量子情報

量子情報とは、量子システムの状態に関する情報である。量子情報理論^{[1] [2] [3]}における研究の基本的な実体であり、量子情報処理技術を使用して操作することができる。量子情報とは、フォン・ノイマン・エントロピーによる技術的な定義と、一般的な計算用語の両方を指す。

これは、量子力学、コンピューターサイエンス、情報理論、哲学、暗号学などを含む学際的な分野です。 ^{[4] [5] [6]その研究は、}認知科学、心理学、神経科学などの分野にも関連しています。^{[7] [8] [9] [10]}その主な焦点は、ミクロなスケールで物質から情報を抽出することです。 科学における観察は、情報を取得する最も重要な方法の1つであり、観察を定量化するために測定が必要であり、これは科学的方法にとって非常に重要です。量子力学では、不確定性原理により、1つの基底の固有状態が他の基底の固有状態ではないため、非可換な観測可能量を同時に正確に測定することはできません。 固有状態と固有値のリンクによると、システムの状態が観測可能量の固有状態である場合、観測可能量は明確に定義されています。^[11]任意の2つの非可換観測量は同時に明確に定義されないため、量子状態は両方の非可換観測量に関する決定的な情報を含むことは決してできない。^[8]

情報とは量子システムの状態にエンコードされた物理的な何かである。^[12]量子力学は物質の微視的レベルでの特性を調べることを扱い、[ ^{13] [8]} 量子情報科学はそれらの特性から情報を抽出することに焦点を当てており、^[8]量子計算は量子情報処理技術を使用して情報を操作および処理し、論理演算を実行します。^[14]

量子情報は古典情報と同様に、デジタルコンピュータを使用して処理し、ある場所から別の場所に送信し、アルゴリズムで操作し、コンピュータサイエンスと数学で分析することができます。古典情報の基本単位がビットであるのと同じように、量子情報は量子ビットを扱います。^[15]量子情報はフォンノイマンエントロピーを使用して測定できます。

最近、量子コンピューティングの分野は、現代の計算、通信、暗号化を破壊する可能性があるため、活発な研究分野となっている。^{[14] [16]}

量子情報理論の歴史は、古典物理学が量子物理学に革命を起こした20世紀初頭に始まった。古典物理学の理論は、紫外線カタストロフや電子が原子核に螺旋状に落ちていくといった不条理を予測していた。当初、これらの問題は古典物理学にアドホックな仮説を加えることで無視されていた。すぐに、これらの不条理を理解するためには新しい理論を構築する必要があることが明らかになり、量子力学の理論が誕生した。^[2]

量子力学は、シュレーディンガーが波動力学を用いて、ハイゼンベルクが行列力学を用いて定式化した。 ^[17]これらの方法の同等性は後に証明された。^[18]彼らの定式化は微視的システムのダイナミクスを記述したが、測定プロセスの記述には不十分な点がいくつかあった。フォン・ノイマンは、測定とダイナミクスを記述する方法で作用素代数を用いて量子理論を定式化した。^[19]これらの研究は、測定を通じて情報を抽出するための定量的なアプローチではなく、測定の哲学的側面を強調した。

参照:ダイナミックピクチャーズ

1960年代に、ストラトノビッチ、ヘルストロム、ゴードン^[20]は量子力学を用いた光通信の定式化を提案した。これは量子情報理論の最初の歴史的な登場であった。彼らは主に通信の誤り確率とチャネル容量を研究した。^{[20] [21] [22]}その後、アレクサンダー・ホレボは量子チャネルを介した古典メッセージの伝送における通信速度の上限を得た。^{[23] [24]}

1970年代には、原子トラップや走査トンネル顕微鏡などの単一原子の量子状態を操作する技術が開発され始め、単一の原子を分離して配列することが可能になりました。これらの開発以前は、単一の量子システムを正確に制御することは不可能であり、実験では多数の量子システムを同時に大まかに制御していました。^[2]実用的な単一状態操作技術の開発により、量子情報と計算の分野への関心が高まりました。

