一般相対性理論における二体問題

一般相対性理論における二体問題（または相対論的二体問題）は、一般相対性理論の場の方程式によって記述される2つの物体の運動と重力場を決定する問題である。ケプラー問題を解くことは、重力による光の曲がりや太陽を周回する惑星の運動を計算するために不可欠である。解は、連星同士の運動を記述したり、重力放射による連星のエネルギーの段階的な損失を推定するためにも使用される。

一般相対性理論は、重力場を曲がった時空で記述する。この曲率を支配する場の方程式は非線形であり、したがって閉じた形で解くのは困難である。ケプラー問題の正確な解は見つかっていないが、近似解が見つかっている。それがシュワルツシルト解である。この解は、一方の物体の質量Mがもう一方の質量mよりも圧倒的に大きい場合に当てはまる。その場合、大きい方の質量は静止しており、重力場に唯一寄与するものとみなすことができる。これは、恒星を通過する光子や、その太陽を周回する惑星については、良好な近似である。軽い方の物体 (以下、「粒子」と呼ぶ) の運動は、シュワルツシルト解から決定できる。その運動は、 曲がった時空における測地線(「2 点間の最短経路」) である。このような測地線解は、一般相対性理論を裏付ける重要な証拠である水星の異常歳差運動を説明するものである。彼らはまた、重力場における光の曲がりについても説明しており、これは一般相対性理論の 証拠としてよく使われるもう一つの予測である。

連星のように両方の質量が重力場に寄与していると考えられる場合、ケプラー問題は近似的にしか解くことができない。開発された最も初期の近似法はポストニュートン展開であり、これは初期解が徐々に修正される反復法である。最近では、数式の代わりにコンピュータ^{[1] [2] [3]}を使用してアインシュタインの場の方程式を解くことが可能になった。2つの物体が互いの周りを回ると、重力放射が放出され、これにより、連星パルサーPSR B1913+16で示されるように、エネルギーと角運動量が徐々に失われる。

連星ブラックホールの場合、2体問題の数値解は40年の研究を経て2005年に3つのグループが画期的な手法を考案して達成されました。^{[1] [2] [3]}

ケプラー問題は、デンマークの天文学者ティコ・ブラーエの助手として働いていたヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられました。ブラーエは太陽系の惑星の運動を非常に正確に測定しました。これらの測定から、ケプラーは惑星の運動に関する最初の現代的な記述である ケプラーの法則を定式化できました。

1. すべての惑星の軌道は、太陽を 2 つの焦点の 1 つとする楕円形です。
2. 惑星と太陽を結ぶ線は、等しい時間間隔で等しい面積を描きます。
3. 惑星の公転周期の二乗は、その軌道の半長径の三乗に正比例します。

ケプラーは最初の 2 つの法則を 1609 年に、3 番目の法則を 1619 年に発表しました。これらは、プトレマイオスやコペルニクスなどの太陽系の以前のモデルに取って代わりました。ケプラーの法則は、二体問題という限られた場合にのみ適用されます。ヴォルテールとエミリー・デュ・シャトレが最初にこれを「ケプラーの法則」と呼びました。

ほぼ 1 世紀後、アイザック ニュートンは運動の 3 つの法則を定式化しました。特に、ニュートンの第 2 法則は、質量mに力F を加えると、方程式F = maで与えられる加速度aが生じると述べています。次にニュートンは、ケプラーが見た楕円軌道を生み出す力とは何であるかという疑問を提起しました。彼の答えは万有引力の法則であり、質量Mと別の質量mの間に働く力は次の式で与えられる と述べています。 ここで、 rは質量間の距離、G は万有引力定数です。この力の法則と運動方程式に基づいて、ニュートンは、互いに引き合う 2 つの質点がそれぞれ完全な楕円軌道を描くことを証明できました。これらの楕円の大きさの比はm / Mであり、大きい方の質量が小さい楕円上を動きます。Mがmよりはるかに大きい場合、大きい方の質量は、軽い方の質量mの楕円軌道の焦点で静止しているように見えます。このモデルは、太陽系に近似的に適用できます。太陽の質量は惑星の質量よりもはるかに大きいため、各惑星に作用する力は主に太陽によるものであり、惑星同士の重力は第一近似では無視できます。 $${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{r^{2}}},}$$

