ビネ方程式

ジャック・フィリップ・マリー・ビネによって導かれたビネ方程式は、平面極座標における軌道運動の形状が与えられた場合の中心力の形を提供します。この方程式は、与えられた力の法則に対する軌道の形状を導くためにも使用できますが、これには通常、 2 次非線形常微分方程式の解が含まれます。力の中心の周りの 円運動の場合、一意の解は不可能です。

軌道の形状は、角度 の関数として相対距離で表すと便利であることが多いです。ビネ方程式では、軌道の形状はの関数として逆数でより簡潔に表されます。特定の角運動量をと定義します。ここでは角運動量、は質量です。次のセクションで導出されるビネ方程式は、関数 で力を表します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u=1/r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle h=L/m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u(\theta )}$$${\displaystyle F(u^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right).}$$

ニュートンの純粋な中心力に関する第二法則は $${\displaystyle F(r)=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right).}$$

角運動量保存則によれば、 $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.}$$

時間に関するの微分は、角度に関する の微分として書き直すことができます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle u=1/r}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\end{aligned}}}$$

以上のことすべてを組み合わせると、 $${\displaystyle F=m\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right)=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$

一般解は^[1] であり、ここでは粒子の初期座標である。 $${\displaystyle \theta =\int _{r_{0}}^{r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}{\sqrt {{\frac {2m}{L^{2}}}(E-V)-{\frac {1}{r^{2}}}}}}}+\theta _{0}}$$${\displaystyle (r_{0},\theta _{0})}$

逆二乗則の軌道を計算するという伝統的なケプラーの問題は、ビネ方程式から微分方程式の解として読み取ることができる。 $${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$$

角度が近点から測定される場合、（逆）極座標で表された軌道の一般解は ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$$

上記の極座標方程式は、半直角円錐曲線、半直角半円錐曲線( に等しい)、および軌道離心率を表します。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$${\displaystyle \varepsilon }$

シュワルツシルト座標に対して導かれる相対論的方程式は^[2] で 、ここでは光速、はシュワルツシルト半径です。また、ライスナー・ノルドストローム計量では、次式が得られます 。 ここでは電荷、 は真空の誘電率です。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle r_{s}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

逆ケプラー問題を考えてみましょう。どのような力の法則が楕円の焦点の周囲に非円形の楕円軌道（またはより一般的には非円形の円錐曲線）を生み出すのでしょうか？

上記の楕円の極座標を2回微分すると、 $${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$$

したがって、力の法則は 、予想される逆二乗の法則です。軌道をまたはのような物理値に一致させると、それぞれニュートンの万有引力の法則またはクーロンの法則が再現されます。 $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$$${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$${\displaystyle GM}$${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$

シュワルツシルト座標に対する有効な力は^{[3]であり、第2項は} 近点 の角度シフトなどの四重極効果に対応する逆4次力である（遅延ポテンシャル^[4]を介しても得ることができる）。 $${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$

パラメータ化されたポストニュートン形式では、一般相対論の場合は、古典的な場合に はが得られます 。 $${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right).}$$${\displaystyle \gamma =\beta =1}$${\displaystyle \gamma =\beta =0}$

逆三乗力の法則は次の式で表される。 $${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$$

逆三乗則の軌道の形状は、コーツ螺旋として知られています。ビネ方程式は、軌道が方程式の解でなければならないことを示しています。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$$

微分方程式には、ケプラーの問題の異なる円錐曲線と同様に、3 種類の解があります。 のとき、解はエピスパイラルであり、 のときの直線の異常なケースも含まれます。 のとき、解は双曲螺旋です。 のとき、解はポアンソ螺旋です。 ${\displaystyle C<1}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle C=1}$${\displaystyle C>1}$

ビネ方程式は、力の中心の周りの円運動に対しては一意の力の法則を与えることができないが、円の中心と力の中心が一致しない場合には、力の法則を与えることができる。例えば、力の中心を直接通過する円軌道を考えてみよう。直径のそのような円軌道に対する（逆）極方程式は、 ${\displaystyle D}$$${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$$

2回微分してピタゴラスの定理を利用すると、 ${\displaystyle u}$$${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$$

力の法則はこうなる $${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$$

一般的な逆問題を解くこと、つまり引力の法則の軌道を構築することは、次の問題を解くことと同等であるため、かなり難しい問題であること に注意してください。${\displaystyle 1/r^{5}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$$

これは2次非線形微分方程式です。

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