代数的位相幾何学

代数的位相幾何学は、抽象代数のツールを使って位相空間を研究する数学の一分野です。基本的な目標は、位相空間を同相まで分類する代数的不変量を見つけることですが、通常は大部分はホモトピー同値まで分類します。

代数的位相幾何学では、主に位相問題を研究するために代数を使用しますが、位相幾何学を使用して代数的問題を解決することもできます。たとえば、代数的位相幾何学では、自由群の任意の部分群が再び自由群である ことを簡単に証明できます。

以下は代数的位相幾何学で研究される主な分野の一部です。

数学では、ホモトピー群は代数位相幾何学で位相空間を分類するために使用されます。最初の最も単純なホモトピー群は基本群であり、空間内のループに関する情報を記録します。直感的に言えば、ホモトピー群は位相空間の基本的な形状、つまり穴に関する情報を記録します。

代数的位相幾何学と抽象代数学において、ホモロジー（ギリシャ語のὁμός homos 「同一の」に由来）は、アーベル群または加群の列を位相空間や群などの特定の数学的対象に関連付ける一般的な手順です。^[1]

ホモロジー理論と代数的位相幾何学において、コホモロジーはコチェーン複体から定義されるアーベル群の列を表す一般用語です。つまり、コホモロジーはコチェーン、コサイクル、およびコ境界の抽象的な研究として定義されます。コホモロジーは、ホモロジーよりも洗練された代数構造を持つ位相空間に代数不変量を割り当てる方法と見なすことができます。コホモロジーは、ホモロジーの構築の代数的双対化から生じます。より抽象的な言葉で言えば、基本的な意味でのコチェーンは、ホモロジー理論のチェーンに「量」を割り当てるはずです。

多様体とは、各点の近くでユークリッド空間に似た位相空間のことです。例としては、平面、球面、トーラスなどがあり、これらはすべて 3 次元で実現できますが、クラインの壺や実射影平面も3 次元には埋め込むことができませんが、4 次元には埋め込むことができます。通常、代数位相幾何学の結果は、多様体の大域的かつ微分不可能な側面、たとえばポアンカレ双対性に焦点が当てられます。

結び目理論は、数学的な結び目に関する研究です。日常生活で靴ひもやロープに見られる結び目にヒントを得ていますが、数学者の結び目は、端がつながって解けないようになっている点で異なります。正確な数学用語で言えば、結び目は3 次元ユークリッド空間、への円の埋め込みです。2 つの数学的な結び目は、一方を の自分自身への変形(周囲同位体と呼ばれる) によって他方に変換できる場合、同等です。これらの変換は、結び目のついた紐を切ったり、紐自体に通したりしない操作に対応します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

単体複体とは、点、線分、三角形、およびそれらのn次元の対応物を「接着」することによって構築される、ある種の位相空間です(図を参照)。単体複体は、現代の単体ホモトピー理論に現れる、より抽象的な概念である単体集合と混同しないでください。単体複体の純粋に組み合わせ的な対応物は、抽象単体複体です。

CW複体は、ホモトピー理論のニーズを満たすためにJHC ホワイトヘッドによって導入された位相空間の一種です。このクラスの空間はより広く、単体複体よりも優れたカテゴリ特性を備えていますが、それでも計算 (多くの場合、はるかに小さな複体で) を可能にする組み合わせの性質を保持しています。

この分野の古い名前は組合せ論的位相幾何学であり、空間 X がより単純なものからどのように構成されるかに重点を置いていました^[2] (このような構成の現代の標準的なツールはCW 複体です)。1920 年代と 1930 年代には、位相空間を代数群に対応させることによって調査することに重点が置かれるようになり、名前が代数的位相幾何学に変更されました^[3] 。組合せ論的位相幾何学という名前は、空間の分解に基づくアルゴリズム的アプローチを強調するために今でも時々使用されます。^[4]

代数的アプローチでは、空間と群との間に、空間の同相（またはより一般的にはホモトピー）の関係を尊重する対応関係が見つかります。これにより、位相空間に関する記述を群に関する記述に書き直すことができます。群には扱いやすい構造が多数あり、多くの場合、これらの記述の証明が容易になります。これを行う主な 2 つの方法は、基本群（より一般的にはホモトピー理論）と、ホモロジー群およびコホモロジー群を使用することです。基本群は位相空間の構造に関する基本的な情報を提供しますが、非可換であることが多く、扱いが難しい場合があります。（有限）単体複体の基本群には、有限の表現があります。

一方、ホモロジー群とコホモロジー群はアーベル群であり、多くの重要なケースでは有限生成です。有限生成アーベル群は完全に分類されており、特に扱いやすいです。

一般に、代数的位相幾何学のすべての構成は関数的であり、カテゴリ、関数、自然変換の概念はここから生まれました。基本群とホモロジー群およびコホモロジー群は、同相な2 つの位相空間が同じ関連群を持つという意味で、基礎となる位相空間の不変量であるだけでなく、それらの関連射も対応しています。つまり、空間の連続マッピングは、関連群上の群準同型を誘導し、これらの準同型を使用して、マッピングの非存在 (または、より深く言えば、存在) を示すことができます。