2 つの物体間の位置エネルギーがニュートンの万有引力の法則の 1/ rポテンシャルとまったく同じではなく、わずかに異なるだけの場合、軌道の楕円は徐々に回転します (他の可能性のある効果の中でも特に)。この遠点歳差は、主に太陽の扁平度 (完全な球形ではない) と他の惑星同士の引力により、太陽を周回するすべての惑星で見られます。遠点とは、軌道上で最も近い 2 つの点 (それぞれ近点と遠点) であり、遠点歳差は遠点を結んだ線の回転に対応します。また、遠点の線に沿うラプラス・ルンゲ・レンツ ベクトルの回転にも対応します。

ニュートンの万有引力の法則は、すべての惑星の運動を非常に正確に予測したため、すぐに受け入れられるようになりました。^{[疑わしい–議論する]}これらの計算は、18世紀後半にピエール・シモン・ラプラス によって最初に実行され、 19世紀後半にフェリックス・ティセランによって改良されました。逆に言えば、ニュートンの万有引力の法則が惑星の遠心歳差運動を正確に予測しなかった場合は、万有引力の理論として破棄されなければなりません。そのような異常な歳差運動は、19世紀後半に観測されました。

1859年、ユルバン・ルヴェリエは水星の軌道歳差運動が本来あるべき姿ではないことを発見した。水星の軌道楕円は、他の惑星の影響をすべて考慮した後でも、従来のニュートンの重力理論で予測されたよりもわずかに速く回転（歳差運動）していた。 ^[4]この影響は小さい（1世紀あたり約43秒角）が、測定誤差（1世紀あたり約0.1秒角）をはるかに上回っていた。ルヴェリエはすぐにこの発見の重要性に気づき、天文学者と物理学者に同様にその説明を求めた。惑星間塵、観測されていない太陽の扁平率、水星の未検出の衛星、バルカンという新しい惑星など、いくつかの古典的な説明が提案された。^{[5]これらの説明が否定された後、一部の物理学者は、}ニュートンの万有引力の 反二乗の法則が間違っているというより過激な仮説にたどり着いた。例えば、一部の物理学者は指数が2とわずかに異なるべき乗則を提唱した。 ^[6]

ニュートンの法則に速度依存のポテンシャルを付け加えるべきだと主張する者もいた。しかし、これはニュートンの天体力学との矛盾を意味していた。天体力学の論文でラプラスは、重力の影響が瞬間的に作用しない場合、惑星自体の運動は正確には運動量を保存しない（したがって、運動量の一部は重力相互作用の媒介に帰属する必要があり、これは電磁相互作用の媒介に運動量を帰属するのと類似している）ことを示した。ニュートンの観点から見ると、重力の影響が有限の速度で伝播する場合、惑星はどの時点においても太陽が少し前にあった点に引き寄せられ、太陽の瞬間的な位置には引き寄せられない。ラプラスは、古典的な原理を前提として、重力が光速程度の速度で伝播するならば、太陽系は不安定になり、長い間存在できないであろうことを示した。太陽系が十分に古いという観察により、彼は重力の速度に下限を設定することができ、それは光速よりも何桁も速いことが判明した。^{[5] [7]}

ラプラスによる重力の速度の推定は、相対性原理を尊重する場の理論では正しくありません。電場と磁場が組み合わさるため、一定速度で運動している点電荷の引力は、外挿された瞬間的な位置に向かうのであって、見たときに占めているように見える位置に向かうのではありません。^{[注 1]}これらの問題を回避するために、1870年から1900年にかけて、多くの科学者がヴィルヘルム・エドゥアルト・ウェーバー、カール・フリードリヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマンの電磁力の法則を使用して、安定した軌道を作り出し、水星の軌道の近日点移動を説明しました。1890年、モーリス・レヴィはウェーバーとリーマンの法則を組み合わせることで、重力の速度が光速に等しいという理論を導き、これに成功しました。また、別の試みでは、ポール・ガーバー（1898）は近日点移動の正しい式を導き出すことに成功しました（これは後にアインシュタインが使用した式と同一でした）。しかし、ウェーバーらの基本法則が間違っていたため（例えば、ウェーバーの法則はマクスウェルの理論に取って代わられました）、それらの仮説は却下されました。^{[8]マクスウェルの理論をすでに使用していた}ヘンドリック・ローレンツ（1900）による別の試みでは、近日点移動が低すぎました。^[5]

