}
u
⋅
u
˙
=
1
2
(
u
⋅
u
˙
+
u
˙
⋅
u
)
=
1
2
d
d
t
(
u
⋅
u
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}
これらの値を前の式に代入すると次のようになります。
r
¨
×
H
=
α
u
˙
{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}
双方を統合する:
r
˙
×
H
=
α
u
+
c
{\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }
ここで c は 定数ベクトルです。これに r を 点として置くと、興味深い結果が得られます。
は と の 間の角度です。 r について解くと、次のようになります 。
r
⋅
(
r
˙
×
H
)
=
r
⋅
(
α
u
+
c
)
=
α
r
⋅
u
+
r
⋅
c
=
α
r
(
u
⋅
u
)
+
r
c
cos
(
θ
)
=
r
(
α
+
c
cos
(
θ
)
)
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
r
=
r
⋅
(
r
˙
×
H
)
α
+
c
cos
(
θ
)
=
(
r
×
r
˙
)
⋅
H
α
+
c
cos
(
θ
)
=
|
H
|
2
α
+
c
cos
(
θ
)
=
|
H
|
2
/
α
1
+
(
c
/
α
)
cos
(
θ
)
.
{\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}
はベクトル関数の極座標である ことに注意してください。 と を代入する と 、再び次の式が得られます。
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
p
=
|
H
|
2
α
{\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}
e
=
c
α
{\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}
これは、焦点を原点とする 円錐曲線 の極座標の方程式です。この引数は 「真の異常」と呼ばれます。
θ
{\displaystyle \theta }
偏心ベクトル また、位置ベクトルと積分定数 の 間の角度は である ため 、ベクトルは軌道の 近点 の方向を指している必要があることにも注意してください。軌道に関連付けられた 離心率ベクトルを 次のように定義できます 。
θ
{\displaystyle \theta }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
e
≜
c
α
=
r
˙
×
H
α
−
u
=
v
×
H
α
−
r
r
=
v
×
(
r
×
v
)
α
−
r
r
{\displaystyle \mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}}
ここで、 は軌道の一定の角運動量ベクトルであり、は 位置ベクトルに関連付けられた速度ベクトルです 。
H
=
r
×
r
˙
=
r
×
v
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
明らかに、 積分定数と同じ方向を持つ 離心率ベクトルも軌道の 近点 の方向を指し、軌道離心率の大きさを持ちます。これにより、 状態ベクトル [ ] または [ ] がわかっている 場合、軌道の 軌道要素の 軌道決定 (OD) に非常に役立ちます 。
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
r
,
r
˙
{\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} }
r
,
v
{\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }
軌道方程式の性質 これは半径 p の円です 。
e
=
0
{\displaystyle e=0}
これは 楕円 で
あり、
0
<
e
<
1
,
{\displaystyle 0<e<1,}
これは 焦点 距離 が
e
=
1
{\displaystyle e=1}
p
2
{\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}
これは 双曲線 で
あり、
e
>
1
{\displaystyle e>1}
次の画像は、円（灰色）、楕円（赤）、放物線（緑）、双曲線（青）を示しています。
ケプラー軌道 のさまざまな形とその離心率の図 。青は双曲線軌道 ( e > 1) です。緑は放物線軌道 ( e = 1) です。赤は楕円軌道 (0 < e < 1) です。灰色は円軌道 ( e = 0) です。 焦点から右に伸びる水平線上の点は、 焦点までの距離が最小値をとる点、つまり 近心です。楕円の場合、焦点までの距離が最大値をとる遠心もあります。双曲線の 場合、の範囲 は で
、放物線の場合、の範囲は です。
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
p
1
+
e
,
{\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}
p
1
−
e
.