1980年代には、量子効果を使ってアインシュタインの相対性理論を反証できるかどうかという関心が高まった。未知の量子状態を複製することができれば、量子もつれ状態を使って光速よりも速く情報を伝送することができ、アインシュタインの理論を反証することができる。しかし、複製不可能定理は、そのような複製は不可能であることを示した。この定理は、量子情報理論の最も初期の結果の1つであった。^[2]

孤立した量子システムの研究や相対性理論を回避する方法の模索に対する興奮と関心にもかかわらず、量子情報理論の研究は1980年代に停滞しました。しかし、同じ頃、量子情報と計算に新たな道が開かれました。それは暗号です。一般的な意味では、暗号とは、互いに信頼していない可能性のある2つ以上の当事者が関与する通信または計算を行う問題です。^[2]

ベネットとブラッサードは、 BB84量子暗号プロトコルを使用して遠距離から秘密裏に通信する方法で、検出されずに盗聴することが不可能な通信チャネルを開発した。^[25]重要なアイデアは、観測が観測対象を妨害するという量子力学の基本原理を利用することであり、安全な通信回線に盗聴者を導入すると、通信しようとしている2つの当事者はすぐに盗聴者の存在を知ることができる。

アラン・チューリングの革命的なアイデアであるプログラム可能なコンピュータ、すなわちチューリングマシンの登場により、彼は現実世界のあらゆる計算がチューリングマシンを使った同等の計算に変換できることを示しました。^{[26] [27]これは}チャーチ＝チューリングのテーゼとして知られています。

すぐに最初のコンピュータが作られ、コンピュータハードウェアは非常に速いペースで成長したため、生産の経験を通じて、ムーアの法則と呼ばれる経験的な関係に体系化されました。この「法則」は、集積回路内のトランジスタの数が2年ごとに倍増するという投影的な傾向です。^[28]トランジスタが表面積あたりの電力を増やすためにどんどん小さくなり始めると、電子工学において量子効果が現れ始め、意図しない干渉を引き起こしました。これが量子力学を使用してアルゴリズムを設計する量子コンピューティングの出現につながりました。

この時点で、量子コンピュータは、特定の問題に対しては従来のコンピュータよりもはるかに高速であることが示されました。そのような問題の一例は、デイビッド・ドイチュとリチャード・ジョザによって開発されたもので、ドイチュ・ジョザアルゴリズムとして知られています。しかし、この問題は実用的な用途がほとんどありませんでした。^[2] ピーター・ショアは1994年に、整数の素因数を求めるという非常に重要で実用的な問題を思いつきました。離散対数問題と呼ばれるこの問題は、量子コンピュータでは効率的に解くことができましたが、従来のコンピュータでは解けなかったため、量子コンピュータはチューリングマシンよりも強力であることが示されました。

コンピュータサイエンスが革命を起こしていた頃、クロード・シャノンを通じて情報理論と通信も革命を起こした。^{[29] [30] [31]シャノンは情報理論の2つの基本定理、ノイズのない通信路符号化定理とノイズのある通信路符号化定理を開発した。また、送信される情報を保護するために}誤り訂正符号を使用できること も示した。

量子情報理論も同様の軌跡をたどり、ベン・シューマッハは1995年に量子ビットを用いてシャノンのノイズレス符号化定理の類似物を作りました。また、量子コンピュータがノイズに関係なく効率的な計算を行い、ノイズの多い量子チャネル上で信頼性の高い通信を行うことを可能にするエラー訂正の理論も開発されました。^[2]

量子情報は、ビットに代表される古典情報とは、多くの印象的で馴染みのない点で大きく異なります。古典情報の基本単位は ビット ですが、量子情報の最も基本的な単位は量子ビットです。古典情報はシャノンエントロピーを使って測定され、量子力学的な類似物はフォンノイマンエントロピーです。密度行列を持つ量子力学システムの統計的集団が与えられると、それは^{[2]で与えられます。古典}情報理論 における同じエントロピー測定の多くは、ホレボエントロピー^[32]や条件付き量子エントロピーなど、量子の場合にも一般化できます。 ${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S(\rho )=-\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho ).}$

