パラメータ化されたポストニュートン形式

物理学、具体的には一般相対性理論とその代替理論の研究において、ポストニュートン形式論は、アインシュタインの（非線形）重力方程式をニュートンの万有引力の法則からの最低次の偏差で表現する計算ツールである。これにより、弱い場の場合にアインシュタインの方程式の近似値を求めることができる。精度を上げるために高次の項を追加することもできるが、強い場の場合は、完全な方程式を数値的に解く方が望ましい場合がある。これらのポストニュートン近似値の一部は、小さなパラメータ、つまり重力場を形成する物質の速度と光速の比（この場合は重力の速度と呼ぶ方が適切）での展開である。極限において、重力の基本速度が無限大になると、ポストニュートン展開はニュートンの重力の法則に簡約される。

パラメータ化されたポストニュートン形式論またはPPN 形式論は、この定式化のバージョンであり、一般重力理論がニュートン重力と異なる可能性のあるパラメータを明示的に詳述します。これは、重力場が弱く、光速に比べてゆっくりと移動する物体によって生成される限界で、ニュートン重力とアインシュタイン重力を比較するためのツールとして使用されます。一般に、PPN 形式論は、すべての物体がアインシュタインの等価原理(EEP) を満たすすべての計量重力理論に適用できます。PPN 形式では、光の速度は一定のままであり、計量テンソルは常に対称であると想定されます。

ポストニュートン近似の最も初期のパラメータ化は、1922 年にサーアーサー スタンレー エディントンによって実行されました。ただし、それらは孤立した球体の外側の真空重力場のみを扱っていました。ケン ノルドヴェット(1968、1969) は、1968 年と 1969 年に発表された論文でこれを 7 つのパラメータを含むように拡張しました。クリフォード マーティン ウィルは、 1971 年に天体の応力を受けた連続物質の記述を導入しました。

ここで説明するバージョンは、Wei-Tou Ni (1972)、Will and Nordtvedt (1972)、Charles W. Misner et al. (1973) ( Gravitation (書籍)を参照)、および Will (1981、1993) に基づいており、10 個のパラメーターがあります。

10 個のポストニュートンパラメータは、理論の弱場挙動を完全に特徴づけます。この形式論は、一般相対性理論の検証において貴重なツールとなっています。Will (1971)、Ni (1972)、Misner ら (1973) の表記法では、次の値を持ちます。

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$は、0から3 までのインデックスを持つ 4 x 4 の対称計量テンソルです。以下では、インデックス 0 は時間方向を示し、インデックスと(1 から 3 まで) は空間方向を示します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

アインシュタインの理論では、これらのパラメータの値は、（1）速度と質量がゼロに近づく極限でニュートンの重力の法則に適合するように、（2）エネルギー、質量、運動量、角運動量の保存を保証するように、（3）方程式が基準フレームに依存しないようにするために選択されます。この表記法では、一般相対性理論にはPPNパラメータがあり、${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$${\displaystyle \zeta =\eta =0.}$

Will & Nordtvedt (1972) および Will (1981、1993、2006) のより最近の表記では、10 個の PPN パラメータの異なるセットが使用されています。

${\displaystyle \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \beta =\beta }$

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$

${\displaystyle \xi }$は以下から計算されます${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$

これらの意味は、、およびが優先フレーム効果の程度を測定することです。 、、、およびは、エネルギー、運動量、および角運動量の保存則の破綻を測定します。 ${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$${\displaystyle \zeta _{1}}$${\displaystyle \zeta _{2}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \zeta _{4}}$${\displaystyle \alpha _{3}}$

この表記法では、一般相対論はPPNパラメータを持つ。

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$そして${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$

この表記法におけるメトリック、メトリックポテンシャル、および PPN パラメータ間の数学的関係は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\epsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\xi )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\epsilon ^{\frac {5}{2}})}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\epsilon ^{2})}$

ここで、繰り返されるインデックスは合計されます。 は 、などのポテンシャルのオーダーであり、物質の座標速度の二乗の大きさです。は、宇宙の平均静止フレームに対する PPN 座標系の速度ベクトルです。はその速度の二乗の大きさです。の場合にのみ であり、それ以外の場合は です。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle U}$${\displaystyle w^{i}}$${\displaystyle w^{2}=\delta _{ij}w^{i}w^{j}}$${\displaystyle \delta _{ij}=1}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle 0}$

、、、、、、、、、の10 個のメトリックポテンシャルがあり、各 PPN パラメータに 1 つずつあり、 一意の解が確実に 得られます。10 個の未知数を持つ 10 個の線形方程式は、 10 行 10 列の行列を反転することで解かれます。これらのメトリックポテンシャルの形式は次のようになります。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}}$${\displaystyle \Phi _{W}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi _{1}}$${\displaystyle \Phi _{2}}$${\displaystyle \Phi _{3}}$${\displaystyle \Phi _{4}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle W_{i}}$