{\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}
θ
{\displaystyle \theta }
−
cos
−
1
(
−
1
e
)
<
θ
<
cos
−
1
(
−
1
e
)
{\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}
−
π
<
θ
<
π
{\displaystyle -\pi <\theta <\pi }
微分に関する連鎖律（ 5 ）、式（ 2 ）および p の定義を用いる と 、視線速度成分は
H
2
α
{\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}
そして、接線方向成分（に垂直な速度成分 ）は
V
r
{\displaystyle V_{r}}
楕円軌道と双曲軌道では、極引数と時間 t の関係が 若干異なります。
θ
{\displaystyle \theta }
楕円軌道の場合は「 偏心異常 」 E に切り替わり、
そしてその結果
そして角運動量 H は
時間t について積分すると 、
積分定数がゼロになるように
時間が選択されるという仮定の下。
t
=
0
{\displaystyle t=0}
p の定義によれ
ば、
これは次のように書くことができる
双曲軌道の場合、 パラメータ化には
双曲関数を使用する。
どちらが
そして角運動量 H は
時間t について積分すると 、
つまり
ある真の異常に対応する時間tを見つけるには、楕円軌道の場合は関係式( 27 )、双曲軌道の場合は関係式( 34 )に従って、時間に関連する 対応するパラメータ E を計算する。
θ
{\displaystyle \theta }
関係式（ ２７ ）と（ ３４ ）は範囲間のマッピングを定義している
ことに注意する。
[
−
∞
<
t
<
∞
]
⟷
[
−
∞
<
E
<
∞
]
{\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}
楕円軌道 の場合、 （ 20 ）と（ 21 ）から次の式が得られる。
そしてそれゆえ
（ 36 ）から次のことが導かれる。
tan
2
θ
2
=
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
cos
E
−
e
1
−
e
cos
E
1
+
cos
E
−
e
1
−
e
cos
E
=
1
−
e
cos
E
−
cos
E
+
e
1
−
e
cos
E
+
cos
E
−
e
=
1
+
e
1
−
e
⋅
1
−
cos
E
1
+
cos
E
=
1
+
e
1
−
e
⋅
tan
2
E
2
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}
偏心異常 を定義する幾何学的構成から、ベクトル とが x 軸の同じ側にあること は明らかです 。このことから、ベクトル とが 同じ象限にあることがわかります。したがって、
(
cos
E
,
sin
E
)
{\displaystyle (\cos E,\sin E)}
(
cos
θ
,
sin
θ
)
{\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}
(
cos
E
2
,
sin
E
2
)
{\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}
(
cos
θ
2
,
sin
θ
2
)
{\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}
そして
ここで「 」はベクトルの極引数であり 、 nは 次のように選択される。
arg
(
x
,
y
)
{\displaystyle \arg(x,y)}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
|
E
−
θ
|
<
π
{\displaystyle |E-\theta |<\pi }
標準関数 ATAN2(y,x) (または 倍精度 の場合は DATAN2(y,x)) の数値計算には 、たとえばプログラミング言語 FORTRAN を 使用できます。
arg
(
x
,
y
)
{\displaystyle \arg(x,y)}
これは範囲間のマッピングであることに注意してください
[
−
∞
<
θ
<
∞
]
⟷
[
−
∞
<
E
<
∞
]
{\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}
双曲軌道 については、 （ 28 ）と（ 29 ）から次の式が得られる。
そしてそれゆえ
と
と は 同じ符号を持つので、
tan
2
θ
2
=
1
−
cos
θ
1
+
cos
θ
=
1
−
e
−
cosh
E
e
⋅
cosh
E
−
1
1
+
e
−
cosh
E
e
⋅
cosh
E
−
1
=
e
⋅
cosh
E
−
e
+
cosh
E
e
⋅
cosh
E
+
e
−
cosh
E
=
e
+
1
e
−
1
⋅
cosh
E
−
1
cosh
E
+
1
=
e
+
1
e
−
1
⋅
tanh
2
E
2
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}
tan
θ
2
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}
tanh
E
2
{\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}
この関係は、「真の異常」とパラメータ E の間を行き来するのに便利であり、後者は関係式（ 34 ）を介して時間と結びついている。これは範囲と範囲の間のマッピングであり
、 関係式を使用して計算できること
に注意する。
[
−
cos
−
1
(
−
1
e
)
<
θ
<
cos
−
1
(
−
1
e
)
]
⟷
[
−
∞
<
E
<
∞
]
{\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}
E
2
{\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}
tanh
−
1
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
{\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
関係式（ 27 ）から、楕円軌道の
軌道周期 Pは
関係式（ １ ） の力場に対応する位置エネルギーは、（ １３ ）、（ １４ ）、（ １８ ）、（ １９ ）
から、
楕円軌道の
運動エネルギーと位置エネルギーの合計は
、
−
α
r
{\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}
V
r
2
+
V
t
2
2
−
α
r
{\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}
そして（ １３ ）、（ １６ ）、（ １８ ）、（ １９ ）から、双曲軌道の運動エネルギーと位置エネルギーの合計は
軌道面の 慣性座標系を
近点に向けて相対的に見ると、( 18 )と( 19 )から速度成分は
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
中心の方程式は、数値的な離心率が小さい場合の楕円軌道の平均近点と真近点を関連付けます。
与えられた初期状態に対応するケプラー軌道の決定 これは、次のように書かれるとき、
6次元の「状態ベクトル」の1階方程式である 微分方程式（ 1 ）の「 初期値問題」である。
(
r
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
初期「状態ベクトル」の任意の値に対して、 この初期値問題の解に対応するケプラー軌道は、次のアルゴリズムを使用して見つけることができます。
(
r
0
,
v
0
)
{\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}
直交
単位ベクトルを定義する
(
r
^