離散的な古典的デジタル状態とは異なり、量子ビットは連続値を持ち、ブロッホ球面上の方向で記述できます。このように連続値であるにもかかわらず、量子ビットは量子情報の最小単位であり、量子ビット状態が連続値であるにもかかわらず、値を正確に測定することは不可能です。5つの有名な定理は、量子情報の操作の限界を説明しています。^[2]

1. 非テレポーテーション定理は、量子ビットを（完全に）古典ビットに変換することはできない、つまり完全に「読み取る」ことはできないことを述べています。
2. 複製禁止定理は、任意の量子ビットがコピーされることを防ぎます。
3. 削除不可定理、任意の量子ビットが削除されるのを防ぐ。
4. 非放送定理は、任意の量子ビットが複数の受信者に配信されることを防ぎますが、量子ビットをある場所から別の場所に転送することは可能です（たとえば、量子テレポーテーションを介して）。
5. 量子情報の保存を証明する非隠蔽定理。

これらの定理はユニタリー性から証明されており、レナード・サスキンドによれば、ユニタリー性とは、宇宙内の量子情報は保存されるという主張の専門用語である。^{[33] ：  94} 5つの定理は量子情報処理の可能性を切り開く。

量子ビットの状態には、その情報がすべて含まれています。この状態は、多くの場合、ブロッホ球面上のベクトルとして表現されます。この状態は、線形変換または量子ゲートを適用することで変更できます。これらのユニタリ変換は、ブロッホ球面上の回転として記述されます。古典ゲートはブール論理のよく知られた演算に対応しますが、量子ゲートは物理的なユニタリ演算子です。

• 量子システムの揮発性と状態のコピーの不可能性により、量子情報の保存は古典情報の保存よりもはるかに困難です。しかし、量子エラー訂正を使用すれば、原理的には量子情報を確実に保存できます。量子エラー訂正コードの存在により、フォールトトレラントな 量子計算も可能になりました。
• 古典ビットは、量子ゲートを使用することで、量子ビットの構成にエンコードされ、その後、そこから取り出すことができます。 1 つの量子ビットだけでは、その準備に関するアクセス可能な古典情報を 1 ビットしか伝達できません。 これはHolevo の定理です。 ただし、超高密度コーディングでは、送信者は 2 つのエンタングルされた量子ビットの 1 つに作用することで、それらの結合状態に関するアクセス可能な情報を 2 ビット受信者に伝達できます。
• 量子情報は、古典的な通信チャネルの概念と同様に、量子チャネル内で移動できます。量子メッセージは量子ビットで測定される有限のサイズを持ち、量子チャネルは1秒あたりの量子ビットで測定される有限のチャネル容量を持ちます。
• 量子情報および量子情報の変化は、フォン・ノイマン・エントロピーと呼ばれるシャノン ・エントロピーの類似物を使用して定量的に測定できます。
• 場合によっては、量子アルゴリズムを使用して、既知のどの古典的アルゴリズムよりも高速に計算を実行できます。最も有名な例は、指数関数未満の時間を要する最良の古典的アルゴリズムと比較して、多項式時間で数を因数分解できるショアのアルゴリズムです。因数分解はRSA 暗号化の安全性にとって重要な部分であるため、ショアのアルゴリズムは、量子コンピュータが使用されている場合でも安全な暗号化方式を見つけようとするポスト量子暗号という新しい分野の火付け役となりました。量子超越性を示すアルゴリズムの他の例としては、グローバーの探索アルゴリズムがあり、この量子アルゴリズムでは、考えられる最良の古典的アルゴリズムよりも 2 倍高速になります。量子コンピュータによって効率的に解決できる問題の複雑性クラスは、 BQPとして知られています。
• 量子鍵配送(QKD) は、原理的には常に破られる可能性がある従来の暗号化とは異なり、従来の情報を無条件に安全に送信できます。ただし、QKD の安全性に関する微妙な点については、依然として激しい議論が続いていることに注意してください。