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

これは単にニュートンの重力ポテンシャルを別の方法で書いたものである。

${\displaystyle U_{ij}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)(x-x')_{i}(x-x')_{j} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{W}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\rho (\mathbf {x} '',t)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}\left({(x'-x'')^{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}-{(x-x'')^{i} \over |\mathbf {x} '-\mathbf {x} ''|}\right)d^{3}x'd^{3}x''}$

${\displaystyle A=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{1}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)^{2} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{2}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)U(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{3}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\Pi (\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle \Phi _{4}=\int {p(\mathbf {x} ',t) \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle V_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)v(\mathbf {x} ',t)_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'}$

${\displaystyle W_{i}=\int {\rho (\mathbf {x} ',t)\left(\mathbf {v} (\mathbf {x} ',t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\right)(x-x')_{i} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{3}}d^{3}x'}$

ここで、は静止質量の密度、は単位静止質量あたりの内部エネルギー、は物質と瞬間的に共動する局所的な自由落下フレームで測定された圧力、は物質の座標速度です。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

完全流体の応力エネルギーテンソルは形を成す

${\displaystyle T^{00}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U)}$

${\displaystyle T^{0i}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}}$

${\displaystyle T^{ij}=\rho (1+\Pi +\mathbf {v} ^{2}+2U+p/\rho )v^{i}v^{j}+p\delta ^{ij}(1-2\gamma U)}$

PPN 形式主義を重力の代替理論に適用するプロセスの例は、Will (1981、1993) に記載されています。これは 9 つのステップから成るプロセスです。

• ステップ 1: 変数を特定します。変数には、(a) 計量、スカラー場、ベクトル場、テンソル場などの動的重力変数、(b) 平坦な背景計量、宇宙時間関数などの事前幾何学的変数、(c) 物質および非重力場変数が含まれます。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K_{\mu }}$${\displaystyle B_{\mu \nu }}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle t}$
• ステップ 2: 宇宙境界条件を設定します。宇宙の静止フレームに等方座標を持つ、均質等方宇宙論を仮定します。完全な宇宙論的解が必要な場合とそうでない場合があります。結果を、、、と呼びます。${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}=\operatorname {diag} (-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$${\displaystyle \phi _{0}}$${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• ステップ 3:必要に応じて、 、またはを使用して から新しい変数を取得します。${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$
• ステップ 4: これらの形式を場の方程式に代入し、 の最終的な一貫した解を得るために必要な項のみを保持します。物質源の代わりに完全流体応力テンソルを代入します。${\displaystyle h_{\mu \nu }}$
• ステップ 5:をまで解きます。これがシステムから遠く離れると 0 に近づくと仮定すると、 という形式が得られます。ここではニュートンの重力ポテンシャルであり、 は重力「定数」 を含む複雑な関数である可能性があります。ニュートン計量は、 、、という形式を持ちます。重力の作用を受ける物質から遠く離れた場所で測定された重力「定数」が 1 である単位で作業するため、 と設定します。${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle O(2)}$${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$${\displaystyle g_{0j}=0}$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$${\displaystyle G_{\mathrm {today} }=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$
• ステップ 6: 場の方程式の線形化バージョンから、からおよびから を解きます。${\displaystyle h_{ij}}$${\displaystyle O(2)}$${\displaystyle h_{0j}}$${\displaystyle O(3)}$
• ステップ 7:をまで解きます。これは最も面倒なステップで、場の方程式のすべての非線形性が含まれます。応力エネルギー テンソルも十分な順序まで展開する必要があります。${\displaystyle h_{00}}$${\displaystyle O(4)}$
• ステップ 8: ローカル準直交座標と標準 PPN ゲージに変換します。
• ステップ 9: の結果を、アルファ ゼータ パラメータを使用して PPN に示された方程式と比較することにより、PPN パラメータ値を読み取ります。${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

23 の重力理論の PPN パラメータを比較した表は、「一般相対性理論の代替#さまざまな理論のパラメトリックポストニュートンパラメータ」にあります。

重力の計量理論のほとんどは、いくつかのカテゴリにまとめることができます。重力のスカラー理論には、共形平坦理論と、時間直交空間スライスを持つ成層理論が含まれます。

ノルドストロームの重力理論のような共形平坦理論では、計量は によって与えられ、この計量に対してはが与えられますが、これは観測結果と大きく矛盾します。ユルマズの重力理論のような成層理論では、計量は によって与えられ、この計量に対しては が与えられますが、これも観測結果と大きく矛盾します。 ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$${\displaystyle \gamma =-1}$${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$