1904年から1905年頃、ヘンドリック・ローレンツ、アンリ・ポアンカレ、そして最終的にアルベルト・アインシュタインの特殊相対性理論の研究により、光速よりも速い効果の伝播の可能性は排除されました。その結果、ニュートンの万有引力の法則は、相対論的効果が無視できる状況でニュートンの極限を達成しながら、相対性原理と両立する別の法則に置き換えられる必要がありました。そのような試みは、アンリ・ポアンカレ（1905年）、ヘルマン・ミンコフスキー（1907年）、アルノルド・ゾンマーフェルト（1910年）によって行われました。^{[9] 1907年、アインシュタインはこれを達成するには特殊相対性理論の後継が必要であるという結論に達しました。1907年から1915年まで、アインシュタインは}等価原理を重要な概念として使い、新しい理論に向けて研究しました。この原理によれば、均一な重力場はその内部にあるすべてのものに等しく作用するため、自由落下する観測者には検出できない。逆に、すべての局所的な重力効果は線​​形加速する基準系で再現可能であり、その逆も同様である。したがって、重力は、加速基準系にあることから生じる遠心力やコリオリの力などの架空の力のように作用する。すべての架空の力は、重力と同様に慣性質量に比例する。重力と特殊相対性理論を調和させ、等価原理を組み込むためには、何かを犠牲にする必要があり、その何かとは、我々の空間はユークリッド幾何学の法則に従うという長年信じられてきた古典的な仮定、たとえばピタゴラスの定理が実験的に正しいという仮定であった。アインシュタインは、より一般的な幾何学である擬リーマン幾何学を使用して、調和に必要な空間と時間の曲率を考慮しました。8年間の研究 (1907-1915) の後、自然界で観察される物理法則、特に重力を再現するために時空をどのように曲げるべきかを正確に発見することに成功しました。重力は、時空の曲率が物理的に実在すると見なされるのに対し、架空の力は力とは見なされないという意味で、遠心力やコリオリの力などの架空の力とは異なります。彼の場の方程式の最初の解は、水星の異常な歳差運動を説明し、光の異常な曲がりを予測しましたが、これは彼の理論が発表された後に確認されました。これらの解については以下で説明します。

通常のユークリッド幾何学では、三角形はピタゴラスの定理に従います。ピタゴラスの定理は、空間内の 2 点間の距離の平方ds ²は、その垂直成分の平方の和であると 述べます。 ここで、 dx、dy、dz は、直交座標系における 2 点のx、y、z座標間の微小な差を表します。では、これが完全には当てはまらない世界を想像してください。距離が次のように表される世界です。 ここで、F、G、Hは位置の任意の関数です。そのような世界を想像するのは難しくありません。私たちはそのような世界に住んでいます。地球の表面は湾曲しているため、地球の完全に正確な平面地図を作成することは不可能です。非直交座標系はこれをよく示しています。たとえば、球面座標 ( r、θ、φ ) では、ユークリッド距離は次のように表すことができます。 $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$$${\displaystyle ds^{2}=F(x,y,z)\,dx^{2}+G(x,y,z)\,dy^{2}+H(x,y,z)\,dz^{2}}$$$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

もう 1 つの例は、長さを測る定規が信頼できない世界、つまり位置や向きによって長さが変わる定規の世界です。最も一般的なケースでは、距離ds を 計算するときに交差項を考慮する必要があります。 ここで、9 つの関数g _xx、g _xy、...、g _{zz は}計量テンソルを構成し、リーマン幾何学における空間の幾何学を定義します。上記の球面座標の例では、交差項はありません。ゼロでない計量テンソルの成分は、g _rr = 1、g _θθ = r ^2、およびg _φφ = r ² sin ² θ のみです。 $${\displaystyle ds^{2}=g_{xx}\,dx^{2}+g_{xy}\,dx\,dy+g_{xz}\,dx\,dz+\cdots +g_{zy}\,dz\,dy+g_{zz}\,dz^{2}}$$

