最も内側の安定した円軌道

最も内側の安定円軌道（ISCOと呼ばれることが多い）は、一般相対性理論においてテスト粒子が質量の大きい物体を安定して周回できる最小の限界安定円軌道である。^[1] ISCOの位置、つまりISCO半径（ ）は、中心物体の質量と角運動量（スピン）によって決まる。ISCOは、ディスクの内縁を示すため、 ブラックホール降着ディスクにおいて重要な役割を果たしている。${\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}$

ISCO を、潮汐力によって物理的物体が破壊される前に周回できる最も内側の点であるロッシュ限界と混同しないでください。ISCO は、実際の物体ではなく、理論上のテスト粒子を対象としています。一般的に言えば、ISCO はロッシュ限界よりも中心物体にはるかに近くなります。

古典力学では、試験粒子の角運動量が中心物体の重力に抵抗するのに十分であるときに軌道が達成されます。試験粒子が中心物体に近づくにつれて、重力の逆二乗則の性質により、必要な角運動量が増加します。これは人工衛星の軌道で実際に見ることができます。35,786キロメートル（22,236マイル）の静止軌道では軌道速度は時速10,800キロメートル（時速6,700マイル）ですが、低軌道では時速27,000キロメートル（時速17,000マイル）です。古典力学では速度に上限がないため、どの高度でも軌道を達成できます。

一般相対性理論(GR) では、あらゆる物体の速度に上限が設けられています。それは光速です。試験粒子を一般相対性理論の中心物体に向かって軌道に落とすと、試験粒子は最終的に軌道を維持するために光よりも速い速度が必要になります。これにより、最も内側の可能な瞬間軌道が定義されます。これは最も内側の円軌道と呼ばれ、シュワルツシルト半径の1.5 倍にあります (シュワルツシルト計量によって制御されるブラックホールの場合)。この距離は光子球とも呼ばれます。

一般相対性理論では、重力は物体を引っ張る中心力として扱われるのではなく、時空を歪ませることで作用し、テスト粒子の移動経路を曲げます。ISCOは、中心物体近くのテスト粒子のエネルギーを表す方程式の引力項の結果です。^[2]この項は追加の角運動量によって相殺することはできず、この半径内のすべての粒子は中心に向かって螺旋状に動きます。項の正確な性質は、中心物体の状態（つまり、ブラックホールが角運動量を持っているかどうか）によって異なります。

重力場がシュワルツシルト計量で表現できる、回転しない質量のある物体の場合、ISCOは次の位置にある。

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }=6{\frac {GM}{c^{2}}}=3R_{S},}$

ここで、 は質量 の巨大な物体のシュワルツシルト半径です。したがって、回転しない物体であっても、ISCO 半径はシュワルツシルト半径 の3 倍に過ぎず、これはブラックホールと中性子星だけがその表面の外側の最も内側の安定した円軌道を持っていることを示しています。中心物体の角運動量が増加すると、は減少します。 ${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R_{S}}$${\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}$

ISCOと、半径が

${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }=4{\frac {GM}{c^{2}}}={2R_{S}},}$

しかし、それらは不安定です。と光子球の間では、いわゆる非束縛軌道が可能ですが、これは極めて不安定で、無限遠での静止質量を超える総エネルギーをもたらします。 ${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }}$

光子のような質量のないテスト粒子の場合、唯一可能な不安定な円軌道は、光子球とまったく同じである。^[3]光子球の内側には円軌道は存在しない。その半径は

${\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=3{\frac {GM}{c^{2}}}={1.5R_{S}}.}$

ISCO 内部の安定性の欠如は、軌道を下げても必要な軌道速度に必要な位置エネルギーが十分に解放されないため、つまり得られる加速が小さすぎるために発生します。これは通常、ISCO で最低となる 軌道有効位置のグラフで示されます。

回転するブラックホールの場合は、もう少し複雑です。カー計量における赤道 ISCO は、軌道が順行( では負の符号) か逆行( では正の符号) かによって異なります。 ${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}$${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}$

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }={\frac {GM}{c^2}}}\left(3+Z_{2}\pm {\sqrt {(3-Z_{1})(3+Z_{1}+2Z_{2})}}\right)\leq 9{\frac {GM}{c^2}}}=4.5\,R_{S}}$

どこ

${\displaystyle Z_{1}=1+{\sqrt[{3}]{1-\chi ^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{1+\chi }}+{\sqrt[{3}]{1-\chi }}\right)}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {3\chi ^{2}+Z_{1}^{2}}}}$

回転パラメータ^[4 ]${\displaystyle \chi =2a/R_{S}=cJ/(M^{2}G)}$

ブラックホールの回転速度が最大値まで増加すると、順行性ISCO、限界結合半径、光子球半径は、いわゆる重力半径での事象の地平線半径まで減少しますが、それでも論理的かつ局所的に区別可能です。^[5]${\displaystyle \chi \to 1}$

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to r_{\mathrm {mb} }\to r_{\mathrm {ph} }\to r_{E}\to r_{G}=GM/c^{2}}$

逆行半径は、

${\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5\,R_{S}}$

${\displaystyle r_{\mathrm {mb} }={\frac {GM}{c^{2}}}(1+{\sqrt {1\pm \chi }})^{2}\to (3+{\sqrt {8}}){\frac {GM}{c^{2}}}\approx 2.9142\,R_{S}}$、

${\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}\left(1+\cos \left({\tfrac {2}{3}}\cos ^{-1}(\pm \chi )\right)\right)\to 4{\frac {GM}{c^{2}}}=2\,R_{S}}$。

粒子が回転している場合、その回転がブラックホールの回転と一致するか反対であるかによって、ISCO半径はさらに分割されます。^[6]

• Leo C. Stein、カー計算機V2 [1]