,
t
^
)
{\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}
と
r
>
0
{\displaystyle r>0}
V
t
>
0
{\displaystyle V_{t}>0}
（ １３ ）、（ １８ ）、（ １９ ）から、
そして、と を定義して 、
e
≥
0
{\displaystyle e\geq 0}
θ
{\displaystyle \theta }
どこ
真の異常に対しては、( 50 )と( 51 )で定義されるものと同じ r と値 を持つ ケプラー軌道が得られる 。
θ
{\displaystyle \theta }
V
r
{\displaystyle V_{r}}
V
t
{\displaystyle V_{t}}
このケプラー軌道が、この真の異常に対して、 ( 50 )と( 51 )で定義されたものと 同じベクトルを持つ場合、ケプラー軌道の 状態ベクトルは、 真の異常に対して 望ましい値を取ります 。
(
r
^
,
t
^
)
{\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}
θ
{\displaystyle \theta }
(
r
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
(
r
0
,
v
0
)
{\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}
θ
{\displaystyle \theta }
円錐断面（楕円、放物線、双曲線）の向きを定義する軌道面（同質球の中心から近心に向かう）
における 標準慣性固定座標系は、次の関係で決定できます。
(
x
^
,
y
^
)
{\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
関係式（ 53 ）と（ 54 ）は、次の場合に
特異点を持つことに注意する
。
V
r
=
0
{\displaystyle V_{r}=0}
V
t
=
V
0
=
α
p
=
α
(
r
⋅
V
t
)
2
α
{\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}
これは初期状態に適合する円軌道の場合である
(
r
0
,
v
0
)
{\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}
接触するケプラー軌道 任意の状態ベクトルに対して、 その状態に対応するケプラー軌道は上で定義したアルゴリズムで計算できる。まずパラメータ が決定され、次に 関係式( 56 )と( 57 )を使用して軌道面内の直交単位ベクトルが決定される 。
(
r
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
p
,
e
,
θ
{\displaystyle p,e,\theta }
r
,
V
r
,
V
t
{\displaystyle r,V_{r},V_{t}}
x
^
,
y
^
{\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}
運動方程式が
ここで、
は関数であり
、 によって定義される
結果パラメータ 、 、 、以外は、パラメータ のみ が変化する
ケプラー軌道の場合とは異なり、すべて時間とともに変化します。
F
(
r
,
r
˙
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}
−
α
r
r
2
{\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}
p
{\displaystyle p}
e
{\displaystyle e}
θ
{\displaystyle \theta }
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
y
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}
r
,
r
˙
{\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}
θ
{\displaystyle \theta }
このようにして計算されたケプラー軌道は、時刻 t における「運動方程式」（ 59 ）の解と同じ「状態ベクトル」を持ち、この時点で「接触している」と言われる。
この概念は、例えば次のような場合に有用である
。
F
(
r
,
r
˙
,
t
)
=
−
α
r
^
r
2
+
f
(
r
,
r
˙
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}
f
(
r
,
r
˙
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}
これは、たとえば他の天体からの微弱な重力による小さな「摂動力」です。接触ケプラー軌道のパラメータはゆっくりとしか変化せず、接触ケプラー軌道は接触時間の前後のかなりの期間、実際の軌道によく近似します。
この概念は、推力がオフになった場合にロケットがどのケプラー軌道を継続するかを示すため、動力飛行中のロケットにも役立ちます。
「円に近い」軌道の場合、次のように定義される「離心率ベクトル 」 という概念 が有用である。（ 53 ）、（ 54 ）、（ 56 ）から次のことがわかる。
e
=
e
x
^
{\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}
つまり、 この状態が円軌道に対応する場合も、
状態ベクトルの滑らかな微分可能関数になります。
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
(
r
,
v
)
{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}
参照
引用
^ コペルニクス pp 513–514 ^ ベイト、ミューラー、ホワイト。pp 177–181 ^ 「NASAウェブサイト」。2011年2月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年 8月12日 閲覧 。
参考文献 エルヤスバーグ「人工地球衛星の飛行理論」、イスラエル科学翻訳プログラム（1967 年） ベイト、ロジャー、ミューラー、ドナルド、ホワイト、ジェリー (1971)。 『天体力学の基礎』 。ドーバー出版、ニューヨーク 。ISBN 0-486-60061-0 。 コペルニクス、ニコラウス (1952)、「第 1 巻、第 4 章、天体の運動は規則的で、円状で、永続的である - あるいは円運動の複合である」、 『天球の回転について』 、西洋世界の偉大な本、第 16 巻、チャールズ グレン ウォリス訳、シカゴ: ウィリアム ベントン、pp. 497–838
外部リンク 長半径と離心率の任意の値を使用して、地球の周りを楕円形のケプラー軌道で周回する衛星の軌道をアニメーション化する JAVA アプレット。
![{\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2 }\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \ cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af54235ba518c0147c3ffab79bb03a2fb35e68f)
![{\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f4c2d85484a0f71543d4fe4ccd324f527a0142)
![{\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a733a34a4893dfafb8c3df87c470eeb8d9e324b9)
![{\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12031710e1f6bab0ee6c0d8d016315cd06e66813)