アルバート・アインシュタインは特殊相対性理論において、 2つの空間点間の距離dsは一定ではなく、観測者の動きに依存することを示した。しかし、時空における2点間の距離には不変の尺度があり、これは「固有時間」と呼ばれ、記号dτで表され、観測者の動きに依存しない。 これは球座標で次のように表される。 $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$$$${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$$

この式はピタゴラスの定理の自然な拡張であり、同様に時空に曲率がない場合にのみ成立します。しかし、 一般相対性理論では、空間と時間に曲率がある場合があるため、この距離の式は、 地球の表面上の距離を測定するために式を一般化したのと同じように、より一般的な形に修正する必要があります。計量g _μνの正確な形は、アインシュタインの場の方程式で説明されているように、重力の質量、運動量、エネルギーによって異なります。アインシュタインは、当時知られていた自然法則と一致するようにこれらの場の方程式を開発しましたが、それらは、後に確認された、それまでに見たことのない現象 (重力による光の曲がりなど) を予測していました。 $${\displaystyle c^{2}\,d\tau ^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$$

アインシュタインの一般相対性理論によれば、無視できる質量の粒子は時空内の測地線に沿って移動する。重力源から遠く離れた曲がっていない時空では、これらの測地線は直線に対応する。しかし、時空が曲がっている場合は直線から外れることがある。測地線の式は^{[10]であり、ここで Γ は} クリストッフェル記号 を表し、変数q は時空 を通る粒子の経路、いわゆる世界線 をパラメータ化する。クリストッフェル記号は計量テンソルg _μνのみ、またはむしろそれが位置によってどのように変化するかに依存する。変数q は、時間的軌道（質量のある粒子が移動する）の場合、固有時間τの定数倍であり、通常はそれに等しいとされる。光のような（またはヌルの）軌道（光子などの質量のない粒子が移動する）の場合、固有時間はゼロであり、厳密に言えば変数qとして使用できない。それにもかかわらず、光のような軌道は、時間のような軌道の超相対論的限界、つまり、全エネルギーを固定したまま粒子の質量m がゼロに近づく限界として導くことができます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dq^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{dq}}{\frac {dx^{\lambda }}{dq}}=0}$$

アインシュタインの場の方程式の厳密な解はシュワルツシルト計量であり、これは静止した、電荷を帯びず、回転しない、質量Mの球対称物体の外部重力場に対応する。これは、シュワルツシルト半径として知られる長さスケールr _sによって特徴付けられ、式 によって定義される 。 ここで、 Gは重力定数である。比r _s / rがゼロになる極限で、古典的なニュートンの重力理論が回復される 。その極限で、計量は特殊相対性理論によって定義されたものに戻る。 $${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$$

実際には、この比率はほとんどの場合、極めて小さいです。たとえば、地球の シュバルツシルト半径r _{s はおよそ 9} mm ( 3 ⁄ 8 インチ) です。地球の表面では、ニュートンの重力による補正は 10 億分の 1 にすぎません。太陽のシュバルツシルト半径ははるかに大きく、およそ 2953 メートルですが、その表面では、比率r _s / rはおよそ 100 万分の 4 です。白色矮星ははるかに密度が高いですが、それでも表面での比率はおよそ 100 万分の 250 です。この比率は、中性子星(比率がおよそ 50%) やブラックホールなどの超高密度の物体に近づいたときにのみ大きくなります。