上記のすべてのトピックと相違点の研究が量子情報理論を構成します。

量子力学は、微視的な物理システムが自然界でどのように動的に変化するかを研究する学問である。量子情報理論の分野では、研究対象となる量子システムは現実世界のあらゆる対応物から抽象化されている。量子ビットは、たとえば、線形光量子コンピュータでは物理的に光子、トラップイオン量子コンピュータではイオン、超伝導量子コンピュータでは大量の原子の集まりである可能性がある。物理的な実装に関係なく、量子情報理論によって暗示される量子ビットの限界と特徴は、これらすべてのシステムが複素数上の密度行列という同じ装置によって数学的に記述されるため、維持される。量子力学とのもう1つの重要な違いは、量子力学では調和振動子などの無限次元システムを研究することが多いのに対し、量子情報理論では連続変数システム^[34]と有限次元システムの両方を扱っていることである。^{[8] [35] [36]}

エントロピーは物理システムの状態の不確実性を測定するものです。^[2]エントロピーは古典情報理論と量子情報理論の両方の観点から研究することができます。

古典情報は、クロード・シャノンが提唱した情報の概念に基づいています。古典情報は、原理的には、バイナリ文字列のビットに格納できます。2つの状態を持つシステムはすべて、有能なビットです。^[37]

シャノンエントロピーは、ランダム変数の値を測定することによって得られる情報を定量化したものです。これについての別の考え方は、測定前のシステムの不確実性を見ることです。その結果、シャノンが描いたエントロピーは、測定を行う前の不確実性の尺度として、または測定を行った後に得られる情報の尺度として見ることができます。^[2]

シャノンエントロピーは、イベントに関連付けられた離散確率分布の関数として記述され、このイベントセットに関連付けられた平均情報としてビット単位で見ることができます。 ${\displaystyle P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})}$${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$

$${\displaystyle H(X)=H[P(x_{1}),P(x_{2}),...,P(x_{n})]=-\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\log _{2}P(x_{i})}$$

このエントロピーの定義は、情報源の出力を保存するために必要な物理的リソースを定量化するために使用できます。上で説明したシャノンエントロピーの解釈方法は、通常、実験のサンプル数が多い場合にのみ意味があります。^[35]

レーニエントロピーは、上で定義したシャノンエントロピーの一般化である。離散確率分布の関数として表されるr次のレーニエントロピーは、イベントに関連付けられ、次のように定義される。^[37]${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),...,P(a_{n})}$${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$

$${\displaystyle H_{r}(A)={1 \over 1-r}\log _{2}\sum _{i=1}^{n}P^{r}(a_{i})}$$

およびについて。 ${\displaystyle 0<r<\infty }$${\displaystyle r\neq 1}$

のとき、 Rényi から Shannon エントロピーの定義が得られ、 のとき、 Hartley エントロピー(または最大エントロピー)の定義が得られ、のとき、最小エントロピーの定義が得られます。 ${\displaystyle r\rightarrow 1}$${\displaystyle r\rightarrow 0}$${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

量子情報理論は主に古典情報理論を量子系に拡張したものである。古典情報は量子系の測定が行われると生成される。^[37]

シャノンエントロピーの解釈の1つは、確率分布に関連する不確実性でした。量子状態の情報または不確実性を記述したい場合、確率分布は単に密度演算子 に置き換えられます。 ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle S(\rho )\equiv -\mathrm {tr} (\rho \ \log _{2}\ \rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\ \log _{2}\ \lambda _{i},}$$

の固有値はどこですか？ ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \rho }$

フォン・ノイマン・エントロピーは、古典情報におけるシャノン・エントロピーの役割と同様の役割を量子情報において果たします。

量子通信は、量子物理学と量子情報の応用の 1 つです。量子通信の重要な特性を示す、複製禁止定理などの有名な定理がいくつかあります。高密度コーディングと量子テレポーテーションも量子通信の応用です。これらは、量子ビットを使用して通信する 2 つの正反対の方法です。テレポーテーションは、アリスとボブが事前に共有されたベル状態を持っているという仮定の下で、2 つの古典ビットを通信することによって、アリスとボブから 1 つの量子ビットを転送しますが、高密度コーディングは、アリスとボブが事前に共有されたベル状態を持っているという同じ仮定の下で、1 つの量子ビットを使用して、アリスからボブに 2 つの古典ビットを転送します。