別の種類の理論は、ホワイトヘッドの万有引力理論のような準線型理論である。これらの理論では、地球の潮汐の高調波の相対的な大きさは、およびに依存し、測定により、準線型理論は地球の潮汐の観測と一致しないことが示されている。 ${\displaystyle \xi =\beta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \alpha _{2}}$

計量理論の別のクラスは、双計量理論です。これらすべてはゼロではありません。太陽スピンの歳差運動から、であることがわかっており、これにより双計量理論は事実上排除されます。 ${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

計量理論の別のクラスは、ブランス・ディッケ理論などのスカラー・テンソル理論です。これらすべてにおいて、の極限はが非常に大きくなることを意味するため、実験精度が向上するにつれてこれらの理論の可能性はますます低くなっています。 ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$${\displaystyle \omega }$

計量理論の最後の主要なクラスは、ベクトルテンソル理論です。これらすべてにおいて、重力「定数」は時間とともに変化し、ゼロではありません。月のレーザー測距実験は、重力「定数」の時間と変化を厳密に制限しているため、これらの理論も実現可能性が低いようです。 ${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \alpha _{2}<4\times 10^{-7}}$

上記のカテゴリに当てはまらない、しかし同様の問題を抱えている重力の計量理論もいくつかあります。

Will (2006) と Will (2014) による PPN パラメータの境界

^† Will, CM (1992年7月10日). 「運動量は保存されるか? 連星系PSR 1913 + 16におけるテスト」.アストロフィジカルジャーナルレター. 393 (2): L59–L61.書誌コード:1992ApJ...393L..59W. doi :10.1086/186451. ISSN  0004-637X.
^‡ Will (1976, 2006)に基づく。重力の代替モデルがこの限界を回避できることは理論的に可能^{[説明が必要]}であり、その場合の限界はNi (1972) による。 ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$

• 一般相対性理論の代替#さまざまな理論に対するパラメトリックポストニュートンパラメータ
• 効果的な一体形式論
• 線形重力
• ペスキン・竹内パラメータPPNと同じだが、重力ではなく電弱理論用である
• 一般相対性理論のテスト

• エディントン、AS（1922）「相対性の数学的理論」、ケンブリッジ大学出版局。
• Misner, CW、Thorne, KS、Wheeler, JA (1973) Gravitation、WH Freeman and Co.
• Nordtvedt, Kenneth (1968-05-25). 「質量体に対する等価原理。II. 理論」. Physical Review . 169 (5). American Physical Society (APS): 1017–1025. Bibcode :1968PhRv..169.1017N. doi :10.1103/physrev.169.1017. ISSN  0031-899X.
• Nordtvedt, K. (1969-04-25). 「回転エネルギーと放射圧を含む質量体の等価原理」. Physical Review . 180 (5). American Physical Society (APS): 1293–1298. Bibcode :1969PhRv..180.1293N. doi :10.1103/physrev.180.1293. ISSN  0031-899X.
• ウィル、クリフォード M. (1971)。「相対論的重力をテストするための理論的枠組み。II .パラメータ化されたポストニュートン流体力学とノルトヴェット効果」。天体物理学ジャーナル。163。IOP出版: 611-628。Bibcode : 1971ApJ...163..611W。doi :10.1086/150804。ISSN 0004-637X  。
• Will, CM (1976). 「相対論的重力における活性質量 - クロイツァー実験の理論的解釈」.天体物理学ジャーナル. 204. IOP 出版: 224-234. Bibcode :1976ApJ...204..224W. doi : 10.1086/154164 . ISSN  0004-637X.
• Will, CM (1981, 1993)『重力物理学の理論と実験』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-43973-6。 
• ウィル、CM、(2006) 一般相対性理論と実験の対立、https://web.archive.org/web/20070613073754/http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2006-3/
• Will, Clifford M. (2014-06-11). 「一般相対性理論と実験の対立」. Living Reviews in Relativity . 17 (1): 4. arXiv : 1403.7377 . Bibcode :2014LRR....17....4W. doi : 10.12942/lrr-2014-4 . ISSN  2367-3613. PMC  5255900. PMID  28179848 .
• Will, Clifford M.; Nordtvedt, Kenneth Jr. (1972). 「相対論的重力における保存則と優先フレーム。I. 優先フレーム理論と拡張された PPN 形式」。The Astrophysical Journal。177。IOP出版: 757。Bibcode : 1972ApJ  ... 177..757W。doi : 10.1086/151754。ISSN 0004-637X。