中心質量の周りの微小質量の試験粒子の軌道は、運動方程式で与えられます 。 ここで、は特定の相対角運動量、は換算質量です。これは、軌道の方程式に変換できます。 ここでは、簡潔にするために、2つの長さスケール、および が導入されています。これらは運動の定数であり、試験粒子の初期条件（位置と速度）に依存します。したがって、軌道方程式の解は、 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left(c^{2}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right).}$$${\displaystyle h}$${\textstyle h=r\times v={L \over \mu }}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}={\frac {r^{4}}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)\left({\frac {r^{4}}{a^{2}}}+r^{2}\right),}$$${\textstyle a={\frac {h}{c}}}$${\textstyle b={\frac {Lc}{E}}}$$${\displaystyle \varphi =\int {\frac {1}{r^{2}}}\left[{\frac {1}{b^{2}}}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]^{-1/2}\,dr.}$$

上記で導出された粒子の運動方程式は、 シュワルツシルト半径r _s の定義を使用して次のように 書き直すことができます。これは、1 次元の有効ポテンシャル 内を運動する粒子と同等です。 最初の 2 つの項はよく知られた古典的なエネルギーで、1 つ目はニュートンの引力による重力ポテンシャル エネルギー、2 つ目は反発する「遠心」ポテンシャル エネルギーに対応します。ただし、3 つ目の項は一般相対性理論に固有の引力エネルギーです。以下および他の場所で示されているように、この逆 3 次エネルギーにより、楕円軌道は 1 回転あたり角度 δφ ずつ徐々に歳差運動します 。ここで 、Aは半長径、e は離心率です。ここで、δφ は( t、r、θ、φ ) 座標におけるφ座標の変化ではなく、古典的な閉軌道の 近点引数の変化です。$${\displaystyle \left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}={\frac {E^{2}}{m^{2}c^{2}}}-c^{2}+{\frac {r_{s}c^{2}}{r}}-{\frac {h^{2}}{r^{2}}}+{\frac {r_{s}h^{2}}{r^{3}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{2}=\left[{\frac {E^{2}}{2mc^{2}}}-{\frac {1}{2}}mc^{2}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$ $${\displaystyle V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}}$$$${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

3 番目の項は引力であり、r値が小さい場合に支配的となり、臨界内半径r _{inner を}与えます。この内半径では、粒子はr = 0 まで容赦なく内側に引き込まれます。この内半径は、粒子の単位質量あたりの角運動量の関数、または同等に、上で定義した長さスケールの関数です。

有効ポテンシャルV は長さa = h / cで書き直すことができます。 $${\displaystyle V(r)={\frac {mc^{2}}{2}}\left[-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {r_{s}a^{2}}{r^{3}}}\right].}$$

円軌道は、有効な力がゼロのとき、 つまり、2 つの引力、つまりニュートンの重力 (第 1 項) と一般相対性理論に特有の引力 (第 3 項) が、反発する遠心力 (第 2 項) によって正確に釣り合っているときに可能になります。この釣り合いが取れる半径は 2 つあり、ここではr _innerとr _outerで示します。 これらは、二次方程式の公式 を使用して得られます。内側の半径r _{inner は不安定です。r}が小さくなると、3 番目の引力が他の 2 つの力よりもはるかに速く強くなるためです。粒子がr _inner (3 つの力がすべて釣り合っている) からわずかに内側にずれると、3 番目の力が他の 2 つの力を支配し、粒子をr = 0 まで容赦なく内側に引き寄せます。ただし、外側の半径では、円軌道は安定しています。3 番目の項はそれほど重要ではなく、システムは非相対論的ケプラー問題 のように動作します。 $${\displaystyle F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{2}}{2r^{4}}}\left[r_{s}r^{2}-2a^{2}r+3r_{s}a^{2}\right]=0;}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)\\r_{\mathrm {inner} }&={\frac {a^{2}}{r_{s}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}\right)={\frac {3a^{2}}{r_{\mathrm {outer} }}},\end{aligned}}}$$

aがr _sよりはるかに大きい場合（古典的な場合）、これらの式は近似的に $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {outer} }&\approx {\frac {2a^{2}}{r_{s}}}\\r_{\mathrm {inner} }&\approx {\frac {3}{2}}r_{s}\end{aligned}}}$$

aとr _sの定義をr _outerに代入すると、質量mの粒子が質量Mの物体を周回するという古典的な公式が得られます。

ω _{φ が}粒子の軌道角速度である 次の式は 、非相対論的力学において遠心力をニュートンの重力に等しく設定することによって得られます。 ここで は換算質量です。 $${\displaystyle r_{\text{outer}}^{3}={\frac {G(M+m)}{\omega _{\varphi }^{2}}}}$$$${\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=\mu \omega _{\varphi }^{2}r}$$${\displaystyle \mu }$