異なるタイプのコホモロジーを扱った最初の数学者の一人はジョルジュ・ド・ラムである。ド・ラム・コホモロジー、あるいはチェフ・コホモロジーや層コホモロジーを介して滑らかな多様体の微分構造を使用して、問題の多様体上で定義された微分方程式の可解性を調べることができる。ド・ラムは、これらすべてのアプローチは相互に関連しており、閉じた有向多様体の場合、単体ホモロジーを通じて導かれるベッティ数は、ド・ラム・コホモロジーを通じて導かれるベッティ数と同じであることを示した。これは1950年代に拡張され、サミュエル・アイレンバーグとノーマン・スティーンロッドがこのアプローチを一般化した。彼らはホモロジーおよびコホモロジーを、ある公理に従う自然変換（例えば、空間の弱同値はホモロジー群の同型に移行する）を備えた関数として定義し、既存の（コ）ホモロジー理論がすべてこれらの公理を満たすことを検証し、そのような公理化が理論を一意に特徴付けることを証明した。

代数的位相幾何学の典型的な応用には以下のものがあります。

• Brouwerの不動点定理:単位n円からそれ自身へのすべての連続写像には不動点がある。
• 単体複体のn番目のホモロジー群の自由階はn番目のベッティ数であり、これを使用してオイラー・ポアンカレ特性を計算することができます。
• ド・ラーム・コホモロジー、またはチェフ・コホモロジーや層コホモロジーを介して滑らかな多様体の微分構造を使用して、問題の多様体上で定義された微分方程式の可解性を調べることができます。
• 多様体は、最上位次元の積分ホモロジー群が整数のときは向き付け可能であり、0 のときは向き付け不可能です。
• n球面は、 nが奇数の場合に限り、どこにも消えない連続単位ベクトル場を許容します。( n  = 2 の場合、これは「毛玉定理」と呼ばれることもあります。)
• ボルスク・ウラム定理: n球面からユークリッドn空間への任意の連続写像は、少なくとも 1 組の反対称点を特定します。
• 自由群の任意の部分群は自由である。この結果は非常に興味深い。なぜなら、この記述は純粋に代数的であるが、最も単純な既知の証明は位相的であるからである。すなわち、任意の自由群G はグラフ Xの基本群として実現され得る。被覆空間に関する主定理は、 Gのすべての部分群HはXの何らかの被覆空間Yの基本群であるが、そのようなY はすべてやはりグラフである、ということを教えてくれる。したがって、その基本群H は自由である。一方、このタイプの応用は、群体の被覆射の使用によってより簡単に扱われ、その技術は代数的位相幾何学の方法ではまだ証明されていない部分群定理を生み出した。Higgins (1971) を参照。
• 位相的組合せ論。

ウィキメディア・コモンズには、代数的位相幾何学に関連するメディアがあります。

Wikiquote には代数的位相幾何学に関する引用があります。

• アレグレッティ、ディラン GL (2008)、単体集合とファン・カンペンの定理 (位相空間と単体集合に適用されたファン・カンペンの定理の一般化バージョンについて説明します)。
• ブレドン、グレン E. (1993)、トポロジーと幾何学、Graduate Texts in Mathematics、第 139 巻、Springer、ISBN 0-387-97926-3。
• Brown, R. (2007)、高次元群論、2016-05-14にオリジナルからアーカイブ、2022-08-17に取得 (複数の群を含む高次元のファン・カンペンの定理の広い見方を示します)。
• Brown, R.; Razak, A. (1984)、「非連結空間の和集合に対するファン・カンペン定理」、Arch. Math.、42 : 85–88、doi :10.1007/BF01198133、S2CID  122228464「開集合の和集合である空間の基点集合を持つ基本群に関する一般定理を与える。」
• Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002)、「ハウスドルフ空間のホモトピー二重群」、Theory Appl. Categories、10 (2): 71–93。
• Brown, R.; Higgins, PJ (1978)、「いくつかの関連空間の第二相対ホモトピー群間の接続について」、Proc. London Math. Soc.、S3-36 (2): 193–212、doi :10.1112/plms/s3-36.2.193「ファン・カンペンの定理の最初の 2 次元バージョン。」
• ブラウン、ロナルド; ヒギンズ、フィリップ J.; シベラ、ラファエル (2011)、「非アーベル代数的位相幾何学: フィルター空間、交差複体、立方体ホモトピー群」、ヨーロッパ数学協会数学論文集、第 15 巻、ヨーロッパ数学協会、arXiv : math/0407275、ISBN 978-3-03719-083-8、2009-06-04にオリジナルからアーカイブこれは、特異ホモロジーや単体近似法の根拠を必要とせずに、基本的な代数位相に対するホモトピー理論的アプローチを提供します。交差モジュールに関する多くの資料が含まれています。
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• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0現代的で幾何学的な味わいのある代数的位相幾何学の入門書。
• ヒギンズ、フィリップ J. (1971)、「カテゴリと群体に関するノート」、ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ISBN 9780442034061
• マウンダー、CRF（1970）、代数的位相幾何学、ロンドン：ヴァン・ノストランド・ラインホールド、ISBN 0-486-69131-4。
• トム・ディーク、タモ（2008）、代数的位相幾何学、EMS数学教科書、ヨーロッパ数学協会、ISBN 978-3-03719-048-7
• ファン・カンペン、エグバート（1933）「いくつかの関連空間の基本群間の接続について」アメリカ数学誌、55（1）：261-7、JSTOR  51000091

• ハッチャー、アレン（2002）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X。およびISBN 0-521-79540-0。 
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• May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF) . University of Chicago Press . 2022-10-09 にオリジナルからアーカイブ(PDF) . 2008-09-27に取得。セクション 2.7 では、群体のカテゴリにおける余極限としての定理のカテゴリ理論的表現を示します。