放射状軌道

$${\displaystyle t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}}$$ ここで、tは、2 つの質量が点質量であると仮定した場合に、それらが一致するまでの時間、x はそれらの間の距離である。

この方程式は放射状放物線軌道にのみ適用され、一般的な放物線軌道についてはバーカーの方程式を参照してください。

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}}$$ ここで、tは、2 つの質量が点質量であると仮定した場合に、それらが一致するまでの時間、x はそれらの間の距離である。

これは動径ケプラー方程式である。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}}$$ ここで、tは、2 つの質量が点質量であると仮定した場合に、それらが一致するまでの時間、x はそれらの間の距離である。

動径ケプラー方程式は「普遍的」（すべての軌道に適用可能）にすることができる。 $${\displaystyle t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}}$$ または、べき級数展開によって： $${\displaystyle t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}}$$

$${\displaystyle x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

2 つの中間量、wと、物体が放物線軌道上にある場合の時刻tにおける物体間の距離pが使用されます。 $${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{および}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}}$$

ここでtは時間であり、${\displaystyle x_{0}}$初期位置は、${\displaystyle v_{0}}$は初速度であり、${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$。

逆動径ケプラー方程式は、動径ケプラー問題の解である。 $${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {rr^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)}$$

これを評価すると次のようになります。 $${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots }$$

べき級数は項ごとに簡単に微分できます。繰り返し微分することで、速度、加速度、ジャーク、スナップなどの公式が得られます。