我々の記法では、古典的な軌道角速度は $${\displaystyle \omega _{\varphi }^{2}\approx {\frac {GM}{r_{\mathrm {outer} }^{3}}}=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2r_{\mathrm {outer} }^{3}}}\right)=\left({\frac {r_{s}c^{2}}{2}}\right)\left({\frac {r_{s}^{3}}{8a^{6}}}\right)={\frac {c^{2}r_{s}^{4}}{16a^{6}}}}$$

反対に、a ^{2 が}上から3 r _s ²に近づくと、 2 つの半径は 1 つの値に収束します。 上記の2 次解 により、 r _{outer は常に 3} r _sより大きくなり、r _{inner は}3 ⁄ 2 r _sと 3 r _sの間にあります。 3 ⁄ 2 r _sより小さい円軌道は不可能です。 質量のない粒子の場合、a は無限大に近づくため、 r _inner = 3 ⁄ 2 r _sに光子の円軌道が存在することになります。 この半径の球は、光子球と呼ばれることもあります。 $${\displaystyle r_{\text{outer}}\approx r_{\text{inner}}\approx 3r_{s}}$$   

軌道歳差運動率は、この半径有効ポテンシャルVを使って導出できる。半径r_外側の円軌道からの小さな半径偏差は、 次の 角周波数で安定的に振動する。 $${\displaystyle \omega _{r}^{2}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{2}V}{dr^{2}}}\right]_{r=r_{\text{outer}}}}$$$${\displaystyle \omega _{r}^{2}=\left({\frac {c^{2}r_{s}}{2r_{\text{outer}}^{4}}}\right)\left(r_{\text{outer}}-r_{\text{inner}}\right)=\omega _{\varphi }^{2}{\sqrt {1-{\frac {3r_{s}^{2}}{a^{2}}}}}}$$

両辺の平方根をとり、二項定理を使って展開すると、次の式が得られる。1 回転の 周期Tを掛けると、1回転あたりの軌道の歳差運動が得られる 。ここで、 ω _φ T = 2 πと長さスケールの定義aを 使用している。シュワルツシルト半径r _sの定義を代入すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{\varphi }\left(1-{\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}+\cdots \right)}$$$${\displaystyle \delta \varphi =T(\omega _{\varphi }-\omega _{r})\approx 2\pi \left({\frac {3r_{s}^{2}}{4a^{2}}}\right)={\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}r_{s}^{2}}$$ $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{2}c^{2}}{2L^{2}}}\left({\frac {4G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)={\frac {6\pi G^{2}M^{2}m^{2}}{c^{2}L^{2}}}}$$

これは、楕円軌道の長半径Aと離心率eを使って簡略化することができ、次式 で関連付けられる 。 $${\displaystyle {\frac {h^{2}}{G(M+m)}}=A\left(1-e^{2}\right)}$$$${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}A\left(1-e^{2}\right)}}}$$

一般に古典的な閉じた軌道は楕円なので、量A (1− e2 ⁾は楕円の 半直角 lです。

したがって、単位回転角の遠心歳差運動の最終的な式は次のようになる。 $${\displaystyle \delta \varphi \approx {\frac {6\pi G(M+m)}{c^{2}l}}}$$

シュワルツシルト解では、質量の大きい方M は静止しており、重力場 (つまり時空の幾何学) はこれのみで決まると仮定され、したがって質量の小さい方m は固定された時空を通る測地線経路をたどります。これは、光子と、太陽の約 600 万倍の重さである水星の軌道については妥当な近似です。しかし、質量が同程度の大きさになる可能性がある 連星には不十分です。