量子暗号の最もよく知られた応用の 1 つは、従来の鍵のセキュリティ問題に対する理論的解決策を提供する量子鍵配布です。量子鍵配布の利点は、複製不可定理により量子鍵をコピーできないことです。誰かがエンコードされたデータを読み取ろうとすると、送信される量子状態が変わります。これを利用して盗聴を検出できます。

最初の量子鍵配布方式であるBB84は、1984年にチャールズ・ベネットとジル・ブラッサードによって開発されました。これは通常、ワンタイムパッド暗号化で使用するために第三者から別の第三者に秘密鍵を安全に伝達する方法として説明されています。^[2]

E91 は1991 年に Artur Ekert によって作成されました。彼の方式では、エンタングルされた光子のペアを使用します。これらの 2 つの光子は、Alice、Bob、または盗聴者 Eve を含む第三者によって作成できます。光子の 1 つは Alice に、もう 1 つは Bob に配布され、それぞれがペアから 1 つの光子を受け取ります。

この方式は、量子もつれの 2 つの特性に依存しています。

1. エンタングルメント状態は完全に相関しており、つまり、アリスとボブが垂直または水平偏光を持つ粒子を測定すると、常に 100% の確率で同じ答えが得られます。両者が他の相補的 (直交) 偏光のペアを測定する場合も同様です。これには、離れた 2 つの当事者が正確な方向性同期を持っていることが必要です。ただし、量子力学理論では量子状態は完全にランダムであるため、アリスが垂直偏光または水平偏光の結果を得るかどうかを予測することは不可能です。
2. イブによる盗聴の試みは、この量子もつれを破壊し、アリスとボブが検出できるようにします。

B92はBB84の簡易版である。^[38]

B92 と BB84 の主な違い:

• B92には2つの州だけが必要
• BB84には4つの偏光状態が必要

BB84と同様に、アリスはランダムに選ばれたビットでエンコードされた光子の列をボブに送信しますが、今回はアリスが使用しなければならないビットの基底を選択します。ボブは測定する基底をランダムに選択しますが、間違った基底を選択した場合は何も測定できません。これは量子力学理論によって保証されています。ボブはアリスが送信するビットごとに、正しく測定したかどうかをアリスに伝えるだけです。^[39]

量子計算で最も広く使用されているモデルは、量子ビット「キュービット」に基づく量子回路です。キュービットは、古典計算のビットに多少似ています。キュービットは、1 または 0 の量子状態、または 1 と 0 の状態の重ね合わせの状態になります。ただし、キュービットを測定すると、測定結果は常に 0 または 1 のいずれかになります。この 2 つの結果の確率は、測定直前のキュービットの 量子状態によって異なります。

あらゆる量子計算アルゴリズムは、量子論理ゲートのネットワークとして表現できます。

量子システムが完全に分離されていれば、コヒーレンスは完全に維持されますが、システム全体をテストすることは不可能です。たとえば測定中に完全に分離されていない場合、コヒーレンスは環境と共有され、時間の経過とともに失われるように見えます。このプロセスは量子デコヒーレンスと呼ばれます。このプロセスの結果、古典力学で摩擦によってエネルギーが失われるように見えるのと同じように、量子動作は明らかに失われます。

QECは、量子コンピューティングにおいて、デコヒーレンスやその他の量子ノイズによるエラーから量子情報を保護するために使用されます。保存された量子情報のノイズだけでなく、欠陥のある量子ゲート、欠陥のある量子準備、欠陥のある測定にも対処できるフォールトトレラントな量子コンピューティングを実現するには、量子エラー訂正が不可欠です。

ピーター・ショアは、 1 つの量子ビットの情報を補助量子ビットの高度にエンタングルメントされた状態に保存することによって量子エラー訂正コードを作成するこの方法を初めて発見しました。量子エラー訂正コードは、量子情報をエラーから保護します。

量子情報科学に関する研究は多くのジャーナルで公開されていますが、この分野に特化したジャーナルはごくわずかです。次のようなジャーナルがあります。

• 国際量子情報ジャーナル
• npj 量子情報
• 量子
• 量子情報と計算
• 量子情報処理
• 量子科学技術