2 つの同程度の質量がある場合の計量は閉じた形式では解くことができないため、ポストニュートン近似や数値近似などの近似手法に頼らなければなりません。ついでに、低次元における 1 つの特別な例外について触れておきます (詳細についてはR  =  Tモデルを参照)。(1+1) 次元、つまり 1 つの空間次元と 1 つの時間次元からなる空間では、等しい質量を持つ 2 つの物体の計量は、ランバートの W 関数^[11]を用いて解析的に解くことができます。ただし、2 つの物体間の重力エネルギーは、伝播するために 3 次元空間を必要とする グラビトンではなく、ディラトンを介して交換されます。

ポストニュートン展開は、与えられた問題に対して、より正確な一連の解を提供する計算方法です。^[12]この方法は反復的です。粒子運動の初期解は重力場を計算するために使用され、これらの導出された場から新しい粒子運動を計算し、そこからさらに正確な場の推定値を計算するなどです。このアプローチは、粒子軌道のニュートン解が初期解としてよく使用されるため、「ポストニュートン」と呼ばれます。

理論は 2 つの部分に分けられます。まず、ニュートン力学ポテンシャルに対する一般相対論補正を捉える 2 体有効ポテンシャルを見つけます。次に、結果として得られる運動方程式を解きます。

アインシュタインの方程式は、洗練された数値計算法を使ってコンピュータ上で解くこともできます。^{[1] [2] [3]}十分なコンピュータパワーがあれば、このような解はポストニュートンの解よりも正確になります。しかし、このような計算は、方程式を一般に4次元空間で解かなければならないため、要求が厳しいものになります。それでも、1990年代後半から、一般相対性理論におけるケプラー問題の非常に難しいバージョンである2つのブラックホールの合体などの難しい問題を解くことが可能になりました。

一般相対性理論によれば、重力放射線の入射がない場合、互いの周りを周回する 2 つの物体は重力放射線を放射し、軌道は徐々にエネルギーを失います。

ケプラー問題の2つの物体からの重力放射によるエネルギーと角運動量の損失を表す式が計算されている。 ^[13]エネルギー損失率（完全な軌道の平均）は^[14] で与えられ、 ここでeは軌道離心率、aは楕円軌道の長半径である。式の左側の角括弧は、1回の軌道の平均を表す。同様に、角運動量の平均損失率は次の式に等しい。 $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{4}m_{1}^{2}m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2})}{5c^{5}a^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)}$$$${\displaystyle -\left\langle {\frac {dL_{z}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{7/2}m_{1}^{2}m_{2}^{2}{\sqrt {m_{1}+m_{2}}}}{5c^{5}a^{7/2}\left(1-e^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{2}\right)}$$

周期減少率は^{[13] [15]} で与えられ 、ここでPb_は軌道周期である。 $${\displaystyle -\left\langle {\frac {dP_{b}}{dt}}\right\rangle ={\frac {192\pi G^{5/3}m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})^{-1/3}}{5c^{5}\left(1-e^{2}\right)^{7/2}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{2}+{\frac {37}{96}}e^{4}\right)\left({\frac {P_{b}}{2\pi }}\right)^{-{5/3}}}$$

離心率が 1 に近づくにつれて、つまり軌道の楕円が長くなるにつれて、エネルギーと角運動量の損失が大幅に増加します。軌道の サイズaが小さくなると、放射損失も大幅に増加します。

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  実験的に観測された連星パルサーPSR B1913+16の近点時刻の変化(赤い点) は、一般相対性理論によって予測される軌道周期の短縮による変化(青い曲線) とほぼ正確に一致しています。
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  2 つの中性子星が互いの周りを高速で回転し、重力放射線を放出することで徐々にエネルギーを失います。エネルギーを失うと、2 つの中性子星は互いの周りをより速く、より接近して回ります。

• ビネ方程式
• 質量中心（相対論的）
• 重力二体問題
• ケプラー問題
• ニュートンの回転軌道の定理
• シュヴァルツシルト測地線

• 天の川銀河の超大質量ブラックホールの周りの星の相対論的な歳差運動を示すアニメーション
• ケビン・ブラウン著『相対性についての考察』からの抜粋。